人體軟組織建模與實時仿真

武衛翔　王杰華　高瞻

摘? 要： 虛擬手術系統在醫學中實時仿真以建立可供手術前規劃和手術時參考的虛擬環境。由于人體器官大多由軟組織構成，有限元法能夠精確地進行軟組織幾何大變形仿真。加速有限元仿真有多種方法，文章采用基于模態分析的模型約簡方法，對軟組織有限元模型進行模態分析，將約簡子空間中的形變向量重構到原始空間，從而實現軟組織實時仿真。實驗結果表明，采用模型約簡方法能夠在仿真效率和真實性之間取得較好的平衡。

關鍵詞： 軟組織; 有限元; 模型約簡; 模態分析

中圖分類號：TP391.9? ? ? ? ? 文獻標識碼：A? ? ?文章編號：1006-8228（2022）02-01-04

Body's soft tissue modeling and real time simulation

Wu Weixiang， Wang Jiehua， Gao Zhan

（1. College of Xinglin， Nantong University， Nantong， Jiangsu 226236， China; 2. School of Information Science and Technology， Nantong University）

Abstract： The application of virtual surgery systems are developed to carry out real-time simulation for pre-operative planning and education. Because human organs are mostly composed of soft tissues， finite element method （FEM） can accurately describe the large deformation of soft tissue. There are many methods for accelerating FEM， the model reduction based on the modal analysis is used in this paper， modal analysis is carried out for finite element models， numerical integration is executed in the subspace and the results are used to reconstruct the model’s deformation in original full space， to realize the real time simulation of soft tissue. The result shows that model reduction method can achieve a good balance between simulation efficiency and authenticity.

Key words： soft tissue; FEM; model reduction; modal analysis

0 引言

虛擬手術是利用醫學影像和虛擬現實技術在計算機中建立一個虛擬環境，醫生借助虛擬環境的信息進行手術規劃、訓練以及教學等的一種方法，極具發展前景[1]。

人體軟組織模型的建立已從幾何模型發展到基于物理特性的模型。在進行具有力覺交互的虛擬手術仿真中，力覺交互通常需要較高的刷新率，這對軟組織變形仿真的實時性提出了較高的要求。種種問題使得軟組織建模與實時仿真成了科研工作者在設計、實現虛擬手術仿真時需要解決的一個關鍵問題和難題。由于人體軟組織多種多樣，其結構和功能非常復雜，不同組織的力學特性也不盡相同，這一切導致對軟組織模型的研究產生了很大的困難。

軟組織的基本材料特性可概括為：不均勻性、非線性、塑性、粘彈性等材料性質[2]。如何構建高效統一的軟組織材料力學模型，一直是軟組織建模研究的一大難題。目前，用于軟組織建模的方法主要包括：有限元法[3]、質點彈簧法[4]、邊界元法[5]和鎖甲形變方法[6]等。

有限元法是一種常用的計算方法。有限元法是將連續的求解域離散為一組單元的組合體，用在每個單元內假設的近似函數來分片的表示求解域上待求的未知場函數，近似函數通常由未知場函數及其導數在單元各節點的數值插值函數來表達，從而使一個連續的無限自由度問題變成離散的有限自由度問題。有限元法描述物體形變的方程維度較高，在仿真過程中需要進行大量的計算，難以達到實時仿真的要求。

1 相關知識介紹

在動力學中，系統的動力學方程即求解方程為二階常微分方程系統：

++= ⑴

其中，n為網格的頂點數，u∈為未知的位移向量，∈為質量矩陣，，∈R為阻尼矩陣，R（u）∈為系統的內部變形力，f∈為外部施加的力，外力可能來自用戶交互或者碰撞反應所產生的力。質量矩陣是與時間無關的常量，僅與物體的網格和初始狀態下質量密度分布有關。質量矩陣一般情況下為稀疏的非對角矩陣，為了算法的方便性，通常將矩陣所有的行累加到對角元素中使質量矩陣簡化成正交矩陣。當構成模型的頂點數非常大的時候，即n的值非常的大，則求解方程⑴非常耗時，因此難以達到實時性要求。而在現實情況下，想要構成一個完整的模型并表現出自身的特征，則所需要的頂點數目是非常大的。

對于觸覺交互應用，使用有限元方法導致大的計算量從而很大程度影響實時交互性能。一種簡化的方法是基于線彈性理論的小變形假設。與位移向量u對應的內力為R（u）∈R，由于Green-Lagrange應變張量為非線性，因此R也為非線性。將方程⑴簡化為線性系統：

++u= ⑵

其中，K∈R為剛度矩陣。由于剛度矩陣和質量矩陣在實時變形仿真中一直為常量，方程⑵表示的線性系統能夠提供有效的預處理過程，這對于實時交互性能有重大的影響。

有些時候，我們只對某特定受力情況下物體的變形狀態感興趣，稱為靜態仿真。將方程⑴去掉其他項，只保留[R（u）]和外力|，則歐拉方程即轉變成靜態仿真方程。假設給定一個外在靜態力，則靜態仿真就變成求解非線性方程R（u）=f的問題。與方程⑵對應的為Ku=f的求解。本文采用的模型約簡方法將靜態仿真很好地運用到動態仿真中。在靜態仿真中，約簡方法提供了一個約簡的仿真，該仿真可以使用約簡隱式Newmark積分獲得。

