基于排列熵的長時(shí)間序列復(fù)雜程度分析

陳強(qiáng)強(qiáng)，戴邵武，呂余海，張 剛

(1.海軍研究院，上海 200436；2. 海軍航空大學(xué)岸防兵學(xué)院, 煙臺(tái) 264000)

0 引言

光纖陀螺作為重要的慣性傳感器之一，能夠有效進(jìn)行角速度測量，在導(dǎo)航、制導(dǎo)領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。在光纖陀螺工作過程中，受到工作環(huán)境、溫度變化等影響，導(dǎo)致光纖陀螺輸出信號(hào)具有強(qiáng)烈的非線性、非平穩(wěn)性，從而使其時(shí)間序列信號(hào)具有較強(qiáng)的復(fù)雜性。通過對光纖陀螺輸出信號(hào)進(jìn)行復(fù)雜性計(jì)算，能夠分析其時(shí)間序列內(nèi)部作用機(jī)制，從而研究信號(hào)的系統(tǒng)規(guī)律。文獻(xiàn)[2]通過對光纖陀螺漂移數(shù)據(jù)分量信號(hào)進(jìn)行復(fù)雜性分析，得到高頻噪聲項(xiàng)及混合模態(tài)分量，完成對光纖陀螺原始含噪信號(hào)的去噪。文獻(xiàn)[3]以排列熵作為衡量信號(hào)復(fù)雜度的工具，得到信號(hào)復(fù)雜度與回歸精度之間的關(guān)系，實(shí)現(xiàn)對光纖陀螺溫度漂移的建模及補(bǔ)償。文獻(xiàn)[4]通過比較分解后數(shù)據(jù)與原始輸出數(shù)據(jù)之間的復(fù)雜程度關(guān)系，驗(yàn)證了分解算法能夠有效降低光纖陀螺輸出序列的復(fù)雜程度，從而提高光纖陀螺隨機(jī)誤差的預(yù)測精度。通過對光纖陀螺輸出序列進(jìn)行復(fù)雜度分析，能夠把握數(shù)據(jù)規(guī)律；同時(shí)，光纖陀螺輸出序列的復(fù)雜度信息也可作為時(shí)間序列的特征信息，為后續(xù)進(jìn)行光纖陀螺輸出信號(hào)識(shí)別、故障診斷、預(yù)測研究等方面奠定基礎(chǔ)。

在對時(shí)間序列復(fù)雜度進(jìn)行分析的過程中，由B. Christoph等提出的排列熵算法是一種有效監(jiān)測時(shí)間序列隨機(jī)性和動(dòng)力學(xué)突變行為的方法，其計(jì)算方法簡單、抗噪能力強(qiáng)，適用于非線性、非平穩(wěn)的光纖陀螺輸出序列，在對陀螺儀輸出信號(hào)分析、機(jī)械系統(tǒng)(滾動(dòng)軸承、齒輪箱等)振動(dòng)信號(hào)分析及醫(yī)學(xué)信號(hào)(肌電信號(hào)、腦電信號(hào)等)復(fù)雜度分析中有著廣泛的應(yīng)用，相比傳統(tǒng)的時(shí)頻特征具有明顯的優(yōu)勢。但在排列熵的解算過程中，時(shí)間序列的長度對排列熵值影響較為明顯；同時(shí)，對長時(shí)間序列進(jìn)行排列熵求解時(shí)，運(yùn)算量較大，計(jì)算時(shí)間較長，降低了時(shí)間序列分析的效率。

光纖陀螺輸出時(shí)間序列通常為長時(shí)間序列，為了有效度量長時(shí)間序列條件下的光纖陀螺輸出序列復(fù)雜度，并提高排列熵算法的計(jì)算效率。本文通過引入經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解中的迭代思想及包絡(luò)算法，利用三次樣條插值算法求取原始長時(shí)間序列的上下包絡(luò)曲線，得到上下包絡(luò)均值作為慢振蕩分量；在求取上下包絡(luò)曲線時(shí)，將原始時(shí)間序列長度限定為求解排列熵信息的通用長度，既避免了因時(shí)間序列長度過長而無法準(zhǔn)確度量復(fù)雜度，同時(shí)優(yōu)化了解算流程，提高了計(jì)算效率。

