航天器大型空間桁架結構變形監測方法研究

王丁丁，李 偉，羅玉祥，張 濤，張慶志

(1.山東航天電子技術研究所，山東 煙臺 264000;2.裝備發展部裝備采購服務中心，北京 100142)

0 引言

隨著航天技術的快速發展，航天器結構的輕量化已經成為現代飛行器設計的一個要點。桁架結構具有凈空間值高、承受集中載荷效率高、空間擴展性強、設計靈活、易于組裝等優點[1-4]，因此其在航天器上有著廣泛的應用。大型空間桁架結構在航天器上既可以作為探測器、相機、天線等有效載荷的支撐結構，也可以作為空間站等大型航天器的主體機構[5]。美國“奮進號”航天飛機的SRTM(Shuttle radar topography mission)結構采用了60米長的大型空間桁架以提供主天線和外側天線之間的基線距離，其桁架結構在地面展開后的形狀如圖1所示。國際空間站采用了大型主桁架結構作為骨架來安裝各種艙段和設備，采用了可展桁架來展開和支撐太陽能電池板。此外，空間望遠鏡支架、光學攝像機支架、天線反射面等結構也大量采用桁架結構[6]。中國空間技術研究院已將復合材料桁架結構應用于航天器的主結構、高精度剛性支撐結構、空間可展開結構機構以及大跨度的剛性連接結構[7-8]。

圖1 美國“奮進號”航天飛機SRTM系統上的60 m長大型空間桁架結構

航天器上的大型桁架結構具有跨度大、質量輕、剛度低、阻尼弱的特點，在受到擾動時可能產生低頻、大幅度振動和變形且很難短時間自行衰減。這種振動、變形與航天器主體的運動發生耦合時還會影響到航天器的指向精度和姿態穩定，甚至危害到航天器的安全[9]。因此對于航天器上大型桁架結構變形的監測對于保障航天器安全有重要意義。

桁架結構的變形監測方法包括激光跟蹤儀、激光雷達、攝影測量、數字散斑、三坐標測量等[8]。這些方法基本為非接觸測量法，適用于地面環境中測量結構的變形，應用在航天器上存在整體設備重、光學測量存在遮擋盲區、難以實現動態測量等問題。近年來利用接觸式傳感器監測結構的變形受到了研究人員的高度重視，這類方法利用粘貼或埋入結構的傳感器獲取結構體的應變，并且結合應變到形變的重構算法來反演結構的形變。

工程中常見的應變測量傳感器有電阻應變片和光纖應變傳感器。相對于電阻類傳感器，光纖傳感器具有質量輕、尺寸小、抗電磁干擾等特點[10]，在航天領域有獨特的應用優勢。山東航天電子技術研究所于2016年在國內實現了光纖傳感首次在軌應用，于2020年在中國空間站上利用光纖傳感手段實現了艙體關鍵部位的力、熱狀態監測[11]。鑒于光纖傳感器在航天領域的應用優勢，國內外眾多學者研究了利用光纖傳感器監測航天器結構形變的方法。文獻[12]提出了逆有限元方法(iFEM,inverse finial element method)，其具有重構精度高、適應結構的復雜邊界條件、對應變測量中的噪聲不敏感、無需了解結構的材料屬性和載荷的先驗知識等優勢[13-14]。利用光纖傳感器測量結構的應變并結合基于應變的形變重構算法可實現航天器結構變形的在軌實時監測，能夠為撓性結構的振動變形抑制及且航天器結構的健康監測提供數據。

當前基于iFEM的結構變形重構研究主要集中在梁和板等結構上，對于大型復雜結構如空間桁架的變形重構研究非常少。文獻[15]研究了簡單三維框架結構的變形監測問題；文獻[16]利用光纖傳感器基于Ko位移理論和結構的變形曲率研究了桁架式支撐臂結構的變形監測問題；文獻[17]研究了空間桁架結構的變形監測，但該研究主要針對桁架結構中橫桿結構進行了變形監測，沒有解決空間桁架結構作為一個整體的復雜變形反演問題，工程實用性不強。本文將空間桁架的整體結構作為研究對象，利用iFEM的原理提出了一種適用于大型空間桁架結構整體變形監測的方法。

1 桁架結構分析

桁架是由桿件通過鉸接的方式連接起來的桿系結構。通常桁架結構只在其節點處承受外部載荷，在桁架中各桿件發生軸向拉伸和壓縮變形而不發生彎曲變形。因此在實際應用中可以沿桿件的軸向在其表面粘貼應變傳感器以測量結構的應變，傳感器安裝如圖2所示。

圖2 應變傳感器安裝示意圖

航天器的外伸結構大量采用空間桁架，由于飛行器的質量遠大于桁架質量，在力學分析時，可以把桁架結構與航天器連接的一端的邊界條件設為固支，同時將桁架上搭載的其他設備簡化成等效集中質量加載到桁架節點上[18-19]。

