MRD優化布置對水電機組軸系振動控制的影響

張 寧

（中核第四研究設計工程有限公司，河北 石家莊 050021）

前言

隨著越來越多的大型水電機組投入運行，由于其尺寸大、相對剛度較弱等引起的機組軸系振動問題，已成為影響大型水電機組平穩運行的關鍵技術問題[1，2]。目前，關于水輪發電機組振動的研究，主要以有限單元法和構建動力學模型法為主[3]。在研究機組軸系振動方面前人已取得了很多研究成果，如ZENG等、SAEEED等通過理論推導或利用數值模擬軟件建立水電機組軸系振動模型[4，5]。MA等為研究水電機組自振特性和系統穩定性，提出了利用軸的擺度確定導向軸承動態特性系數的方法[6]。

近年來，人們利用磁流變阻尼裝置（Magnetorheological Fluid Damper，MRD）進行結構減震，且已研制應用于多場景的減振阻尼控制器。得益于其剛度和阻尼可控性好的特點，其已應用于建筑、海洋石油平臺、橋梁等結構的振動控制[7]。在實際工程中，許多半主動控制系統都采用磁流變阻尼材料，有學者提出同時考慮整體阻尼和剛度變化的結構，并進一步討論了參數對結構剛度和阻尼變化的影響[8]。

文中基于磁流變液的水輪發電機組軸系非線性模型[9]，利用最優化的方法，定義了MRD的位置函數，通過以MRD速度響應函數為中間變量，推導得出帶有位置參數的MRD阻尼力模型，將其引入到水輪發電機組軸系模型中，進而建立了含有位置參數的MRD機組軸系非線性動力學模型。通過位置參數的調整實現對阻尼器的優化布置，結合MRD阻尼器不同布置位置時系統的振型特征和振幅變化，實現對機組軸系振動最優的控制效果。

1 帶位置參數的MRD水電機組軸系非線性動力學模型

1.1 MRD力學模型

MRD是一種新型的減振裝置，為了描述磁流變阻尼器的動態力學特性，SAKAI等在LuGre力學模型的基礎上，通過推導將MRD非線性阻尼力方程寫為以下形式[10]：

其中，f是阻尼力，x·是活塞速度，σ1是β(t)的阻尼系數(Ns/m)，V是輸入電壓，β(t)是內部狀態變量，σb是受V影響的粘性阻尼系數(Ns/mV)，σ0是受V影響的β(t)的剛度(N/mV)，σ2是粘性阻尼系數(Ns/m)，σa是β(t)的剛度(N/m)，a0是常數值。

1.2 水電機組軸系振動影響因素

水電機組軸系簡化模型由發電機轉子、上下導軸承、水輪機轉輪、水導軸承以及轉軸組成。磁流變阻尼器可施加于轉軸上，分別布置于x、y兩個方向上。簡化模型如圖1所示。水電機組振動實際上是作用于機組各種力之間的相互作用，因此機組軸系模型可簡化為作用于機組力的模型。

圖1 水電機組軸系簡化模型

1.2.1 阻尼力

水電機組穩定運行時，機組阻尼力有多種來源，如構件之間摩擦，內摩擦以及和外部介質的相互作用引起的阻尼，運行中以上因素同時存在，難以單獨分離開進行分析。因此在動力學分析中采用等效粘性阻尼來將以上因素統一考慮，其阻尼力可寫為以下形式[11]：

式中，c1為轉子阻尼系數，c2為轉輪阻尼系數。

1.2.2 不平衡磁拉力

機組運行時由于轉子偏心會使轉子和定子之間產生不均勻氣隙，導致轉子和轉輪之間磁場的不均勻，進而使機組產生不平衡磁拉力。不平衡磁拉力與機組磁極對數有關，磁極對數大于3時，表達式[12]寫為：

式中，Λn為氣隙磁導Fourier系數；R、L分別為發電機轉子半徑和長度；Ij為勵磁電流；Kj為氣隙基波磁動勢系數；γ為發電機轉角。

1.2.3 非線性密封力

水輪機有多種水封形式，但不管什么形式都會使隨轉輪轉動的水體對轉輪產生激振，這時密封力呈現非線性特征，其流體動力學方程比較復雜。文獻中將密封力描述為如下形式[2]：

式中，mf為當量質量；D為當量阻尼；K為當量剛度；并且K、D、τf都是轉輪形心擾動位移x2、y2的非線性函數。

1.2.4 非線性油膜力

通過前人的研究，我們知道Reynolds偏微分方程一般不能給出解析的積分表達式，因此要獲得非線性油膜力，需要針對軸承長度邊界條件，簡化受力情況。Capone模型在計算時收斂性和準確性較高，采用Capone模型來計算水電機組軸系非線性油膜力[2]。其表達式為：

式中，σ為Sommerfeld修正系數，σfx-ym、σfy-ym分別為油膜力的無量綱分量。

1.3 基于MRD的水電機組軸系非線性動力學模型

文中只考慮機組軸系橫向振動，忽略推力軸承的影響，機組大軸和軸承均假設為剛性。根據轉子系統動能公式可推導出機組軸系總動能。

在 圖1中 令|B1B2|=a、|B2B3|=b、2|B3O2|=c、|B1O1|=|O1B2|，則可以得出轉子、轉輪橫向位移r1、r2，可設r3、r4和r5分別為轉軸在上導、下導和水導軸承處的橫向位移。為使計算簡便可令a=b=2c，進而可得到機組系統勢能。