1 排列熵算法分析

排列熵算法原理為：針對長度為的時(shí)間序列{(),=1,2,…,}，對()進(jìn)行相空間重構(gòu)

(1)

式中，為嵌入維數(shù)；為延遲時(shí)間；=-(-1)為重構(gòu)向量的個(gè)數(shù)。

將中的元素按升序排列得

[+(-1)]≤…≤[+(-1)]

(2)

式中，,,…,為各元素在排序之前位于相空間所在列的索引。

若中有兩元素相等，則按原始順序排列。通過對相空間重構(gòu)后的時(shí)間序列進(jìn)行分析，對于任意一個(gè)，均能得到相應(yīng)的符號(hào)序列={,,…,}，其中，=1,2,…,，且≤!?？啥x排列熵為

(3)

(4)

此時(shí)，的取值為[0,1]，可反映出時(shí)間序列的復(fù)雜程度，越大，則序列復(fù)雜程度越高。

排列熵作為衡量時(shí)間序列內(nèi)部復(fù)雜度的算法，計(jì)算過程簡單方便，能夠有效地分析非線性、非平穩(wěn)信號(hào)，適用于光纖陀螺輸出信號(hào)。在排列熵的計(jì)算過程中主要包括3個(gè)參數(shù)：時(shí)間序列長度、嵌入維數(shù)、延遲時(shí)間。排列熵算法的提出者Bandt建議選擇嵌入維數(shù)為3～7，且一般隨著時(shí)間序列長度的增加進(jìn)行相應(yīng)調(diào)整；延遲時(shí)間對時(shí)間序列的計(jì)算影響較小，一般選擇=1。后續(xù)學(xué)者在對時(shí)間序列進(jìn)行排列熵分析時(shí)，對參數(shù)的選擇進(jìn)行了總結(jié)歸納，對于時(shí)間序列長度=2048的時(shí)間序列，取=6，=1。

在光纖陀螺輸出信號(hào)采集過程中，當(dāng)時(shí)間序列長度過長時(shí)，使用常規(guī)排列熵算法進(jìn)行復(fù)雜程度衡量需要考慮以下問題：1)如果時(shí)間序列長度為2(=2048)時(shí)，相應(yīng)的參數(shù)應(yīng)該如何選擇？此時(shí)嵌入維數(shù)的取值如果過大，則在式(1)中的相空間重構(gòu)過程會(huì)均勻化時(shí)間序列，從而忽略時(shí)間序列中的微弱變化。2)時(shí)間序列長度的增加，增加了排列熵解算時(shí)長，在對光纖陀螺輸出信號(hào)的實(shí)時(shí)分析、慣導(dǎo)故障實(shí)時(shí)診斷過程中降低了計(jì)算效率。3)在長時(shí)間序列條件下，不同長度的時(shí)間序列所對應(yīng)的嵌入維數(shù)選擇也有所不同，此時(shí)需要選擇并調(diào)整相應(yīng)的嵌入維數(shù)，以降低排列熵解算過程的自適應(yīng)性。

2 均值排列熵算法

2.1 包絡(luò)均值思想

在排列熵算法的分析中，針對長時(shí)間序列的復(fù)雜程度計(jì)算過程中存在的問題，提出了一種基于包絡(luò)均值思想的均值排列熵算法。用包絡(luò)均值信號(hào)代替復(fù)雜的原始信號(hào)，使其適用于非平穩(wěn)信號(hào)分析。

