分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)自適應(yīng)有限時(shí)間追蹤控制

李賢麗，湯俊杰，朱金元，溫玉玉

（東北石油大學(xué)物理與電子工程學(xué)院，黑龍江大慶 163318）

分?jǐn)?shù)階微積分理論始于17 世紀(jì)，但最近幾十年才得到研究者的關(guān)注。一方面分?jǐn)?shù)階微積分理論將整數(shù)階微積分推廣到任意階次可以更準(zhǔn)確地描述動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象，如機(jī)械系統(tǒng)、生物工程和流體力學(xué)等。另一方面，許多分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)中都存在混沌現(xiàn)象，如分?jǐn)?shù)階統(tǒng)一混沌系統(tǒng)[1]、分?jǐn)?shù)階Lorenz 混沌系統(tǒng)[2]、分?jǐn)?shù)階Rossler 混沌系統(tǒng)以及分?jǐn)?shù)階金融混沌系統(tǒng)[3]等。

近年來(lái)，將分?jǐn)?shù)階微積分理論應(yīng)用在混沌控制中已經(jīng)成為物理、數(shù)學(xué)等領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)。許多控制方法相繼提出，如線性反饋控制[4]、追蹤控制[5]、自適應(yīng)控制[6]、脈沖控制[7]、滑膜控制[8]等。滑膜控制是一種簡(jiǎn)單實(shí)用的混沌控制方法，因其具有較強(qiáng)的抗干擾能力而得到廣泛關(guān)注。這些混沌控制方法大多是漸進(jìn)穩(wěn)定的，而有限時(shí)間控制可能在實(shí)際應(yīng)用中更有意義，因此在20 世紀(jì)中期Kamenkov 首次提出有限時(shí)間穩(wěn)定概念，不僅使受控系統(tǒng)具有更快的收斂速度，而且具有較強(qiáng)的魯棒性以及抗干擾能力。Amato[9]和Garcia 研究了連續(xù)時(shí)間及離散時(shí)間系統(tǒng)的有限時(shí)間穩(wěn)定問(wèn)題。Wang[10]等人解決了超混沌系統(tǒng)的有限時(shí)間控制問(wèn)題。2018 年，邵克勇[11]等人成功將整數(shù)階混沌系統(tǒng)有限時(shí)間控制理論推廣到分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)，實(shí)現(xiàn)了分?jǐn)?shù)階超混沌Lorzen 系統(tǒng)有限時(shí)間控制。但是上述研究只是將混沌系統(tǒng)控制到零點(diǎn)，將混沌系統(tǒng)控制[12]到任意點(diǎn)的研究較少。文中基于有限時(shí)間控制理論，結(jié)合追蹤控制法，對(duì)參數(shù)未知的分?jǐn)?shù)階Zhang 混沌系統(tǒng)進(jìn)行控制研究，通過(guò)設(shè)計(jì)自適應(yīng)有限時(shí)間追蹤控制器，實(shí)現(xiàn)了系統(tǒng)的自適應(yīng)有限時(shí)間追蹤控制。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，該方法可以使系統(tǒng)狀態(tài)變量在有限時(shí)間內(nèi)收斂到任意點(diǎn)，并且具有較強(qiáng)的抗干擾能力。

1 分?jǐn)?shù)階微積分概述和基本理論

當(dāng)前分?jǐn)?shù)階微積分定義主要分為3 種，分別是Riemann-Liouville 定義[13]、Grunwald-Letnikov 定義以及Caputo 定義。文中采用Caputo 定義。

定義1 連續(xù)函數(shù)f(t)的q階Caputo 分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義為：

式中，q是分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的階次，滿足n-1 ≤q≤n，Γ(?)是Gamma 函數(shù)。

定義2 Gamma 函數(shù)[14]定義為：

引理1 假設(shè)x(t)∈Rn是連續(xù)可導(dǎo)的，則對(duì)于任意時(shí)間t≥0，?q∈(0,1)，有：

引理3 假設(shè)存在一個(gè)Lyapunov函數(shù)V(t,x(t))，m和n為任意正常數(shù)，且存在一個(gè)類β函數(shù)βi(i=1,2,3)滿足下列不等式，則該系統(tǒng)滿足全局Mittag-Leffler穩(wěn)定。