針對上述分析，本文利用有限元及iFEM分析空間桁架結構的變形時采用了空間桿單元，同時桁架結構的邊界條件設置為單端固支，在結構另一端的節點上加載使其發生形變。

2 桁架結構變形監測方法研究

利用iFEM的原理重構空間桁架結構的形變，首先需要構造空間桿單元，建立桿單元的力學模型。其次利用最小二乘變分原理和有限元離散化方法將單元的剛度矩陣和載荷列陣表示成各桿單元的幾何屬性和單元應變值的函數，各桿單元的幾何屬性和其在桁架結構中的位置在結構設計之初就可以確定，而各桿單元的應變值可以通過粘貼或埋入結構中的應變傳感器測量獲得。最后在全局坐標系下組裝各單元的偽剛度矩陣和偽載荷列陣，結合結構的邊界條件就可以求解出桁架結構的位移矩陣。

iFEM借鑒了有限元求解力學問題的方法，所不同的是利用iFEM求解結構位移場的過程無需知道結構的材料屬性和受載情況的先驗知識，而是利用傳感器測得的結構的應變信息來求解結構的位移場。利用iFEM的原理能夠實現以應變傳感器來監測結構的變形的目的。利用所提方法監測桁架結構的變形，僅需桁架結構中桿件的尺寸和布局信息即可建立iFEM的計算模型，在此基礎上結合各桿件的應變值即可重構結構的變形情況。

2.1 構造逆桿單元

桁架結構中的力學單元是僅受軸力的桿單元，因此建立如圖3所示的逆桿單元。該逆單元有兩個節點Node 1和Node 2。在局部坐標系Ox中，該桿單元的節點位移可以用沿軸向的位移x表示。在空間全局坐標系Oxyz中，桿單元每個節點的位移可以用沿3個坐標軸方向的3個分量u,v,w來表示，因此在全局坐標系下，桿單元每個節點有3個自由度。

圖3 逆桿單元示意圖

(1)

式中，x1,x2分別為逆單元兩個節點Node 1和Node 2處沿軸向的位移。

qe=[u1,v1,w1,u2,v2,w2]T

(2)

式中，u1,v1,w1和u2,v2,w2分別為逆單元在兩個節點Node 1和Node 2處沿3個坐標軸方向的位移。

設桿單元的軸線在全局坐標系中的3個方向余弦分別為:

(3)

式中，(x1,y1,z1)和(x2,y2,z2)為桿單元兩個節點Node 1和Node 2的坐標，l為桿單元的長度且有：

(4)

則有：

(5)

式中,L為坐標變換矩陣且有：

(6)

根據有限元理論，桿單元在局部坐標系中的位移場可以表示為：

(7)

式中，N(x)為單元的形函數矩陣且有：

(8)

根據胡克定律，桿單元的應變可以表示為：

(9)

式中，B(x)為逆單元的幾何矩陣，且有：

(10)

2.2 求解逆桿單元的偽剛度矩陣

設由應變傳感器或由有限元軟件仿真得到桿件的應變值為εe，理論應變值為ε，由此可以得到理論值與測量值的誤差函數為:

(11)

令誤差函數的函數值達到最小，通過將誤差函數Φ(ε,εe)對位移列陣qe求偏導導并令偏導數等于0有:

(12)

化簡整理可得逆單元的偽剛度方程為:

Keqe=Pe

(13)

式中,

Ke=B(ξ)TB(ξ)

Pe=B(ξ)Tεe

(14)

Ke稱為逆單元的偽剛度矩陣，Pe稱為逆單元的偽載荷列陣。將公式(9)代入公式(13)可以得到在局部坐標系Ox下逆單元的偽剛度矩陣和偽載荷列陣分別為:

(15)

(16)

2.3 組裝各逆單元的偽剛度矩陣和偽載荷列陣

因為空間桁架結構需要在全局坐標系中描述，因此局部坐標系下各量還需要通過坐標變換矩陣L轉換到全局坐標系下才能進行后續的偽剛度矩陣和偽載荷列陣的組裝。在全局坐標系Ouvw下逆單元i的偽剛度矩陣和偽載荷列陣分別為:

(17)

(18)

從公式(17)和公式(18)可以看出桁架結構的偽剛度矩陣僅和組成桁架結構的各桿件的幾何屬性及各桿件在桁架結構中的位置有關，偽載荷列陣僅和桿件的幾何屬性及桿件的應變值有關，而與桿件的材料屬性和受載荷情況無關。

Kq=P

(19)

2.4 施加邊界條件及求解結構的位移場

設桁架結構的邊界約束條件為C，聯立桁架結構的整體偽剛度方程(19)和邊界條件C可得矩陣方程:

(20)

通過求解該矩陣方程即可得到桁架結構發生形變后的位移矩陣q，由此實現了利用應變傳感器監測桁架結構的形變的目的。

利用所提方法監測桁架結構的變形，首先建立結構的逆有限元計算模型。具體包括結構的偽剛度矩陣和偽載荷列陣，其可通過結構中各桿件的尺寸和位置信息利用公式(17)和公式(18)求得。其次在工程應用中，可以將應變傳感器沿軸向粘貼于桿件表面測量其應變值。最后利用各桿件的應變值及結構的逆有限元計算模型求解出桁架結構的變形。

3 仿真研究

3.1 利用有限元軟件獲取結構應變

圖4 空間桁架結構節點編號示意圖

表1 各節點的坐標

表2 各桿件的編號

在建立好空間桁架結構的幾何模型并設置好桿件材料屬性的各項數據后需要設置桁架結構的邊界條件并且施加載荷。將節點1、2、3、4設置為固定端，在節點35和36處沿x軸方向加載1 000 N的力使桁架結構發生形變，桁架結構變形后的形狀見圖5(a)，為了使得變形更明顯，圖中桁架結構的各節點的位移均放大了4倍。利用Comsol軟件計算得到桁架結構變形后桿件i的應變值為εi(i=1,…,100)。

3.2 利用iFEM方法重構結構的變形

將桁架結構的每根桿件劃分為一個逆單元，對于逆單元i(i=1,…,100)按照公式(10)可以分別求出其偽剛度矩陣和偽載荷列陣為：

(21)

(22)

在求得各單元的偽剛度矩陣和偽載荷列陣后分別將其組裝為桁架結構總的偽剛度矩陣[K]108×108和總的為載荷列陣[P]1×108。該桁架結構上的節點1、2、3、4為固定端，因此在這4個節點上其3個方向的位移皆為0，相應的其邊界條件為:

(23)

3.3 加噪聲后的重構精度

利用光纖應變傳感器或者電類傳感器測量結構的應變都存在測量誤差，為了評估該形變重構算法在存在較大噪聲下的精度，采用人為添加噪聲的方法以模擬傳感器在測量結構應變時存在測量誤差的情況。由軟件計算得到的各桿件的應變為εi(i=1,…,100)，對其加±5%的噪聲，則各桿件帶有隨機噪聲的應變值為:

(24)

圖5 加噪聲后iFEM重構桁架變形圖

4 實驗結果與分析

4.1 利用iFEM方法重構結構形變的精度分析

利用Comsol軟件仿真及利用iFEM方法重構得到空間桁架結構變形后節點的位移見圖6。根據結構的變形特點，圖中標注了節點2、6、10、14、18、22、26、30和34處沿x軸方向的位移值，從圖中可以看出利用iFEM方法重構出的位移和利用Comsol軟件仿真得到的位移值相近，重構算法有較高的精度。

圖6 利用軟件仿真及iFEM重構節點位移圖

4.2 加噪聲后利用iFEM重構結構形變的精度分析

利用有限元軟件可以仿真計算得到了桁架結構變形后各桿件的應變值，但是在實際應用中由傳感器測量結構的應變過程中都存在誤差，因此對于有限元仿真得到的各桿件的應變值加入隨機噪聲，研究在應變值存在誤差的情況下利用iFEM方法重構結構形變的精度。

桁架結構在自由端的形變量較大，因此選取靠近自由端的節點34沿x軸方向的位移量，研究在加入隨機噪聲后iFEM的重構精度。對于由Comsol軟件仿真得到的各桿件的應變值加入±5%的隨機噪聲并重復計算1 000次。1 000次重構實驗中節點34沿x軸方向的位移值見圖7，從圖中可以看出，在應變值存在較大噪聲的情況下利用iFEM重構出的節點34沿x軸方向的位移值分布在Comsol仿真值的附近，且誤差整體較小。

圖7 加噪聲后iFEM形變重構誤差直方圖

重復1 000次重構實驗的誤差直方圖見圖8，從圖中可以看出誤差基本上分布在±3%的范圍內。在給應變值加±5%的噪聲后，利用iFEM方法重構結構的變形依然有較高的精度。

圖8 加噪聲后iFEM重構誤差直方圖

5 結束語

本文以航天器上大型空間桁架結構作為研究對象，基于iFEM原理提出了一種適用于復雜桁架結構的高精度變形監測方法。以桁架結構變形后各桿件的應變為輸入，利用該方法可實現結構變形的重構，此過程中不需了解結構的材料屬性和受載情況，工程實用性較強。通過有限元仿真對該方法進行了驗證，結果表明所提方法對大型空間桁架結構的形變重構精度高，抗噪聲能力強，在航天器上具有廣闊的應用前景。