圓弧形沉積谷地在平面SV波入射下地震響應(yīng)的有限元分析

蔡曼琳，丁海平，2，于彥彥

（1.蘇州科技大學(xué)江蘇省結(jié)構(gòu)工程重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江蘇蘇州 215011；2.中國(guó)地震局工程力學(xué)研究所，哈爾濱150080）

引言

地形對(duì)地震動(dòng)的影響研究主要有兩種方法：一種是利用場(chǎng)地觀測(cè)臺(tái)站的地震記錄；另一種是理論分析方法，常用的有解析法和數(shù)值法。解析法主要指的是波函數(shù)展開(kāi)法［1－4］，考慮的地形幾何形狀和介質(zhì)的材料特性相對(duì)比較簡(jiǎn)單，其結(jié)果可以用于檢驗(yàn)數(shù)值法的計(jì)算精度。而數(shù)值法的種類較多，文獻(xiàn)［5］把數(shù)值法歸納為3 類：域方法，包括有限差分法、有限元法和譜單元法［6－11］；邊界元方法［12－14］；將幾種數(shù)值方法相結(jié)合的聯(lián)合方法［15－16］。沉積谷地（盆地）作為最常見(jiàn)的地形之一，是人類生活和工作的主要區(qū)域，研究其對(duì)地震波的傳播影響很重要。對(duì)于復(fù)雜的地形和地質(zhì)條件的場(chǎng)地，解析法受到一定的限制。隨著計(jì)算機(jī)的發(fā)展和大型有限元軟件的出現(xiàn)，有限元數(shù)值法已成為一種更方便和更有效的手段。采用有限元方法分析場(chǎng)地效應(yīng)時(shí)，需要用人工邊界把半空間問(wèn)題限制在一個(gè)有限的區(qū)域內(nèi)解決。目前的大型有限元軟件大多沒(méi)有設(shè)置人工邊界，但可以采用基于粘性邊界或粘-彈性邊界的等效荷載輸入方法實(shí)現(xiàn)［17－20］，由于在滿足這些邊界條件時(shí)存在參數(shù)選擇問(wèn)題，其精度受到一定限制。在眾多的人工邊界中，多次透射公式（MTF）是一種易于實(shí)現(xiàn)且精度較高的局部人工邊界條件［21］。本文將利用Ansys 有限元軟件結(jié)合MTF 的計(jì)算工具，分析圓弧形沉積谷地對(duì)入射SV 波放大特征。由于場(chǎng)地地表地震動(dòng)峰值的分布受不同地震波輸入的影響，如文獻(xiàn)［22］發(fā)現(xiàn)：同一個(gè)場(chǎng)地模型在不同的地震波入射下，地表的地震動(dòng)峰值分布呈現(xiàn)顯著的差異性；文獻(xiàn)［23］也指出：不同地震波作用下，地震動(dòng)峰值放大系數(shù)的影響程度和范圍有區(qū)別，因此，本文將進(jìn)行頻域結(jié)果分析，避免受不同輸入地震波的影響［24］。

1 計(jì)算方法

如圖1所示由人工邊界和地表包圍的區(qū)域結(jié)構(gòu)-地基系統(tǒng)，運(yùn)動(dòng)方程為：

圖1 結(jié)構(gòu)-地基系統(tǒng)動(dòng)力反應(yīng)分析示意圖Fig.1 Schematic diagram of dynamic response analysis of structure-foundation system

式中：M為質(zhì)量矩陣；C為阻尼矩陣；K為剛度矩陣；P為外力矢量。

在地震波作用下，本文所討論的波動(dòng)問(wèn)題有2 個(gè)問(wèn)題需要解決好：一是邊界問(wèn)題；二是地震波的輸入問(wèn)題，且這2個(gè)問(wèn)題是相關(guān)聯(lián)的。