引理4 如果系統(tǒng)Dqx(t)=f(t,x(t))滿足引理3 且滿足DqV(t,x(t))≤，則說(shuō)明該系統(tǒng)是有限時(shí)間內(nèi)穩(wěn)定的，且系統(tǒng)的穩(wěn)定時(shí)間滿足：

其中，q是階數(shù)且0

引理5[16]假設(shè)xi=x1,x2,…,xn是實(shí)數(shù)，且0

2 分?jǐn)?shù)階Zhang混沌系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)動(dòng)力學(xué)性質(zhì)分析

文中以分?jǐn)?shù)階Zhang 混沌系統(tǒng)[17]為研究對(duì)象，其數(shù)學(xué)模型如下：

設(shè)定分?jǐn)?shù)階Zhang 混沌系統(tǒng)的參數(shù)為a=12,b=25,c=8，階數(shù)q=0.95，初始值x0=-1,y0=0,z0=1，通過(guò)MATLAB 進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，得到分?jǐn)?shù)階Zhang 混沌系統(tǒng)隨參數(shù)d變化的分叉圖如圖1 所示。

圖1 分?jǐn)?shù)階Zhang混沌系統(tǒng)分叉圖

從圖1 可知，當(dāng)d∈[0,1.87)時(shí)系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)，取參數(shù)d=1，系統(tǒng)的二維相圖如圖2 所示；當(dāng)d∈[1.87,2.05)時(shí)系統(tǒng)處于周期狀態(tài)，取參數(shù)d=2，系統(tǒng)的二維相圖如圖3 所示；當(dāng)d∈[2.05,2.5)時(shí)系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)，取參數(shù)d=2.3，系統(tǒng)的二維相圖如圖4 所示；當(dāng)d∈[2.5,6)時(shí)系統(tǒng)處于周期狀態(tài)，取參數(shù)d=6，系統(tǒng)的二維相圖如圖5 所示。

圖2 d=1時(shí)系統(tǒng)二維相圖

圖3 d=2 時(shí)系統(tǒng)二維相圖

圖4 d=2.3 時(shí)系統(tǒng)二維相圖

圖5 d=6 時(shí)系統(tǒng)二維相圖

令式（8）左邊為零，可以求得系統(tǒng)的平衡點(diǎn)，則其平衡點(diǎn)處的Jacobian 矩陣為：

根據(jù)分?jǐn)?shù)階穩(wěn)定性定理可知，為了保證系統(tǒng)在平衡點(diǎn)處漸進(jìn)穩(wěn)定，就需保證其平衡點(diǎn)處Jacobian矩陣的特征值(λ1,λ2,λ3)滿足|arg(λi) |>πα/2,α=max(qi),i=1,2,3,通過(guò)數(shù)值計(jì)算可知，當(dāng)式（9）的階數(shù)為qi(i=1,2,3)<0.846 161 時(shí)，可滿足條件。

3 自適應(yīng)有限時(shí)間追蹤控制

分?jǐn)?shù)階Zhang 混沌系統(tǒng)表達(dá)式如下：

其中，xi(i=1,2,3)是系統(tǒng)的狀態(tài)變量，ui(i=1,2,3)是待設(shè)計(jì)的控制器，a、b、c分別為系統(tǒng)的未知參數(shù)。當(dāng)不考慮控制器時(shí)式（9）滿足分?jǐn)?shù)階Zhang 混沌系統(tǒng)結(jié)構(gòu)。

當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)為a=12,b=25,c=8，階數(shù)q=0.95時(shí)，系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)。選取上述參數(shù)，選取初始值x1=1,x2=0,x3=1 時(shí)，分?jǐn)?shù)階Zhang 混沌系統(tǒng)相圖如圖6 所示。