通過將MRD非線性阻尼力引入系統廣義力中，可得到系統廣義力模型。綜合上述式（1）、（2）、（3）、（4）、（5）得到系統廣義力模型為：

通過對機組系統動能、位能計算，結合系統廣義力，由拉格朗日方程推導得出水電機組軸系運動微分方程為：

式中，Kx1、Ky1、Kx2、Ky2表達式為：

其中，k1、k2和k3分別為上導、下導以及水導軸承處的支撐剛度。

1.4 帶位置參數的MRD水電機組軸系非線性動力學模型

利用最優化的方法，將位置參數引入到MRD阻尼力模型中，可通過位置參數進一步確定阻尼器的最優布置位置。最優化問題描述為[13]：

求解出變量x1，x2，…，xn的值，使評價函數f(x1，x2，…，xn)達到最大值或最小值，這就是最優化問題。針對MRD阻尼器布置位置問題，顯然決策變量為布置位置，評價函數為機組動力學微分方程。

因此為表示MRD阻尼器在水輪發電機組軸系中的具體布置位置，我們定義s1、s2（0

其中L=|B1B2|+|B2B3|+|B3O2|為機組大軸總長度，s1、s2在（0，1）之間取值可保證MRD阻尼器取到大軸上任意位置。

由前文可知轉軸假設為剛性，將阻尼器位置函數引入轉子、轉輪徑向位移函數公式，得到阻尼器徑向振動位移函數，對其求導可得到MRD阻尼器徑向振動速度與轉子、轉輪軸系振動速度的函數關系為：

基于已知的MRD阻尼器阻尼力模型，將推導的含有位置參數的阻尼器振動位移函數和速度函數帶入阻尼力模型中，可得到含有位置參數的MRD阻尼力模型：

為簡化方程減小運算量，仍采用1.3中的假設，即a=b=2c。則得到帶位置參數系統狀態方程為：

2 不同MRD阻尼器布置位置情況下水電機組減振效果分析

算例采用南方某水電站機組物理參數，算例數值計算時所采的MRD阻尼器無量綱參數值如表1所示，該MRD模型參數相對于輸入電壓具有雙線性形式，由于摩擦模型的特性，所有參數均取為正值，粘性阻尼系數與輸入電壓成正比。

表1 MRD所采用參數值

2.1 基于振型分析

在引入位置參數后，以位置參數為自變量，通過位置參數的變化探究阻尼器布置位置對水電機組減振效果的影響，由于位置參數s1位于取值處于上導軸承和下導軸承之間，軸承對大軸約束強，參數變化對機組振型影響較小。因此著重對位置參數s2的變化時的機組振型進行分析，將位置參數s1設為定值，分析位置參數s2與機組振動的關系。如圖2所示為機組振動狀態關于位置參數s2的分岔圖。從圖2中可以看出，在s2變化時機組存在明顯的周期和擬周期運動，并且機組振幅在10-4量級，說明擬周期性較強。當s2>0.76時，機組振動為穩定的周期態，且明顯抑制了機組額外諧波分量。

圖2 以s2為控制參數轉子、轉輪分岔圖

2.2 基于振幅分析

通過上述分析根據機組運動形式大致確定了s1、s2的取值范圍，以下結合機組振動幅值的變化進一步確定阻尼器的最優布置位置。如圖3所示為轉子、轉輪振動最大幅值關于位置參數s1、s2的曲面圖。從圖3中曲面上可以明顯看出不論轉子還是轉輪，曲面上都有一個類似“斷崖式”的振幅突降，這些振幅突降坐標在位置參數s1、s2平面上構成了一條曲線，暫且稱該曲線為“振形線”，這條曲線兩側位置參數分別對應系統不同運動形式。由于位置參數越過該曲線之后，轉輪響應由擬周期運動變為周期運動，因此振動幅值趨于平穩。這也是轉輪在該曲線附近出現明顯“斷崖式”位移突降的原因，并且從圖3（b）中可以看出位移突降后轉輪位移穩定在0.215 mm左右，位置參數變化對轉輪振幅影響也響應減小。

圖3（a）中轉子振幅變化情況則與轉輪不同，從圖3（a）中看出在位置參數越過“振形線”后，系統參數變化對其振幅仍有影響。其振幅隨著s1的減小、s2的增加而減小，即在上阻尼器向轉子靠近，下阻尼器向轉輪靠近這個過程中，轉子振幅是在不斷減小的。

圖3 轉子、轉輪不同位置參數下三維振幅曲面圖

3 結論

文章通過將位置參數引入到MRD水電機組軸系非線性模型中，建立了含有位置參數的MRD機組軸系非線性動力學模型，研究了不同阻尼器布置位置對機組的減振控制效果。研究結果表明，不同阻尼器布置位置對機組振動形式和振幅控制有明顯的影響，整體來說，阻尼器布置位置對轉子的影響要小于對轉輪的影響，通過調整位置參數使其位于機組系統“振形線”右側，可以使轉子、轉輪都保持周期運動穩定狀態，有效抑制機組系統振動的額外諧波分量、減小機組振動幅值。