（1）人工邊界

本文的人工邊界采用的是多次透射公式（Multi-Transmitting Formula，簡(jiǎn)記為“MTF”）［21］。設(shè)某一入射波以人工波速ca沿x軸從左側(cè)射向人工邊界點(diǎn)0（圖2），記點(diǎn)j在p時(shí)刻的位移表達(dá)式為=u(pΔt,jΔx)，j和p為整數(shù)，Δt為時(shí)間步距，Δx為空間步距，若Δt=Δx/ca，則可直接用與人工邊界垂直方向上的內(nèi)部節(jié)點(diǎn)的位移確定：

圖2 人工邊界附近節(jié)點(diǎn)編號(hào)，一維波動(dòng)模型圖Fig.2 Node number near artificial boundary，one-dimensional wave model

式中：

由于MTF模擬的是外行波，即散射波us，其表達(dá)式為：

式中：us散射波位移；u為全波場(chǎng)位移；ur為參考波場(chǎng)的位移（對(duì)底邊界，參考波場(chǎng)可直接取輸入場(chǎng)，對(duì)側(cè)邊界，則通常取為自由場(chǎng)。令多次透射公式（2）中u=us，將式（4）代入式（2）中，則：

（2）地震波的輸入

假定輸入地震波為位移，則輸入面為人工邊界節(jié)點(diǎn)所在位置，人工邊界點(diǎn)的全波場(chǎng)位移為：

式中：下標(biāo)i表示內(nèi)節(jié)點(diǎn)（包括自由表面節(jié)點(diǎn)）；b表示邊界節(jié)點(diǎn)。對(duì)于散射問(wèn)題，方程（7）的右邊荷載項(xiàng)為0，方程（7）就變成已知邊界點(diǎn)ub的位移求解內(nèi)節(jié)點(diǎn)位移問(wèn)題。對(duì)于波源問(wèn)題，方程（7）的右邊pb為0，方程（7）就變成已知邊界點(diǎn)ub的位移和pi求解內(nèi)節(jié)點(diǎn)位移問(wèn)題。只要選擇一種合適的數(shù)值積分格式，兩種情形都很容易對(duì)方程（7）進(jìn)行求解。

（3）有限元數(shù)值模擬的網(wǎng)格尺寸要求

解析方法給出的場(chǎng)地地震響應(yīng)一般是基于無(wú)量綱頻率的譜比（或稱譜放大系數(shù)），其中無(wú)量綱頻率定義為：

式中：a為沉積谷地地形半寬；λs為土層介質(zhì)中剪切波波長(zhǎng)；cs為土層剪切波速；ω為圓頻率。參數(shù)η表示沉積谷地寬度與土層介質(zhì)中剪切波波長(zhǎng)之比，η值越大，其入射波波長(zhǎng)越小，對(duì)應(yīng)的頻率f越高。

進(jìn)行有限元數(shù)值模擬時(shí)，網(wǎng)格尺寸一般需要滿足在一個(gè)有意義的波長(zhǎng)內(nèi)包含有10 個(gè)單元網(wǎng)格，如下列關(guān)系式：

式中：λ表示為入射波的波長(zhǎng)；Cs表示為沉積介質(zhì)中的剪切波速；T表示為入射波的周期；fcut表示為入射波的截止頻率，本文取40 Hz。根據(jù)式（9），確定網(wǎng)格尺寸Δx=0.5 m；根據(jù)穩(wěn)定性條件，時(shí)間步距dt=0.000 25 s。

2 方法驗(yàn)證

算例1：均勻半空間沉積谷地

采用文獻(xiàn)［13，26］相同的沉積谷地模型和介質(zhì)參數(shù)作為算例（圖3），以垂直入射脈沖波的計(jì)算結(jié)果驗(yàn)證本文的有限元方法。計(jì)算參數(shù)為無(wú)量綱頻率η=2a/λs，泊松比μ=1/3，沉積谷地與半空間的剪切波速之比為200/400，壓縮波速之比為400/800，介質(zhì)密度之比1.4/1.8，半圓形沉積谷地半徑取a=25 m。

