青山繚繞疑無(wú)路 忽見(jiàn)千帆隱映來(lái)
——談一道導(dǎo)數(shù)題的教學(xué)與反思

孫五林

(四川省達(dá)州市高級(jí)中學(xué)培文學(xué)校 635000)

細(xì)思詩(shī)句，寓意深刻.人生“疑無(wú)路”時(shí)，最容易失去信心，惆悵失意，甚至悲觀絕望.可是“千帆隱映來(lái)”又告訴我們，困難總是暫時(shí)的，危機(jī)的時(shí)候不能慌亂，總會(huì)有脫離困境的辦法，希望就在不遠(yuǎn)的前方.高中導(dǎo)數(shù)作為壓軸題，可謂十分“變態(tài)”，因?yàn)閷?dǎo)數(shù)問(wèn)題思維強(qiáng)度大,題型繁多,方法性強(qiáng)而靈活,解題突破口不易找尋，所以大多學(xué)生對(duì)導(dǎo)數(shù)壓軸題是有恐懼心理的,大多望而生畏，甚至放棄.那么怎樣找到突破口呢？筆者認(rèn)為破解疑難在于轉(zhuǎn)化之道，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化成熟悉的常規(guī)問(wèn)題,讓學(xué)生看清問(wèn)題的本質(zhì)，前方可能無(wú)路可走，轉(zhuǎn)化一下也許就柳暗花明.

課堂是教學(xué)的第一陣地，我國(guó)教育界權(quán)威專家、華東師范大學(xué)終身教授葉瀾女士說(shuō)到：“一堂好課是有效率的課，豐實(shí)的課，平實(shí)的課，真實(shí)的課，常態(tài)的課”.說(shuō)到底，一堂“好課”就是一堂有效率的課，能照顧到每一類學(xué)生的課，如涓涓溪水娓娓道來(lái)，讓學(xué)生學(xué)起來(lái)輕松，在課上有所收獲，并且能在課堂中落實(shí)雙基，滲透核心素養(yǎng).下面的這節(jié)課，就是筆者本人在高三上的平常課，真實(shí)課，課堂圍繞著一道導(dǎo)數(shù)題目展開(kāi)，現(xiàn)把這節(jié)課的教學(xué)過(guò)程呈現(xiàn)給大家，望批評(píng)指正.

1 開(kāi)門見(jiàn)山，直接引入

不等式恒成立問(wèn)題是近年高考的熱點(diǎn)問(wèn)題，常以壓軸題形式出現(xiàn)，交匯函數(shù)、方程、不等式和數(shù)列等知識(shí)，考察邏輯推理、數(shù)據(jù)運(yùn)算、直觀想象等核心素養(yǎng).那么，不等式恒成立問(wèn)題的一般處理思路是什么呢？

這種引入直接將學(xué)生帶入主題，學(xué)生迅速進(jìn)入方法上的思考和回顧，學(xué)生回答得最多的方法就是轉(zhuǎn)化，將恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化成最值問(wèn)題，這表明轉(zhuǎn)化的思想大多學(xué)生已經(jīng)具備.

2 典例呈現(xiàn)，越品越香

原題：已知函數(shù)f(x)=ex-aln(ax-a)+a(a>0)，若關(guān)于x的不等式f(x)>0恒成立，則a的取值范圍是( ).

A.(0，e2) B.(0，e2] C.(1，e2) D.[1,e2]

背景：該題是2019年武漢二月調(diào)研測(cè)試第12題，是最后一道選擇題，具有典型性、代表性等特征，方法多樣.

師：本題能否參變量分離呢？

生：似乎很難辦到，陷入思考？

師：直接來(lái)求函數(shù)的最值，這是個(gè)隱零點(diǎn)問(wèn)題嗎？能否很快算出？

學(xué)生在計(jì)算過(guò)程中遇到了種種困難，這并不是說(shuō)這個(gè)問(wèn)題不能解決，而是稍顯麻煩，那么我們應(yīng)該將不等式變形，從另外不同的視角來(lái)處理這個(gè)問(wèn)題.

視角一：求同存異，去偽為真

師：選項(xiàng)有何特征？

生：觀察每個(gè)選項(xiàng)的特征，找到他們的相同和不同，1和e2在每個(gè)答案中成為了兩個(gè)特殊值，有的答案包含元素1，有的答案包括元素e2.