圖6 分?jǐn)?shù)階Zhang混沌系統(tǒng)相圖

式（9）滿足的自適應(yīng)有限時(shí)間追蹤控制器描述如下：

在滿足式（10）的控制器作用下，滿足式（9）的系統(tǒng)是有限時(shí)間穩(wěn)定的。其中ki>0(i=1,2,3),0<λi<1(i=1,2,3),a1、b1、c1是a、b、c的估計(jì)值，e1=x1-y1,e2=x2-y2,e3=x3-y3，其中yi(i=1,2,3)為給定的常數(shù)追蹤信號(hào)。參數(shù)更新規(guī)則如下：

其中，ki>0(i=4,5,6)，λi(i=4,5,6) 為任意實(shí)數(shù)，不確定參數(shù)的估計(jì)誤差為ea=a-a1,eb=b-b1,ec=c-c1。

證明：選取Lyapunov 函數(shù)

由式（9）～（13）可得：

由于ki>0(i=1,2,3,4,5,6)，可得DqV≤0。因?yàn)镈qV≤0，所以一定存在β3>0，使得DqV(t,e)≤-β3‖e‖2，故由引理3 可知，式（9）滿足的系統(tǒng)是Mittage-Leffler穩(wěn)定。且由DqV(t,e)≤0 可得=0，因此，該控制器可以保證系統(tǒng)的解全局有界。同時(shí)由式（12）可得≤2V(0,e)。當(dāng)≤1 時(shí)，有：

因此，若初始條件滿足：

時(shí)，由于DqV≤0，所以e(t)∈Ω。因此，對(duì)任意初始條件e(0)∈Ω都有：

由引理4 可知，系統(tǒng)DqV1是有限時(shí)間穩(wěn)定的，因?yàn)镈qV(t,e)是全局Mittag-Leffler 穩(wěn)定且DqV1中所有的初值都包含在DqV(t,e)內(nèi)，所以DqV(t,e)是有限時(shí)間穩(wěn)定的。

4 數(shù)值仿真

為證實(shí)參數(shù)未知的分?jǐn)?shù)階Zhang 混沌系統(tǒng)的有限時(shí)間追蹤控制器和自適應(yīng)率的有效性，對(duì)其進(jìn)行數(shù)值仿真，系統(tǒng)參數(shù)設(shè)置為a=12,b=25,c=8,q=0.9；未知參數(shù)初始值a1=8,b1=27,c1=6,ki=6,λi=0.5(i=1,2,3,4,5,6)，初始條件為x0=(-1,0.5,4)，給定信號(hào)y0=(0,2.5,3)，穩(wěn)定時(shí)間t≤1.55 s，仿真結(jié)果如圖7 所示。

圖7 狀態(tài)變量時(shí)序仿真

由圖7 可知，系統(tǒng)在1.55 s 內(nèi)便消除了混沌，狀態(tài)變量在有限時(shí)間內(nèi)收斂到追蹤信號(hào)y0=(0,2.5,3)，同時(shí)實(shí)現(xiàn)了對(duì)未知參數(shù)的辨識(shí)。

為證明該方法具有抗干擾性，給出擾動(dòng)模型如下：

其中，k1=0.2,k2=0.3,k3=0.1，其余參數(shù)不變，仿真效果如圖8 所示。仿真結(jié)果表明，當(dāng)初始條件完全一致的情況下加入有界隨機(jī)噪聲的情況下，該系統(tǒng)在1.55 s 內(nèi)收斂到追蹤信號(hào)，證明了文中設(shè)計(jì)控制器的有效性和良好的抗干擾能力。

圖8 狀態(tài)變量時(shí)序仿真

5 結(jié)論

文中基于分?jǐn)?shù)階微積分理論及有限時(shí)間控制理論和追蹤控制原理，通過(guò)設(shè)計(jì)自適應(yīng)有限時(shí)間追蹤控制器，實(shí)現(xiàn)了參數(shù)未知的分?jǐn)?shù)階Zhang 混沌系統(tǒng)的追蹤控制。仿真結(jié)果表明該方法簡(jiǎn)單有效，可以使受控系統(tǒng)在有限時(shí)間內(nèi)收斂到任意點(diǎn)，收斂速度較快。引入有界隨機(jī)噪聲，證明該方法具有良好的抗干擾能力。