大傾角、大收縮角泄槽收縮段邊墻水深計算方法探討

吳 健，張小飛，黃佳敏，肖天培

(廣西大學 土木建筑工程學院，南寧 530004)

收縮段是泄水建筑物中往往需要設置的過渡段。目前，收縮段沖擊波的計算分析主要基于Ippen提出的沖擊波理論，而該沖擊波理論建立于收縮段為平底、小收縮角的條件。實際工程中，泄水建筑物通常具有一定的底坡傾角，有些泄水建筑物泄槽的底坡傾角甚至大于30°，重力溢流壩下游直線段的傾角往往在50°～60°之間。實際工程的應用表明，利用Ippen沖擊波理論來計算分析底坡傾角大于30°、收縮角大于15°的大傾角、大收縮角收縮段邊墻處水深時會出現較大誤差。為了計算分析大傾角、大收縮角收縮段水流問題，一些學者進行了初步的探索。劉亞坤等[1]通過物理試驗研究了35°傾角，15°、20°收縮角的收縮段水流，并對Ippen公式進行了修正，但保留了部分和大傾角、大收縮角水流特性不一致的假定，其適用性還需進一步驗證。黃智敏等[2]通過對陡坡收縮段沖擊波的理論分析，提出一種計算邊墻沿程水深的方法，此法也保留了部分和大傾角、大收縮角水流特性不一致的假定，且計算需反復迭代，在工程中應用不便。

本文依托FLUENT軟件，采用基于RSM湍流模型的三維湍流數值模擬方法，對大傾角(30°～60°)、大收縮角(15°～35°)收縮段的急流沖擊波波前后水深系統地進行模擬分析計算，并根據數值模擬獲得的結果，基于多元非線性回歸方法，嘗試提出一種大傾角、大收縮角收縮段沖擊波波前后水深比的計算公式，為更好地解決大傾角、大收縮角收縮段急流沖擊波的計算問題提供參考。

1 計算模型的建立及驗證

目前，湍流數值模擬方法主要包括直接數值模擬方法、大渦模擬和Reynolds平均法。其中，直接數值模擬方法和大渦模擬對網格精度的要求高、計算量大，得到廣泛應用的是Reynolds平均法。RSM模型是Reynolds平均法中較為精細的模型。大底坡傾角、大收縮角收縮段的流速較大，收縮段內的水流為湍流，為獲得較高的計算精度，采用RSM模型模擬湍流流動，同時采用VOF法追蹤自由液面，用有限體積法對控制方程進行離散化，壓力-速度耦合方法采用PISO算法，設置時間步長為0.001 s。

1.1 基本控制方程

采用RSM模型對大傾角、大收縮角泄槽收縮段水流進行數值模擬。由于收縮段內水流可視為不可壓縮的黏性流體，可運用連續性方程和Navier-Stokes方程來描述。

連續性方程：

(1)

Navier-Stokes方程：

(2)

(3)

(4)

1.2 計算模型的建立

為了系統地獲得不同傾角、不同收縮角的收縮段沖擊波波前和波后水深的數值，為收縮段沖擊波波前和波后水深計算公式的建立提供樣本，根據正交性原則，建立邊墻收縮角為30°、底坡傾角分別為30°、40°、50°、60°和底坡傾角60°、邊墻收縮角分別為15°、20°、25°、30°、35°的兩組收縮段數值模型；為了避免收縮段出口寬度過小，以便更好地觀察邊墻沿程水面線的變化規律，數值模型的入口寬度取為20 m；為了使各種計算條件下收縮段進口斷面的水流相似，都處于均勻流狀態，使研究結果具有可對比性，在收縮段前設置與收縮段坡度一致且長度為3 m的調整段；同時為了減輕水流從水平段進入收縮段時跌水對水流流態的影響，參考堰型設計，在水平段和調整段之間設置圓弧段作為平滑過渡。見表1和圖1。

表1 不同傾角和不同收縮角收縮段模型尺寸表

圖1 泄槽陡坡收縮段幾何模型示意圖

由于幾何模型同時具有較大的傾角和收縮角，計算區域很不規則，考慮網格對幾何模型的適應性，采用四面體單元進行網格劃分，使用FLUENT內自帶Meshing功能生成網格，同時在底板和邊壁處設置邊界層網格。網格參數見表2，劃分的網格見圖2。

表2 網格參數

圖2 網格示意圖

1.3 邊界條件

根據實際情況，給定大傾角、大收縮角收縮段流動數值模擬的邊界條件如下：

1) 入口邊界條件：液相設置為速度入口邊界，氣相設置為壓力入口邊界。本文模擬工況水流在入口處的流量和水深為設定，假定數值模型的入口處水流流態均勻，根據流量和水深計算可得到入口斷面的流速。

