球形腔小孔節流空氣靜壓軸承優化設計

李一飛， 尹益輝

(1.青海民族大學 土木與交通工程學院， 青海 西寧 810007； 2.中國工程物理研究院 總體工程研究所， 四川 綿陽 621900)

引言

空氣靜壓支承軸承具有摩擦小、運動精度高、使用壽命長的優點，已成為超精密加工或測量設備中的主流功能單元[1-6]。在該類軸承中具有多種節流方式，其中節流小孔易于制造且具有良好的可維護性， 因此獲得了最廣泛的應用。對于小孔節流空氣靜壓支承軸承，在節流小孔下游所布置氣腔的尺寸、形狀可直接影響軸承的力學性能，而力學性能對采用了該類軸承設備的使用性能有顯著影響。因此，在設計中，通過合理的腔形狀、尺寸優化設計，獲取軸承的最佳力學性能，以提升超精密加工、測量設備的使用性能，具有重要的工程應用價值。

氣腔形狀、尺寸對空氣靜壓軸承力學性能的影響已被廣泛討論，重點關注軸承參數對靜力學性能與動力學穩定性的影響，后者包括軸承運行時的氣錘激振與微振動特性。CHEN X D等[7-10]基于不同腔形討論了軸承的靜力學性能與動力學穩定性，重點分析有、無氣腔以及不同氣腔形狀下軸承的氣錘振動與微振動特性。GAO S Y等[11]考慮無腔、圓柱腔、錐形腔等不同腔形對比了軸承的承載力、剛度等力學性能。AOYAMA T等[12]研究了腔形對微振動的影響。LI Y T等[13]基于圓柱腔，分析了軸承氣膜厚度、小孔孔徑、氣腔尺寸對微振動的影響。由分析可知，微振動是一類渦激振動，漩渦的形成可直接導致微振動的產生。對于無腔小孔節流空氣靜壓軸承，在氣膜入口位置若產生激波則可導致漩渦流動與微振動產生，而無超音速區時，軸承無微振動[14]。然而，對于帶腔軸承，由于氣腔提供了充足的流動發展空間，因此始終存在漩渦流動，從而始終存在微振動。微振動產生后，軸承氣膜無法穩定支承被支承件，使被支承件產生納米甚至微米級別振動，對于使用了空氣靜壓軸承的現代超精密加工、測量設備，這種擾動已足以對設備的加工、測量精度產生不利影響[15]，因此，在軸承設計中，應削弱或消除微振動；而氣錘振動的產生，則會引起強烈激振，甚至導致軸承失效[16]，因此，在設計中需要盡量削弱微振動并避免氣錘振動的產生。研究證實，當采用較大容積氣腔時易于產生氣錘振動，而無腔時未觀測到氣錘激振[9,17]，因此，在設計氣腔時常通過減小氣腔容積避免氣錘產生。然而，當氣腔容積減小時會降低軸承的承載力、剛度等靜力學性能，因此，在軸承設計中需要權衡靜、動力學性能，選擇使軸承綜合力學性能最佳的氣腔形狀、尺寸，故有必要引入最優化設計。優化設計在軸承設計中已得到了一定運用[18]，但目前仍以靜力學性能優化為主，且對腔形考慮較少。在軸承設計中引入多目標優化設計，同時考慮靜、動力學性能的優化，在考慮尺寸變量的基礎上進一步增加腔形形狀為設計變量，必可進一步拓展設計空間，有效提升空氣靜壓軸承的力學性能。

球形腔兼具圓柱腔與錐形腔的特點，在工程中獲得了一定應用。本研究以球形腔小孔節流空氣靜壓支承軸承為研究對象，討論兼顧軸承靜、動力學性能的優化設計方法，在優化設計中考慮腔形的形狀優化與氣膜厚度、小孔孔徑的尺寸優化。首先，采用數值仿真分析軸承間隙的流動特性，討論間隙流場中可能出現的流動結構；其次，基于流場分析建立優化設計數學模型，以軸承靜、動力學性能綜合最優為設計目標，并基于徑向基神經網絡方法建立用于優化設計的力學性能近似擬合模型，在不同工況下尋求最優軸承參數組合；最后，基于優化結果，針對該類軸承的力學性能進行擴展討論。