包絡(luò)均值思想源自經(jīng)典的時(shí)頻分析算法—經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解(Empirical Mode Decomposition，EMD)。EMD算法能夠根據(jù)信號(hào)特點(diǎn)自適應(yīng)地將信號(hào)分解成一組具有物理意義的固有模態(tài)函數(shù)，在非線性、非平穩(wěn)時(shí)間序列分析中得到廣泛應(yīng)用。

EMD方法在分解的過程中，首先找出信號(hào)的全部極值點(diǎn)，然后利用三次樣條插值方法求取上下包絡(luò)曲線，并定義信號(hào)的局部包絡(luò)均值為慢振蕩分量。在對上下包絡(luò)曲線進(jìn)行三次樣條插值的過程中，可通過固定端點(diǎn)完成對包絡(luò)均值時(shí)間序列長度的確定，從而將長時(shí)間序列的排列熵求解問題轉(zhuǎn)換為固定時(shí)間長度的復(fù)雜度求解。

2.2 均值排列熵

基于此，定義均值排列熵算法如下：

1)針對長度為*(=1,2,…,)的原始信號(hào)()，確定()的所有極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)，通過三次樣條插值方法，確定擬合后的時(shí)間序列長度，對()的極值點(diǎn)進(jìn)行擬合，其極大值點(diǎn)的擬合曲線組成上包絡(luò)線，其極小值點(diǎn)的擬合曲線組成下包絡(luò)線。

2)計(jì)算與的均值，記為包絡(luò)均值曲線。在EMD的計(jì)算過程中，定義為慢振蕩分量。通過不斷減去慢振蕩分量可以完成對快振蕩分量的篩選，因此在均值排列熵的計(jì)算過程中，選擇采用慢振蕩分量代替原始時(shí)間序列信號(hào)。

3)計(jì)算包絡(luò)均值曲線的排列熵，得到均值排列熵值。

基于包絡(luò)均值思想的均值排列熵算法如圖1所示。

圖1 均值排列熵算法流程Fig.1 Flow of mean permutation entropy algorithm

文獻(xiàn)[11,16]對時(shí)間序列信號(hào)進(jìn)行排列熵分析，選擇時(shí)間序列長度為2048，因此本文在計(jì)算過程中，選擇時(shí)間序列長度為2048的倍數(shù)進(jìn)行對比。算法流程圖如圖1所示，采用均值排列熵算法代替常規(guī)排列熵算法，對光纖陀螺原始長時(shí)間序列進(jìn)行復(fù)雜度求解時(shí)，通過選擇均值包絡(luò)曲線代替原始數(shù)據(jù)進(jìn)行排列熵求解，在對上、下包絡(luò)曲線進(jìn)行三次樣條插值時(shí)限定了時(shí)間序列長度，避免了因時(shí)間序列過長導(dǎo)致排列熵計(jì)算過程中嵌入維數(shù)、時(shí)間延遲參數(shù)無法準(zhǔn)確選擇的問題，同時(shí)減少了時(shí)間序列長度，提高了解算效率。

3 仿真驗(yàn)證

為了驗(yàn)證本文提出的均值排列熵算法對長時(shí)間序列的復(fù)雜度計(jì)算問題，選擇光纖陀螺輸出信號(hào)作為原始數(shù)據(jù)進(jìn)行驗(yàn)證。在常溫條件下對陀螺組件進(jìn)行性能測試，采樣頻率4Hz，輸出單位為(°)/h，選取某一溫度下的，長度為4096(=2×2048)的一組光纖陀螺靜態(tài)漂移數(shù)據(jù)，如圖2所示。

圖2 光纖陀螺的原始信號(hào)(N=2×2048)Fig.2 The original signal of FOG(N=2×2048)

設(shè)置三次樣條插值后的時(shí)間序列長度為2048，對得到的原始時(shí)間序列進(jìn)行上、下包絡(luò)曲線求解，得到均值包絡(luò)曲線如圖3所示。