2) 出口邊界條件：采用壓力出口邊界，在流場出口邊界定義靜壓為大氣壓強。

3) 壁面邊界條件：采用標準壁面函數法確定。

4) 自由液面條件：采用VOF模型追蹤自由液面。

1.4 計算模型驗證

參考何飛龍所進行的大傾角直線邊墻收縮段的試驗研究[4]，建立和試驗模型一致的數值模型，對其中部分工況下的泄槽收縮段水流進行仿真數值模擬，并將計算所得結果與試驗結果進行對比分析，驗證所建立的大傾角、大收縮角收縮段水流數值模型的可靠性和計算精度。模擬的工況見表3。

表3 數值模擬工況

1.4.1 流態對比驗證

圖3和圖4為通過0.051 3 m3/s時陡坡泄槽收縮段數值模擬結果與試驗流態對比。兩圖反映流態相同：越靠近邊墻的水流越先與收縮邊墻交匯、碰撞，碰撞水流沿邊墻躍升、爬高并向下游流動，先交匯、碰撞的水流在邊墻的上部運動，后交匯、碰撞的水流則在邊墻的下部運動，各股水流互不混摻，分層明顯；邊墻處的水深主要是由收縮段起始斷面沿邊墻躍升的水流決定；由于重力作用邊墻處上部水流不會一直壅高，又因為受到下部水流的向上頂托作用，無法發生回落，因此邊墻處水深逐漸趨于穩定。

圖3 流態對比

圖4 收縮段邊墻水流對比

1.4.2 沿程水深對比驗證

收縮段進口斷面至出口斷面的中線沿程水深、邊墻沿程水深的數值模擬計算值與試驗實測值見圖5。從圖5中可以看出，模擬結果和試驗結果吻合良好，兩者的沿程水深數值最大差值約0.02 m，相對誤差絕對值在2%以內。

圖5 0.051 3m3/s時的沿程水深

1.4.3 流速對比驗證

選距收縮段進口斷面距離(沿邊墻方向)L=0 m、L=0.05 m、L=0.35 m的3個斷面的波后流速進行對比驗證，結果見表4。由表4可以看出，采用RSM湍流模型模擬得到的平均流速與試驗實測值相比較，最大相對誤差2.4%，在允許范圍內。

表4 0.051 3 m3/s下各斷面波后流速模擬值與試驗實測值對比

根據以上3個方面對比結果，綜合分析說明所采用的數值模擬方法是可靠的，RSM模型能夠很好地模擬大傾角、大收縮角收縮段的水流特性，并且模型的網格劃分能夠滿足計算精度的要求。

2 收縮段沖擊波波前后水深比計算

為了給大傾角、大收縮角泄槽收縮段邊墻水深計算公式的建立構建樣本空間，在傾角30°～60°、收縮角15°～35°的區間內，根據正交性原則，建立不同泄槽收縮段的數值模型，模型具體參數見表1。系統地計算不同傾角和收縮角組合下，不同工況的沖擊波波角及波前后水深，計算結果見表5。

表5 不同計算工況沖擊波波角及波前后水深比的模擬計算值

續表5

續表5

3 收縮段波前后水深公式的建立

根據沖擊波波前后水深比的計算結果，對沖擊波波前后水深比的影響因素進行分析，運用SPSS軟件，基于多元非線性回歸分析方法，建立多因素共同作用下的沖擊波波前后水深比的計算公式。

從表5可以發現，沖擊波的前后水深均與底坡傾角、收縮角和來流弗勞德數有關，且因斷面位置的不同有所變化，因此沖擊波前后水深比r可以構成α、ψ、Fr0和S的關系，公式如下：

r=f2(α,ψ,Fr0,S)

(5)

由于沖擊波前后水深比r受多因素影響，各因素之間的關系尚不明確，因此有必要對影響因素進行分析。

3.1 單一影響因素分析

3.1.1 底坡傾角與水深比關系

取邊墻收縮角為30°，流量為120 m3/s，底坡傾角分別為30°、40°、50°、60°，距進口斷面距離X為3、6、9、12 m時，相應的S值分別為0.173、0.346、0.52、0.693，觀察水深比的變化，見圖6。

圖6 底坡傾角與水深比關系曲線

由圖6可見，在相同的S值條件下，傾角越大，沖擊波前后水深比越大，與斜向水躍水流特征相似。根據斜向水躍理論，底坡傾角為ψ的矩形明渠水流的水躍方程為：

(6)

其中：Q為流量；G為水躍段水體重量；h1、h2分別為水躍躍前、躍后水深；A1、A2分別為水躍躍前、躍后斷面的面積。

根據式(6)并結合圖6的曲線形狀，選擇三角函數進行曲線擬合，擬合結果見表6。

表6 底坡傾角與水深比曲線擬合結果

從表6可發現，三角函數方程擬合結果良好，擬合方程的復相關系數R2最小值為0.944 2，且和方差SSE和均方根RMSE均接近于0，故底坡傾角與水深比方程選用表6中的方程f1、f2均可。結合不同S值取值，分別計算方程f1和方程f2的R2平均值，得到方程f1的R2平均值為0.975，方程f2的R2平均值為0.977，兩者相差不大。從計算簡便考慮，同時為避免過擬合，底坡傾角與水深比曲線方程取為方程f1，其關系表達式如下：

r=a1*cos(ψ)+b1*sin(ψ)+c1

(7)