1 軸承幾何與數值仿真模型

在軸承節流小孔的下游，可視工況增加氣腔，氣腔的形狀常選圓柱形、圓錐形、球形等。相比無腔，增加氣腔可有效提升軸承的靜力學性能，但氣容的增加會提高氣錘振動產生的風險，不利于運轉穩定性，因此，腔形選取在軸承設計中至關重要，需權衡考慮靜、動力學性能。球形腔氣容介于圓柱腔與圓錐腔之間，相比無腔軸承，可提供更大的承載力；而相比圓柱腔軸承，其產生氣錘激振的風險更低。因此，該腔形可兼顧靜、動力學性能，在設計中獲得了一定關注。

本研究針對球形腔小孔節流空氣靜壓支承軸承展開研究，軸承構型及間隙流場邊界設置分別如圖1與圖2所示， 由于流場具有旋轉軸對稱特性，在分析中可建立二維旋轉軸對稱模型以簡化計算。

圖1 球形腔小孔節流空氣靜壓支承軸承構型Fig.1 Configuration of aerostatic bearing with spherical pocketed orifice-type restrictor

在力學性能分析與優化設計中，設計變量及范圍分別為：小孔孔徑d取0.1～0.2 mm；氣膜厚度h取5～17 μm；供氣壓力ps取0.30～0.60 MPa。此外，球形氣腔的球心位于小孔中軸線上，如圖2所示，在形狀優化中，球腔半徑R作為優化設計變量，范圍為0.2～2.0 mm。其余軸承參數尺寸包括：軸承直徑D=40 mm；小孔長度l=0.5 mm；腔深s=0.2 mm。

圖2 軸承流場邊界示意圖Fig.2 Boundary conditions of bearing flow field

在小孔入口處設置壓力入口條件等于供氣壓，在氣膜出口處設置出口壓力等于大氣壓，對稱軸處為旋轉軸對稱邊界，軸承壁、小孔壁、止推面為絕熱不可穿透壁面。在采用氣腔后，軸承間隙，尤其氣腔內部流動復雜，以存在大量不同尺度漩渦為特征，因此在流場分析中，采用湍流k-ε模型。

2 軸承跨音速流動特性

相比無腔，采用球形腔的小孔節流空氣靜壓支承軸承發生微振動、氣錘振動的風險更大，需要在設計中進行控制。為進行軸承力學性能的優化設計，需首先明確軸承間隙的流動特征，為優化建模提供基礎。在流場特性研究中，采用數值仿真求解可壓流動的連續性方程、動量方程組與能量方程，獲取軸承間隙的流動狀態。為驗證數值仿真的準確性，采用與文獻[19]實驗研究中相同的軸承構型、尺寸進行對比計算，獲取壓力沿軸承止推面的徑向分布。圖3為壓力分布的數值仿真、實測結果對比，圖中r為止推面某點距中軸線的距離，R為軸承半徑，p為止推面某點壓力。由圖3可見，數值仿真具有足夠的計算精度。

由于氣腔內流動在整個間隙流場中最為復雜，因此進行著重分析。小孔孔徑0.1 mm、氣膜厚15 μm，并分別取小腔半徑為0.2 mm與大腔半徑為2 mm，改變供氣壓而得到小腔和大腔流場跨音速壓力、馬赫數云圖，如圖4～圖7所示。

圖3 空氣靜壓軸承壓力分布仿真、實測結果對比Fig.3 Comparison between numerical and experimental results of bearing pressure distribution

由圖4～圖7可見，由于氣腔容積遠大于小孔，氣流經小孔進入氣腔時會形成內部射流，其后氣流沖擊上止推面，在止推面與對稱軸相交處形成高壓的速度滯止區，在其擠壓下流道方向發生偏轉，從而形成漩渦流動。

由圖4～圖7易識別漩渦中心的低壓區，可見無論采用大腔或小腔，在不同供氣壓下均有漩渦流動形成，而漩渦流動可引起壓力波動并形成微振動[14]。當采用較小氣腔時，由于氣腔容積較小，漩渦流動發展的空間更小；而采用大氣腔時，漩渦流動發展的空間更大，故漩渦流動的影響更大，壓力波動范圍也更大， 但相應的，軸承承載重量也增加，可削弱微振動幅值。可見，微振動幅值需考慮漩渦流與承載重量的綜合影響。當供氣壓增加時，氣流速度逐漸增大，小孔內氣流流動時邊界層不斷加厚，導致有效流道截面積減小，而當氣流自小孔流入氣腔時，射流邊界外偏，又導致有效流道截面積增加，因此，有效流道截面積先減小后增加，類似于拉瓦爾噴管，形成了產生超音速流的條件。當小腔供氣壓為0.60 MPa，以及大腔供氣壓為0.45，0.60 MPa時，都產生了超音速流動。由圖4c、圖5c、圖6b、圖6c、圖7b、圖7c可見，當產生超音速流動后，在氣腔入口附近形成了明顯的膨脹波系，氣流流經膨脹波，速度進一步增加，而壓力減小。

