基于集對分析的SFT特征函數重構及性質研究

崔鐵軍，李莎莎

（1.遼寧工程技術大學 安全科學與工程學院, 遼寧 葫蘆島 125105; 2.遼寧工程技術大學 工商管理學院, 遼寧葫蘆島 125105）

任何系統存在的意義在于完成規定時間內、規定條件下的預定功能。完成該功能的能力稱為可靠性，反之為失效。系統具有可靠性的狀態稱為可靠狀態，反之稱為失效狀態。可靠與失效是對于系統功能而言的，可靠和失效狀態組成了系統功能狀態；兩者組成了功能狀態的全集，之間沒有交集，但可相互轉化。因此系統可靠性的變化可理解為系統功能狀態在不同因素影響下可靠狀態與失效狀態的轉化過程。系統功能狀態至少包括可靠和失效兩種狀態。進一步的，在實際的系統功能狀態研究中，更多的是難以判斷的功能狀態，無法確定功能狀態歸屬，即未知或不確定狀態。這種情況下系統功能狀態至少包括可靠、不確定和失效3種狀態。雖然將系統功能狀態表示為多狀態的疊加方式更具靈活性且反映了真實情況，但如何表示這種系統功能狀態成為首要問題。

關于系統功能狀態、可靠和失效的表示和研究已有一些。這些研究包括：車輛系統機電設備故障監測及診斷[1]、電池儲能系統BMS的功能安全分析[2]、惡劣環境風光互補電路故障診斷[3]、城市軌道交通應急指揮系統功能研究[4]、飛行器電源系統故障可觀測性研究[5]、列控系統等級轉換場景功能安全分析[6]、控制功能失效的微電網系統可靠性評估[7]、智能變電站保護與控制障礙診斷與預測[8]、核電廠安全級儀控系統設計[9]、設臺車液壓系統動態特性及故障診斷[10]等。這些研究一般針對具體行業，由于這些行業各具特點，因此方法缺乏通用性，難以形成連貫的理論方法體系。

綜上所述，系統功能狀態至少存在2種或3種狀態的相互轉化關系，這些狀態既對立又統一，同時動態轉化。這些特征與集對分析思想是相同的。因此基于集對分析的聯系數對SFT[11-12]的特征函數進行重構，形成SFT可用的聯系數特征函數，從而得到元件故障概率分布和系統故障概率分布。最終討論了這些分布性質及特征函數運算方式和法則，為基于集對分析重構SFT奠定基礎。

1 集對思想與系統功能的同構關系

集對分析是處理系統確定性與不確定性相互作用的數學理論，是我國學者趙克勤[13-14]于 1989年提出的。若用集合表示成對事物中的雙方，則該事物就是由兩個集合組成的對子，即具有一定聯系的兩個集合組成的系統稱為集對[13-14]。

集對分析建立在兩個原理之上，即成對原理和系統不確定性原理。成對原理認為事物成對存在[13-14]，是事物普遍聯系和對立統一的另一種說法。系統不確定性原理認為同一事物的宏觀層面與微觀層面聯系在一起進行系統性的研究時將出現不確定性。不確定性首先源于層次劃分的相對性和層次邊界的模糊性，其次源于系統層次的變化和轉化[13-14]。進一步的，確定性和不確定性很可能存在于同一層面中。這樣即使研究一個系統的一個層次也會面對確定性和不確定性。在該層之上的層次中，該層次的確定性增加，不確定性降低；下層次中，該層次的不確定性增加，確定性降低。

集對分析中使用聯系數表示集對的特征函數，是一種結構函數[13-14]。二元聯系數表示為μ=a+bi，其中a+b=1，i∈[?1,1]。a和b稱為二元聯系數的聯系分量，前者為確定聯系分量，后者為不確定聯系分量，i為b的不確定系數。三元聯系數表示為μ=a+bi+cj，其中a+b+c=1，i∈[?1,1]，j=?1。a、b和c稱為三元聯系數的聯系分量，分別為同分量、異分量和反分量，i為b的異分量系數，j為c的反分量系數。進一步可得到無窮元聯系數，可參考文獻[13-14]的論述。