圖3 方法驗(yàn)證模型圖-均勻半空間沉積谷地Fig.3 Model diagram of method validation-alluvial valley embedded in a uniform half-space

在上述模型的地表取41個(gè)觀測(cè)點(diǎn)，編號(hào)分別為0～40，圖4 為41 個(gè)點(diǎn)水平方向和豎直方向的時(shí)程圖。首先將場(chǎng)地各點(diǎn)的位移進(jìn)行傅里葉變換，得到頻域響應(yīng)的傅里葉譜，再計(jì)算與入射脈沖波的傅里葉譜的比值。文獻(xiàn)［13］和文獻(xiàn)［26］給出了入射角θ=0°，無(wú)量綱頻率η=1的解析解。圖5為本文計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)［13］和文獻(xiàn)［26］進(jìn)行比對(duì)，從圖中的對(duì)比結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)：采用本文方法得到的數(shù)值模擬結(jié)果與解析解吻合，由此驗(yàn)證了本文方法的正確性。

圖4 均勻半空間沉積谷地地表時(shí)程圖Fig.4 Time history diagram of surface-alluvial valley embedded in a uniform half-space

圖5 本文計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)［13］和文獻(xiàn)［26］結(jié)果的比較Fig.5 Comparison of results from this paper and Reference［13］，［26］

算例2：層狀半空間沉積谷地

采用文獻(xiàn)［27］的層狀半空間中半圓沉積地形模型和介質(zhì)參數(shù)（圖6），同樣以垂直入射脈沖波的計(jì)算結(jié)果為例驗(yàn)證本文方法。沉積谷地與土層的剪切波速之比為200/400，土層與基巖的剪切波速之比為400/800；沉積谷地與土層的壓縮波速之比為400/800，土層與基巖的壓縮波速之比為800/1 600。沉積谷地與土層的介質(zhì)密度之比1.6/2.4，土層與基巖的介質(zhì)密度之比2.4/3.2，泊松比均為μ=1/3，半圓形沉積谷地半徑取a=25 m。

圖6 方法驗(yàn)證模型圖-層狀半空間沉積谷地Fig.6 Model diagram of method validation-alluvial valley embedded in a layered half-space

在上述模型的地表取41個(gè)觀測(cè)點(diǎn)，編號(hào)分別為0～40，圖7為41個(gè)點(diǎn)水平方向和豎直方向的時(shí)程圖。與算例1 的方法相似，首先將場(chǎng)地地表各點(diǎn)的位移進(jìn)行傅里葉變換，得到頻域響應(yīng)的傅里葉譜，再計(jì)算與入射脈沖波的傅里葉譜的比值。文獻(xiàn)［27］給出了入射角θ=0°，無(wú)量綱頻率η=0.5 的解析解。圖8 為本文計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)［27］的比對(duì)，從對(duì)比結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)：采用本文方法得到的模擬結(jié)果與FRANCISCO 等［27］給出的解析解吻合，由此驗(yàn)證了本文方法的正確性。

圖7 層狀半空間沉積谷地地表時(shí)程圖Fig.7 Time history diagram of surface-alluvial valley embedded in a layered half-space

圖8 本文計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)［27］結(jié)果的比較Fig.8 Comparison of results from this paper and Reference［27］

3 輸入波形和計(jì)算模型

假定入射SV 波為脈沖波（圖9），輸入波的截止頻率大約為fcut=40Hz。有限元計(jì)算模型為半空間上有一簡(jiǎn)單圓弧形沉積，長(zhǎng)300 m，高100 m，如圖10所示。沉積介質(zhì)的密度為1 600kgm3，土層介質(zhì)的密度為1 800kgm3，層狀半空間中基巖介質(zhì)的密度為2 200kgm3，泊松比均為1/3。

圖9 輸入脈沖波時(shí)程及相應(yīng)傅里葉譜Fig.9 Time history and Fourier spectrum of Pulse wave