圖3 原始信號(hào)的包絡(luò)曲線Fig.3 Envelope curve of the original signal

分別對上、下包絡(luò)曲線，均值包絡(luò)曲線及原始信號(hào)數(shù)據(jù)進(jìn)行排列熵求解，并統(tǒng)計(jì)單次計(jì)算排列熵的時(shí)間，得到結(jié)果如表1所示。

表1 排列熵結(jié)果(N=2×2048)

如表1所示，上、下包絡(luò)曲線與均值包絡(luò)曲線的排列熵值相近，且計(jì)算效率相似。對于長度為=2048的光纖陀螺輸出信號(hào)，取=6，=1更能準(zhǔn)確表達(dá)其排列熵值，避免了參數(shù)選擇過程，提高了計(jì)算效率。

為了繼續(xù)驗(yàn)證均值排列熵算法對長時(shí)間序列的復(fù)雜度計(jì)算問題，選取某一溫度下的，長度為6144(=3×2048)的一組光纖陀螺靜態(tài)漂移數(shù)據(jù)，如圖4所示。

圖4 光纖陀螺的原始信號(hào)(N=3×2048)Fig.4 The original signal of FOG(N=3×2048)

設(shè)置三次樣條插值后的時(shí)間序列長度為2048，分別對上、下包絡(luò)曲線，均值包絡(luò)曲線及原始時(shí)間序列進(jìn)行排列熵求解，并統(tǒng)計(jì)單次計(jì)算排列熵的時(shí)間，得到結(jié)果如表2所示。

表2 排列熵結(jié)果(N=3×2048)

排列熵的取值范圍為[0,1]，其取值越大表示時(shí)間序列的復(fù)雜程度越高，對比表1和表2可知：1)對于長度為4096及6144的光纖陀螺輸出序列而言，采用常規(guī)排列熵算法進(jìn)行復(fù)雜程度分析，其差值僅為0.0054，無法有效區(qū)分不同時(shí)間序列之間的復(fù)雜程度；2)以均值包絡(luò)曲線的排列熵值作為光纖陀螺輸出信號(hào)的復(fù)雜度衡量，針對長度為6144(=3×2048)的時(shí)間序列，能夠準(zhǔn)確反映其排列熵值并提高計(jì)算效率；長度為6144(=3×2048)的光纖陀螺輸出信號(hào)復(fù)雜程度大于長度為4096(=2×2048)的光纖陀螺，符合排列熵的客觀規(guī)律，驗(yàn)證了均值排列熵的可行性。同時(shí)，由于均值排列熵算法確定了均值包絡(luò)曲線的長度，避免了在排列熵解算過程中的嵌入維數(shù)選擇問題，提高了算法的自適應(yīng)性。

4 結(jié)論

本文針對長時(shí)間序列復(fù)雜度計(jì)算問題，以光纖陀螺輸出信號(hào)為研究背景，以排列熵算法作為研究基礎(chǔ)，引入均值包絡(luò)思想，提出了一種可有效應(yīng)用于長時(shí)間序列復(fù)雜度計(jì)算的排列熵方法。采用均值排列熵算法可以有效概括輸出序列的復(fù)雜程度，并以此作為特征信息，為后續(xù)工程實(shí)踐提供基礎(chǔ)。算法分析與實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：

1)均值排列熵算法在解算過程中避免了參數(shù)選擇問題對排列熵解算過程的影響，通過將均值包絡(luò)曲線限定在特定時(shí)間序列長度下，完成排列熵的解算，提高了算法的自適應(yīng)性。

2)通過確定均值包絡(luò)曲線的長度，減少了長時(shí)間序列排列熵的求解時(shí)間，提高了解算效率。

3)通過對不同時(shí)間序列長度下的光纖陀螺輸出信號(hào)的復(fù)雜度進(jìn)行求解，所得結(jié)果符合理論依據(jù)，驗(yàn)證了均值排列熵算法在衡量復(fù)雜度方面的可行性。