SFT用于研究系統可靠性與故障之間關系，包括空間故障樹理論基礎[11-12]、智能化空間故障樹[15-17]、空間故障網絡[18-22]、系統運動空間與系統映射論[23]。SFT的核心是確定系統中元件故障概率或稱為事件發生概率，這里的事件指元件故障，兩種說法等效，論文使用元件故障概率（分布）和系統故障概率（分布）表示。確定元件故障概率分布的方法很多，在SFT中主要通過特征函數解決。SFT中的特征函數表示單一因素變化后影響元件故障發生概率的變化規律，再將所有特征函數疊加確定多因素影響下該元件故障概率分布。因此元件故障概率分布表示了該元件的安全與不安全狀態、可靠與不可靠狀態、非故障與故障狀態等的變化特征。考慮元件組成系統的結構，可得到系統故障概率分布，同樣可表示系統的安全與不安全狀態變化特征。

進一步的，系統功能即為系統預定的能力，為保持系統在預定時間內完成預定功能的能力即為可靠性。因此任何系統完成預定功能稱為可靠，不能完成或者完成能力下降稱為失效。同時考慮到存在即為系統的哲學觀點，而系統存在的意義就是為了完成功能，那么系統存在的關鍵就是維持可接受的可靠性。這種保持可接受可靠性的狀態稱為系統功能狀態的可靠狀態，對應的狀態為失效狀態。因此系統功能狀態是在不同因素影響下可靠狀態與失效狀態的相互轉化。其具有如下特點：可靠狀態和失效狀態組成了功能狀態的全域；可靠狀態與失效狀態沒有交集；可靠狀態和失效狀態是相互動態轉化的。

將系統功能表示為二元聯系數μ=a+bi，a表示可靠與失效的確定性分量，b表示功能狀態的不確定性分量?；蛘邔表示成可靠狀態分量，b表示失效狀態分量。這兩種表示都可使用聯系數對系統功能狀態進行表示。但使用三元聯系數更為恰當，即μ=a+bi+cj。文獻[18-22]研究表明，系統功能狀態的確定實際是困難的，即使在因素確定的情況下也較為困難?？紤]如下情況，在測試軍用移動通信設備時，100套設備被分配給作戰人員同時部署。這些設備相當于同時使用，使用環境相差不多，但不同人員對系統的功能性有不同評價。80人認為系統可靠穩定，5人認為系統功能缺失無法使用，剩余15人則難以判斷。這就明顯的形成了一種三態系統功能狀態空間，即可靠狀態、不確定狀態和失效狀態。因此使用三元聯系數更為清晰，a、b和c分別為可靠狀態分量、不確定狀態分量和失效狀態分量。在該例子中，a=80/100=0.8、b=15/100=0.15、c=5/100=0.05，三元聯系數為μ=0.8+0.05i+0.15j，二元聯系數為μ=0.95+0.05i。當然也可以將可靠與失效狀態劃分更多層次使用多元聯系數描述。

綜上可知，集對分析與系統功能分析是同構關系。它們都是兩個集合之間的關系，具有全域、不相交和動態轉化特征。因此使用聯系數描述系統功能狀態是可行的。具體的可用聯系數重構SFT的特征函數，進而疊加形成元件故障概率分布，最終得到系統故障概率分布。在得到分布后就可通過數學方法研究系統故障的變化規律，即系統功能狀態特征和規律。以三元聯系數特征函數為例，其優點在于，特征函數形成期間就將可靠狀態、不確定狀態和失效狀態分開。借助三元聯系數運算方法，在合成及分析元件和系統故障概率分布時三者特征是分開運算的，所得結果也可以清晰地分辨出不同狀態對應結果的影響程度；以往方法則容易混淆在一起。

2 聯系數特征函數重構

首先給出SFT中元件故障的特征函數Pi(xn)、元件故障概率分布Pi(x1,x2,···,xN)、系統故障概率分布PT(x1,x2,···,xn)。

式中：xn表示第n個因素；N為因素總數；i表示第i個元件。

式(1)是重構研究的基礎，實際上確定某元件對于某因素的特征函數的方法很多，包括簡單的擬合方法[11-12]、因素投影擬合法[24]、模糊結構元方法[25]、云模型方法[13]、神經網絡方法[26]等。這些方法各具特點，根據不同數據使用不同方法，但它們都使用了復雜的數學模型并需要大量數據。這對于實際，特別是現場數據的收集提出了很高要求。