圖10 沉積谷地計(jì)算模型示意圖Fig.10 Calculation model of alluvial valley

本文假定了4個(gè)計(jì)算模型，模型參數(shù)見(jiàn)表1。模型1和模型2為均勻半空間沉積谷地模型；模型3和模型4為層狀半空間沉積谷地模型，其中土層厚度為75 m，基巖厚度為25 m。

表1 模型參數(shù)Table 1 Model parameters

根據(jù)計(jì)算模型中沉積谷地半寬與土介質(zhì)特性，由式（8）可得無(wú)量綱頻率與實(shí)際頻率對(duì)應(yīng)關(guān)系見(jiàn)表2。

表2 無(wú)量綱頻率對(duì)應(yīng)的實(shí)際頻率（Hz）Table 2 Actual frequency（Hz）corresponding to the dimensionless frequency

4 算例與分析

采用本文提出的有限元模擬方法研究沉積河谷地形對(duì)平面SV 波的寬頻散射，給出了不同入射角度和河谷深寬比等參數(shù)下的單頻結(jié)果。SV波入射角度分別為θ=0°、15°、25°，無(wú)量綱頻率分別為η=0.25、0.5、1、2、4、6。

4.1 均勻半空間沉積谷地

圖11 給出了不同角度SV 波入射下均勻半空間半圓形沉積河谷（模型1，h/a=1.0）地表位移譜放大系數(shù)β。垂直入射（θ=0°）情形下：沉積河谷上方水平方向的放大系數(shù)β基本大于2.0，在x/a=0 及其附近處最大；除了頻率η=0.25，放大系數(shù)β=2.71，其它頻率的放大系數(shù)β在4.0～6.0 之間；在＞1 范圍內(nèi)，放大系數(shù)β大于2 的情況不多。隨著入射角度增大，如分別為θ=15°、25°，放大系數(shù)β略有增大；且隨著頻率的增大，放大系數(shù)β的最大值向入射波的異側(cè)偏移，但偏移的幅度不大。

圖11 SV波入射下均勻半空間半圓形沉積河谷地表位移譜放大曲線（模型1）Fig.11 Amplification curve of surface displacement spectrum of semicircular alluvial valley in uniform half space under SV wave incidence（model 1）

豎直方向放大系數(shù)的特點(diǎn)與水平方向相似，但β要小于對(duì)應(yīng)的水平方向，特別是當(dāng)頻率較小時(shí)，如η=0.25，各種情形下整個(gè)地表范圍的放大系數(shù)β均小于2；另外，在x/a=0及其附近處放大系數(shù)β最小。

圖12 給出了不同角度SV 波入射下均勻半空間淺圓弧形沉積河谷（模型2，h/a=0.4）地表位移譜放大系數(shù)β。垂直入射（θ=0°）情形下：沉積河谷上方水平方向在η=0.25 時(shí)的放大系數(shù)β接近于2，沒(méi)有反映出地形的影響，隨著頻率的增大，沉積河谷的影響逐漸明顯，放大系數(shù)β也有增大，但也少有大于6.0；在＞1 范圍內(nèi)，所有頻率的放大系數(shù)β大于2 的情況也不多。隨著入射角度增大，如分別為θ=15°、25°，頻率較小時(shí)的放大系數(shù)β略有增大，頻率增大時(shí)不明顯；且隨著頻率的增大，放大系數(shù)β的最大值向入射波的異側(cè)偏移，但偏移的幅度不大。豎直方向的放大系數(shù)的特點(diǎn)與水平方向相似，但放大值要小于水平方向。在＜1 范圍內(nèi)，相對(duì)于半圓形沉積河谷，淺圓弧形沉積河谷在頻率較小階段的放大系數(shù)較小。

圖12 SV波入射下均勻半空間淺圓形沉積河谷地表位移譜放大曲線（模型2）Fig.12 Amplification curve of surface displacement spectrum of shallow arc alluvial valley in uniform half space under SV wave incidence（model 2）