式中：a1、b1、c1為與邊墻收縮角、弗勞德數、S值有關的系數。

3.1.2 收縮角與水深比關系

取底坡傾角為60°，流量為120 m3/s，收縮角分別為15°、20°、25°、30°、35°，無因次S值分別為0.1、0.2、0.3、0.4、0.5時，觀察水深比的變化，見圖7。根據圖7的曲線形狀，結合平底情況下理想沖擊波的基本關系式，采用三角函數進行曲線擬合，擬合結果見表7。

圖7 收縮角與水深比關系曲線

表7 收縮角與水深比曲線擬合結果

從表7擬合結果可發現，三角函數方程擬合結果良好。相比較而言，方程f2的擬合結果更好，因此收縮角與水深比曲線方程取為方程f2，其關系表達式如下：

r=a2*sin2(α)+b2*sin(α)+c2

(8)

式中：a2、b2、c2為與底坡傾角、弗勞德數、S值有關的系數。

3.1.3 來流弗勞德數與水深比關系

取底坡傾角為60°，收縮角為30°，流量分別為60、90、120、150 m3/s，相應的來流弗勞德數分別為4.48、3.65、3.20、2.95，距進口斷面距離X分別為3、6、9、12 m時，觀察水深比的變化，見圖8。根據圖8的曲線形狀，結合平底情況下理想沖擊波的基本關系式，選擇線性、二次、指數函數進行曲線擬合，擬合結果見表8。

圖8 來流弗勞德數Fr0與水深比關系曲線

表8 來流弗勞德數Fr0與水深比曲線擬合結果

從表8擬合結果可發現，僅二次方程擬合結果良好，擬合方程的復相關系數R2最小值為0.973 9，和方差SSE和均方根RMSE均接近于0，故弗勞德數Fr0與水深比方程選用二次方程f2，其關系表達式如下：

(9)

式中：a3、b3、c3為與底坡傾角、邊墻收縮角、S值有關的系數。

3.1.4 無因次S值與水深比關系曲線

取底坡傾角為60°，收縮角為30°，流量為120 m3/s，無因次S值分別為0.173、0.346、0.520、0.693時，觀察水深比的變化，見圖9。根據圖9的曲線形狀，選擇線性、二次函數進行曲線擬合，擬合結果見表9。

圖9 無因次S值與水深比關系曲線

從表9擬合結果可發現，S值與水深比擬合時，僅二次方程擬合結果良好，擬合方程的復相關系數R2最小值為0.973 9，且和方差SSE和均方根RMSE均接近于0，故S值與水深比方程選用二次方程f2，其關系表達式如下：

r=a4*S2+b4*S+c4

(10)

式中：a4、b4、c4為與底坡傾角、邊墻收縮角、弗勞德數有關的系數。

3.2 公式的建立

從以上單一因素的擬合結果可發現，在相同的α、ψ、Fr0條件下，沖擊波前后水深比沿程增加。底坡傾角、收縮角對沖擊波前后水深比影響較大，弗勞德數對其影響相對較小，且底坡傾角、收縮角、S值、弗勞德數與水深比的變化均呈正相關。結合單一因素與水深比的曲線擬合方程，提出大傾角、大收縮角收縮段沖擊波前后水深比的多元非線性回歸方程：

(11)

根據數值分析所得的數據表5，通過SPSS的非線性回歸分析方法，求解得到方程的回歸系數值見表10。表11為擬合的方差分析。

從表11可以看出，回歸方程的R2值為0.931，說明方程的擬合程度高。代入回歸系數值，得到大傾角、大收縮角條件下，以底坡傾角、收縮角、S值、弗勞德數為變量的沖擊波前后水深比的計算公式如下：

表11 方差分析表

(12)

為了驗證水深比計算式(12)的合理性，根據何飛龍的試驗[4]，采用式(12)對部分試驗工況進行計算，并將計算水深比與試驗實測數據進行對比分析，結果見表12。

表12 計算公式驗證結果

表12中斷面位置和文獻[4]的測試斷面對應，試驗實測值引自文獻[4]中表4-1和表4-2。由表12可見，計算水深比與實測水深比的相對差均在10%以下，說明式(12)在一定程度上能夠反映實際的水面波動情況，有較高的精度，可用來計算收縮段內沖擊波前后的水深比。

4 結 論

本文依托FLUENT軟件，基于RSM湍流模型，對大傾角、大收縮角收縮段水流進行數值模擬。根據模擬結果，基于多元非線性回歸分析方法，建立了沖擊波波前后水深比的計算公式。經初步驗證，該式具有較好的計算精度，而且避免了多次的反復迭代計算，可為泄水建筑物收縮段的邊墻設計提供借鑒，其適用范圍為：30°≤ψ≤60°，15°≤α≤35°，2.95≤Fr0≤4.53。