圖5 小腔馬赫數云圖Fig.5 Mach number contour of bearing with small pocket

圖6 大腔壓力云圖Fig.6 Pressure contour of bearing with large pocket

圖7 大腔馬赫數云圖Fig.7 Mach number contour of bearing with large pocket

由分析可知，對于球形腔小孔節流空氣靜壓支承軸承，無論采用大、小腔或有、無超音速流動存在，在氣腔中均存在漩渦流動，從而存在微振動。因此，針對該類軸承的設計，在提升靜力學性能的基礎上，需盡量削弱軸承微振動，并且需消除氣錘振動。對于止推軸承，為避免氣錘振動，一般要求氣腔容積占軸承間隙總容積的比例小于2%～10%[16]；而對于帶腔軸承由漩渦流動引起的微振動，在設計中可通過降低流場湍動能進行有效削弱[11-12]。基于以上認識，可進一步開展軸承的優化設計建模。

3 優化設計建模

對于空氣靜壓軸承，需要在一定的承載條件下，具有盡可能大的剛度，并且具備穩定運轉的能力，即需削弱微振動與氣錘振動。因此，在優化建模中需考慮軸承的剛度、微振動、氣錘振動特性。

3.1 力學性能分析的近似模型

獲取軸承參數對力學性能的影響是進行優化設計的基礎。對于無腔軸承，可基于雷諾潤滑方程求解承載力、剛度，但由于流量連續方程的復雜性，無法獲取解析解，且雷諾潤滑方程假設壓力、密度沿膜厚方向不變，流動為層流，在增加氣腔后，這些假設不再適用。同時，基于雷諾潤滑方程，也無法研究軸承的微振動等動力學特性，故需采用數值仿真方法進行流場分析，討論軸承的力學性能。為進行軸承優化設計，需獲取以軸承參數表示的力學性能解析表達式，因此首先建立軸承力學性能關于設計參數的近似擬合模型。

徑向基神經網絡模型在軸承力學性能的分析中獲得了廣泛應用，可獲取高精度擬合，故本研究采用該模型建立軸承力學性能分析的近似擬合模型，模型具體形式如文獻[14]優化近似模型建立部分。針對球形腔小孔節流空氣靜壓支承軸承，基于正交試驗設計理論，采用小孔孔徑d、氣膜厚h、腔半徑R、供氣壓ps為設計因素，每因素各取7水平，建立正交表L49(74)，采用數值仿真的方式，共進行49組采樣計算。軸承氣膜剛度K定義如式(1)：

K=?W/?h

(1)

式中，W表示承載力。

剛度在計算中以中心差分方式獲取，在優化設計中將剛度最大作為設計目標。要求軸承具有良好的動力學穩定性，則需削弱軸承的氣錘振動與微振動。對于空氣靜壓止推軸承，為避免氣錘振動，一般要求氣腔容積占軸承間隙總容積的比例小于2%～10%，在本研究中取2%作為設計約束；對于微振動，則通過最小化流場湍動能進行削弱[11-12]，在優化設計中，通過最小化流場最大湍動能Tk達到最小化流場湍動能的設計目標。因此，對于每個樣本點，需通過數值仿真采集的力學性能包括剛度、最大湍動能與承載力，氣容占比根據軸承結構的幾何關系計算。

通過建立近似模型， 可獲取軸承力學性能關于參數的數學模型。圖8為球腔半徑R為2 mm、供氣壓ps為0.6 MPa時，軸承氣膜剛度、流場最大湍動能關于小孔孔徑、 氣膜厚度的變化規律。 可見剛度隨氣膜厚度、孔徑非單調變化；而湍動能隨膜厚增加而增加，隨孔徑減小而增加。