由第1節論述可知，集對分析方法的基本思想與系統功能狀態是同構的，可使用聯系數表示系統功能狀態，即使用聯系數表示可靠狀態、不確定狀態和失效狀態。而第1節實例也表明這3種狀態分量的具體數據是較容易獲得的。因此可使用聯系數重構SFT的特征函數，形成聯系數特征函數。這種特征函數具備了集對分析的同異反狀態，分別對應了可靠、不確定和失效狀態，具體定量化也相對簡單。使用聯系數重構特征函數為

式中：Rn表示可靠的元件數；Fn表示失效的元件數；Un表示不確定狀態的元件數；Nn表示元件總數，Nn=Rn+Fn+Un；ln表 示 不 確 定分 量系 數 ，ln∈[?1,1]；jn表示失效分量系數，jn=?1。

考慮多因素同時作用于單一元件，將式(4)代入式(2)，得到元件故障概率分布的聯系數表示為

進一步的，將式(5)代入式(3)得到系統故障概率分布的聯系數表示為

式(4)~(6)是重構的基于集對分析方法的SFT特征函數（聯系數特征函數）、元件故障概率分布和系統故障概率分布，是構建基于集對分析的SFT方法的基礎。

3 聯系數特征函數的性質與基本運算

如式(5)所示，可知元件故障概率分布使用聯系數表示后，其分布與可靠分量系數無關，同時失效分量系數變為2倍，又因為ln∈[-1,1]，因此有

在SFT的基本運算中，涉及特征函數的加法、乘法、積分和微分等形式。

聯系數特征函數的加法為

轉化為確定不確定的表達方式為

聯系數特征函數的乘法為

轉化為確定不確定的表達方式為

上述的計算方法來源于三元聯系數的計算法則，讀者可參考文獻[13-14]確定進一步的運算規則和法則。對于聯系數特征函數的積分和微分可按照一般代數形式處理，異分量系數i和反分量系數j在運算過程中不變。甚至可以對i和j求偏導研究系統功能狀態隨著不確定性變化的變化規律。

將上述理論應用于實際問題的過程，較原有方法更為簡單。應用的關鍵是確定式(4)中的各參數，而不需要使用解析方法確定函數。式中ln和jn是固定的 或 具 有范圍值；Rn、Fn和Un分 別 表示可靠、失效和不確定狀態的元件數，可通過對元件故障過程的統計獲得，例如第1節給出的例子；Nn為Rn、Fn和Un之和。所以只要掌握故障元件分類后各狀態的數量即可實施上述分析過程。

本文論述了使用集對分析的聯系數重構SFT特征函數的方法。從確定和不確定角度，可表示為二元聯系數，前項為可靠和失效分量系數和，后項為不確定狀態分量系數。從系統功能狀態角度，可表示為三元聯系數，前項為可靠分量系數、中項為不確定分量系數，后項為失效分量系數。對于系統功能狀態的研究，二元聯系數具有理論研究意義，研究確定與不確定性關系；三元聯系數具有實際研究意義，研究3種功能狀態關系。

特征函數是SFT理論的基礎。以往特征函數一般通過解析獲得，從而建立解析表示方式的SFT。但對于更為廣泛的實際故障過程和數據使用解析方法是困難的，而集對分析提供了對故障數據的分類方法，進而確定具有統計意義的特征函數。這種特征函數雖然不及解析方法準確，但蘊含了故障數據的不確定性。因此通過集對分析構造的特征函數更具有統計意義，基于此重構SFT可使原有各種方法具有該能力，進一步解決系統功能狀態的矛盾關系。這些方法的重構也是進一步需要展開的研究內容。

4 結束語

利用集對分析的聯系數重構了SFT特征函數，為使用集對分析思想研究系統功能狀態及建立適應的SFT理論奠定基礎。

1）研究了集對分析思想與系統功能狀態的關系，認為兩者是同構的，集對分析可用于系統功能狀態的研究。二元聯系數表示系統的確定和不確定功能狀態關系；三元聯系數表示系統可靠、不確定和失效的功能狀態關系。

2）建立了基于聯系數的特征函數。使用三元聯系數重構了SFT特征函數，并得到了元件故障概率分布的聯系數表示及系統故障概率分布的聯系數表示。

3）研究了特征函數的性質與基本運算，包括聯系數特征函數、元件故障概率分布和系統故障概率分布的一些性質。聯系數特征函數的各種運算可參照集對分析中三元聯系數的運算方法和法則。