師：分別如何驗(yàn)證？

生：思考片刻，當(dāng)a=e2時(shí)，易得f(2)=0；當(dāng)a=1時(shí)，由ex≥x+1,lnx≤x-1得f(x)>x+1-(x-2)-1=2>0，這樣通過(guò)排除的方式選出來(lái)正確的答案.

視角二：去指數(shù)、去對(duì)數(shù)，切線不等式來(lái)開(kāi)路

師：對(duì)了，教材習(xí)題中其實(shí)有切線不等式的原型，這說(shuō)明我們要立足教材.切線不等式在處理這個(gè)特殊情況時(shí)，有效地進(jìn)行了放縮，那么對(duì)于一般的情況，我們是否可以進(jìn)行放縮，進(jìn)一步求出a的范圍呢？

生：不等式ex-aln(ax-a)+a>0(a>0)恒成立，由于a>0,即為ex-lna-ln(x-1)+1-lna>0恒成立，而ex-lna-ln(x-1)+1-lna≥x-lna+1-(x-2)+1-lna=4-2lna，故只要4-2lna>0即可.

課到這里，同學(xué)們豁然開(kāi)朗，對(duì)于含lnx與ex型的超越函數(shù)，只要做到靈活變形，腦中有形，合理代換，便可峰回路轉(zhuǎn).

視角三：指數(shù)對(duì)數(shù)兩邊跑，凹凸反轉(zhuǎn)公切找

師：提到切線，我們還能夠想到恒成立的什么處理辦法？

生：切線隔離法

師：對(duì)了，要找到左右兩邊lnx與ex型函數(shù)的公切線，具體怎么操作呢？

師：這就是說(shuō)數(shù)形結(jié)合百般好啊！

視角四：指數(shù)對(duì)數(shù)兩邊跑，反函數(shù)構(gòu)造巧妙解

生：互為反函數(shù).

師：反函數(shù)內(nèi)容雖然在高考中涉及較少，要求低，但是我們都知道互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)圖象是關(guān)于直線y=x對(duì)稱的，那么問(wèn)題又可怎樣轉(zhuǎn)化呢？

感嘆：我們苦苦追尋的參變量分離在這里得以實(shí)現(xiàn).

視角五：無(wú)中生有去同構(gòu)，關(guān)鍵形式變量湊

師：在恒成立問(wèn)題中，有很多是利用函數(shù)的單調(diào)性構(gòu)造出來(lái)的.如果我們能夠找到這個(gè)函數(shù)模型及不等式兩邊對(duì)應(yīng)的同一函數(shù)，無(wú)疑會(huì)大大加快解決問(wèn)題的速度，那么本題怎么配湊，進(jìn)而用同構(gòu)函數(shù)的單調(diào)性來(lái)解決呢？

生：原不等式可化為：ex-lna+x-lna>x-1+ln(x-1),即ex-lna+x-lna>eln(x-l)+ln(x-1)，構(gòu)造函數(shù)g(x)=ex+lnx，則g(x-lna)>g(ln(x-1))，那么利用g(x)的單調(diào)性，去掉外套對(duì)應(yīng)關(guān)系g，于是問(wèn)題變成了常規(guī)的恒成立問(wèn)題.

下課鈴聲響起……

3 幾點(diǎn)思考與啟發(fā)

3.1 多選題不如選好題

導(dǎo)數(shù)是高考的必考內(nèi)容，考察知識(shí)點(diǎn)有導(dǎo)數(shù)的幾何意義、單調(diào)區(qū)間、極值最值等.為了更全面復(fù)習(xí)導(dǎo)數(shù)知識(shí)，于是筆者決定選擇恒成立問(wèn)題作為出發(fā)點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用多種方法解題,不僅能溝通知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系,熟悉題目的結(jié)構(gòu)和解題規(guī)律,使知識(shí)融會(huì)貫通;而且能在多解的基礎(chǔ)上探求最佳解法,不斷提高解題技巧.更重要的是能使學(xué)生思路開(kāi)闊,學(xué)會(huì)從不同角度分析,解決問(wèn)題,發(fā)展求異思維,使思維靈活;并能發(fā)揮各自的獨(dú)特見(jiàn)解,培養(yǎng)創(chuàng)造才能,以適應(yīng)時(shí)代的需要.

導(dǎo)數(shù)具有很強(qiáng)的知識(shí)交匯功能,以其為載體的問(wèn)題情景如繁花似錦,給師生在復(fù)習(xí)內(nèi)容和方法上的選擇帶來(lái)困惑.因此，筆者選擇這個(gè)題目，麻雀雖小，五臟俱全，入手容易，學(xué)生在不同視角下體驗(yàn)解題帶來(lái)的快樂(lè)，不僅僅是知識(shí)的復(fù)習(xí)，更重要的是思維品質(zhì)的升華和學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的提升.