圖8 軸承參數對力學性能的影響Fig.8 Influence of bearing parameters on mechanical performances

3.2 優化設計數學模型

在優化設計中，要求對于給定的承載力，尋求使氣膜剛度最大、流場湍動能最小，且腔容積小于軸承間隙總容積2%的參數組合，屬于多目標優化問題，優化目標為剛度最大與流場最大湍動能最小。為進行多目標尋優，需首先在變量設計域內，考慮無約束優化得到最大剛度Kmax與最大湍動能Tkmax，以其對設計目標進行歸一化處理，將多目標優化轉化為單目標優化問題，軸承優化設計的數學模型如式(2)：

(2)

式中, (K/Kmax-Tk/Tkmax)代表歸一化后的優化目標，在優化設計中通過尋求其最大值獲取最佳的剛度與流場最大湍動能組合；Vc與V分別為氣腔與軸承間隙總容積；Wload為給定負載；x=[d,ps,R]T，為設計向量；E為設計域，即變量空間。

4 軸承優化設計

在優化中首先采用多島遺傳算法尋求全局最優點，其后以最優參數為初值并采用Hooke-Jeeves直接搜索方法，進一步尋求更精確的最優解。考慮給定負載F為100, 120, 150 N，分別進行優化設計。采用多島遺傳算法不需給定變量初值，優化結果如表1所示。通過優化，氣膜剛度達到最優值，同時流場最大湍動能被極大削弱，并且氣腔容積占比小于約束值，即軸承在獲取最大剛度的同時削弱了微振動，并降低了氣錘振動發生的風險。

對比圖8、表1分析可見，在考慮多目標優化的最優值中，權衡考慮了2個目標，即獲取了2個目標的綜合最優解。在3組優化結果中，孔徑均趨于最小值，即采用小孔徑有利于使軸承獲取更優良的剛度與動力學穩定性；供氣壓均趨于上限，雖然單純增加供氣壓會提高氣流速度，使湍動能增加，但同時提升了氣膜剛度， 使得綜合目標最優； 對于腔半徑， 最優值在變量區間中，未趨于上、下限，即該變量對于力學性能具有非單調的影響，最優參數應根據工況采用最優設計得到。

表1 軸承優化設計結果Tab.1 Optimization results of aerostatic bearing

5 結論

本研究針對球形腔小孔節流空氣靜壓支承軸承的力學性能展開分析與優化，該腔形兼具圓柱腔與錐形腔的結構特點， 可在提供優于無腔軸承承載力的同時具有相較圓柱腔軸承更優的動力學穩定性。基于流場分析討論了該類軸承間隙內的跨音速流動特性，明確軸承間隙，尤其是腔內的流場結構；采用徑向基神經網絡模型建立力學性能關于軸承參數的數學模型，并基于流場分析進行優化建模；考慮軸承的靜、動力學性能進行了優化設計。由分析可得到以下結論：

(1) 對于球形腔小孔節流空氣靜壓支承軸承，微振動始終存在，故應在設計中對其進行削弱，此外，需控制氣腔的容積占比以削弱氣錘振動。球形腔內流動結構復雜，具有超音速流、馬赫波、漩渦流動等特征。氣流自小孔進入氣腔形成內部射流，流道截面先減小再增加，形成產生超音速流的條件，超音速流動產生伴隨著膨脹波系的形成，同時，氣流沖擊止推面，產生折轉并形成漩渦流動，進一步使軸承產生渦激微振動。對于不同的腔尺寸，均有漩渦流動產生，故微振動始終存在，在設計中應盡量削弱。在帶腔軸承的設計中還可能存在氣錘激振，因此，需控制氣腔在整個軸承間隙中的容積占比小于2%；

(2) 在球形腔小孔節流空氣靜壓支承軸承的設計中引入多目標優化設計，有利于權衡靜、動力學性能，進一步提升設計質量。針對軸承的設計需兼顧靜、動力學性能，即在給定負載下，要求獲取最大的剛度，同時盡量削弱微振動、氣錘振動，為多目標優化。考慮多目標的優化設計，雖然單個目標的最優值不如相應的單目標優化結果，但可獲取綜合最優值。氣腔半徑等設計參數對于力學性能具有非單調影響，因此，在設計中有必要引入最優化設計；在不同負載下，采用較小孔徑時獲取了更好的力學性能，但孔徑的減小會增加制造難度，在工程設計中應權衡考慮力學性能與可加工性確定合適孔徑。