維度模型約簡是用來簡化動態系統仿真的一種方法。復雜系統的仿真中，通過對問題維度的約簡，使得描述系統的方程大幅減少，因此描述系統的方程的求解比原始問題求解所用時間也大幅度減少，從而提升了求解速度。通常速度的提升需要以損失一定的精確度為代價。

在約簡模型中，位移向量u的構建如下：

u=Uq? ⑶

其中，U∈R位移向量基矩陣，q∈R為約簡的位移向量。

U為r維（r遠小于3n） 線性子空間的基，不隨時間改變的矩陣。線性子空間及基矩陣的選取有若干方法。然而，子空間選取的好壞直接影響模型非線性的形變，好的子空間能很好地近似出典型的非線性形變空間，因此如何選取變形子空間對于下一步的實時變形非常重要。約簡模型在線仿真之前，首先要在模型預計算階段獲得約簡子空間U，并在在線仿真中得到變形子空間的位移和形變q，之后再利用公式⑶重構原始空間的形變，從而得到實時變形仿真。構建基矩陣U需要使用模態分析方法。

2 有限元模型準備

2.1 幾何建模與有限元網格劃分

首先運用三維重建技術，構建人體各器官和組織的幾何模型。本章以心臟的建模與仿真為例，介紹軟組織器官的建模與模型約簡方法。圖1為心臟的幾何模型。

2.2 軟組織器官的有限元網格的生成

幾何模型不能直接用于有限元建模與仿真，例如圖1中由三角形網格表達的心臟模型。為了構建心臟的有限元模型，必須對心臟幾何模型進行網格劃分。圖2給出了模型體素化網格劃分的流程。

對模型進行體素化，可以得到有限元模型，如圖3所示。

2.3 軟組織材料設定和有限元網格約束

軟組織的物理特性通常由楊氏模量、泊松比和質量密度表示。心臟組織的楊氏模量為50kPa，泊松比為0.4，質量密度為1.07g/cm[7]，如圖4（a）所示。對心臟有限元模型中的主動脈、主靜脈部分一些頂點進行約束，如圖4（b）所示，紅色頂點為被約束的頂點。

2.4 基矩陣U的構建

自然界的每個固體都有特征變形，在結構力學上稱為模態或是線性振動模態，每個模態都具有固有的頻率。這些模態由物體的幾何形狀、邊界條件和物體材料的性質有關。連續介質物體的頻率譜一般為離散且無限的，對于已離散化的模型來說是有限的。在許多應用中，最低固有頻率和它們的模態能夠較好地近似表現物體的形變。當模態數目越多，物體的形變表現愈加精確。

對線性模態進行分析，在實際情況中不需要提取所有的振型來描述物體的變形，一般只會計算前十幾階模態和頻率。線性模態仿真速度非常快，易于交互，因此在計算機仿真中受到了廣泛使用。本文提取了心臟的前十六階線性模態用來分析，如圖5所示為心臟的前十六階線性模態。

標準的線性模態分析仿真產生線性模態，可用于小變形的仿真。然而，線性模態用于大變形仿真，會造成較大失真。因此，線性模態子空間的基對大變形仿真來說并不合適。通過提取心臟的線性模態，采用模態派生的方法，得到心臟的非線性模態，對非線性模態進行分析，保留前二十階非線性模態以重構非線性子空間。如圖6所示為心臟的前二十階非線性模態。

約簡子空間中的仿真計算及原始完整空間中變形向量的重建，首先，記錄用戶交互力并計算模態力，之后，求解約簡子空間中的運動方程得到約簡子空間中的變形和位移向量，并據此重構原始空間中的變形和位移向量，最終完成仿真，并將變形、位移、速度等信息反饋給力反饋設備及圖形顯示界面。

圖7所示為心臟約簡有限元模型的仿真過程，圖7（a）為靜息狀態下的心臟模型，圖7（b）為受到朝上的作用力之后產生的變形，黑色箭頭指出了受力的方向和受力的位置。從形態上觀察，變形較為逼真。

3 總結與展望

為了使人體軟組織有限元模型能做到實時變形仿真，我們使用有限元方法對人體軟組織建模。采用了模型約簡方法，力圖在仿真求解速度和精度之間取得平衡。通過實驗、分析表明，采用模型約簡方法能夠在仿真效率和真實性之間取得較好的平衡。對于本文的仿真研究，作者認為還存在值得進一步擴充和深入之處：在軟組織變形仿真中，會涉及到軟組織自身的碰撞，以及軟組織與周圍環境及組織的碰撞，這是軟組織仿真中的重要研究內容，在本文中并沒有考慮，在進一步的研究工作中需要深入考慮解決。

參考文獻（References）：

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Modeling of Soft Tissue for the Long-term Prediction of Cranio-maxillofacial Surgery Outcome[C]. International Congress Series. Elsevier，2003，1256：343-348

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[7] 肖鵬飛.基于有限元方法的心臟表面運動建模技術研究[D].

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