4.2 層狀半空間沉積谷地

圖13給出了不同角度SV波入射下層狀半空間中半圓形沉積河谷（模型3，h/a=1.0）地表位移譜放大系數(shù)β。η=2.0時(shí)的放大系數(shù)β相對(duì)最大。隨著入射角度增大，放大系數(shù)β的變化明顯，較均勻半空間中半圓形沉積河谷的大；且隨著頻率的增大，放大系數(shù)β的最大值向入射波的異側(cè)偏移，但偏移的幅度不大。豎直方向放大系數(shù)的特點(diǎn)與水平方向相似，但β值要小于對(duì)應(yīng)的水平方向。

圖13 SV波入射下半空間半圓形沉積河谷地表位移譜放大曲線（模型3），其中虛線為對(duì)應(yīng)的半空間地表位移譜放大曲線Fig.13 Amplification curve of surface displacement spectrum of semicircular alluvial valley in layered half space under SV wave incidence（model 3），and the dotted line is displacement spectrum amplification curve corresponding half-space ground

圖14給出了不同角度SV波入射下層狀半空間中淺圓弧形沉積河谷（模型4，h/a=0.4）地表位移譜放大系數(shù)β。在＜1范圍內(nèi)，相對(duì)于層狀半空間中半圓形沉積河谷，層狀半空間中淺圓弧形沉積河谷在較小頻率階段的放大系數(shù)較小，頻率較大時(shí)的放大系數(shù)相差不大。

圖14 SV波入射下層狀半空間淺圓形沉積河谷地表位移譜放大曲線（模型4），其中虛線為對(duì)應(yīng)的層狀半空間地表位移譜放大曲線Fig.14 Amplification curve of surface displacement spectrum of shallow arc alluvial valley in layered half space under SV wave incidence（model 4），and the dotted line is displacement spectrum amplification curve correspondinglayered half-space ground

圖13-14 中同時(shí)給出了與模型3 和模型4 對(duì)應(yīng)的半空間和層狀半空間地表位移譜放大曲線（見(jiàn)圖中虛線）。對(duì)于半空間和層狀半空間模型，其地表位移譜放大結(jié)果對(duì)應(yīng)相同的頻率在圖中表示為直線。與半空間和層狀半空間圓弧形沉積河谷地表位移譜放大曲線相比，半空間和層狀半空間的場(chǎng)地放大效應(yīng)明顯偏??；但有極少數(shù)情形，半空間和層狀半空間的場(chǎng)地放大效應(yīng)反而較大，這與盆地內(nèi)的介質(zhì)特性有關(guān)。

5 結(jié)論

本文采用有限元數(shù)值模擬方法研究了均勻半空間和層狀半空間中圓弧形沉積谷地對(duì)入射平面SV 波的散射問(wèn)題，并分析了河谷深度、入射角度和頻率等因素的影響，得出一些有意義的結(jié)論：

（2）層狀半空間沉積河谷的β比均勻半空間沉積河谷的大，其中層狀土介質(zhì)的因素很大?？傮w上，層狀半空間半圓形和淺圓弧形沉積河谷的放大系數(shù)β的變化趨勢(shì)，與均勻半空間半圓形和淺圓弧形沉積河谷相似。

（3）入射角度對(duì)放大系數(shù)β有影響，特別是頻率η較小階段，隨著頻率的增大，β有增大；另外且隨著頻率的增大，放大系數(shù)β的峰值向入射波的異側(cè)偏移，但偏移的幅度不大。

（4）豎直方向的放大系數(shù)β與上述水平方向的類似，＞1范圍內(nèi)的地表放大系數(shù)β較大。但與水平方向的地表放大系數(shù)β的峰值總是出現(xiàn)在=0 附近不同，豎直方向的放大系數(shù)β的谷值一般出現(xiàn)在=0附近。

（5）大多情形下，半空間和層狀半空間的場(chǎng)地放大系數(shù)β比層狀半空間圓弧形沉積河谷的放大系數(shù)β明顯偏小。