3.2 一題多解的理性思考

在課堂復(fù)習(xí)中,一題多解肯定可以激發(fā)學(xué)生大膽發(fā)現(xiàn)、勇敢創(chuàng)造，通過(guò)對(duì)題目求解的強(qiáng)烈欲望,加深對(duì)所學(xué)知識(shí)的深刻理解,訓(xùn)練學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)方法的嫻熟使用.但是學(xué)生的掌握程度究竟如何，有待通過(guò)題目驗(yàn)證，聽(tīng)懂不等于會(huì)做，能根據(jù)老師的提示轉(zhuǎn)化也不等于拿到一個(gè)類似題目自己真的能夠完整寫(xiě)出來(lái).本節(jié)課是一堂真實(shí)的平常課，優(yōu)點(diǎn)是方法的灌輸，思想的滲透很到位，課堂是高效率的，但是本節(jié)課留下幾個(gè)問(wèn)題值得商議，比如對(duì)于本題最優(yōu)解的教學(xué)怎樣去體現(xiàn)呢？哪種解法更適用學(xué)生呢？考試中又如何選擇這些方法來(lái)解題呢？我想具體分析每種解法的特點(diǎn)，分析每種解法的本質(zhì)是什么，根據(jù)學(xué)生自己的情況，選擇權(quán)交給學(xué)生吧.

3.3 核心素養(yǎng)滲透怎樣體現(xiàn)？

函數(shù)與導(dǎo)數(shù)壓軸題是高考的沸騰考點(diǎn)，主要考查學(xué)生的“數(shù)學(xué)運(yùn)算”、“邏輯推理”、“直觀想象”等核心素養(yǎng)，難度很大.在上這方面的復(fù)習(xí)課時(shí)，更要注重對(duì)“數(shù)學(xué)運(yùn)算”、“邏輯推理”、“直觀想象”等核心素養(yǎng)的培養(yǎng).學(xué)生在解決此類題型時(shí)，不是理解了解題思路就認(rèn)為完成了任務(wù)，而是要落實(shí)，要敢于下筆，要下完筆，要善于反思，靈活解決問(wèn)題.在我們數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，應(yīng)教會(huì)學(xué)生思考，善于思考，進(jìn)行一道題目多種思路解法的訓(xùn)練和變式訓(xùn)練，讓學(xué)生的思維遷移、發(fā)散、開(kāi)拓和活躍.使學(xué)生形成有序的網(wǎng)絡(luò)化的知識(shí)體系，從中領(lǐng)會(huì)“化歸轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程”等基本數(shù)學(xué)思想.教學(xué)中鼓勵(lì)學(xué)生大膽猜想、探究、培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力，進(jìn)一步激發(fā)學(xué)生的合作探究意識(shí).只有這樣，課堂教學(xué)才會(huì)充滿創(chuàng)新，在教學(xué)中演繹精彩.核心素養(yǎng)滲透并非一朝一夕，它是需要學(xué)生厚積薄發(fā)的，這需要持之以恒的毅力.

3.4 青山繚繞疑無(wú)路，忽見(jiàn)千帆隱映來(lái)

五種解法有的解法還沒(méi)有繼續(xù)板書(shū)完，有的也僅僅是提到了方法，可是下課鈴已響，但整個(gè)教室非常安靜.同學(xué)們都在認(rèn)真地對(duì)五種解法進(jìn)行討論，興趣非常的濃，課后還有很多同學(xué)對(duì)此題的解法進(jìn)行再探討，形成了一種濃厚的學(xué)習(xí)氛圍.反思這節(jié)課的教學(xué)，其實(shí)也是一種勵(lì)志教育，“青山繚繞疑無(wú)路，忽見(jiàn)千帆隱映來(lái)”，學(xué)生解題遇到困難該怎么辦？生活中的瑣事遇到困難又怎么辦？數(shù)學(xué)和哲學(xué)是不是又拉上了關(guān)系.本節(jié)課恰好給了師生互動(dòng)的空間，去調(diào)動(dòng)學(xué)生的解題興趣，學(xué)生智慧的火花頻頻閃爍，多種解法油然而生，所以在課堂教學(xué)中，應(yīng)多創(chuàng)造這種師生互動(dòng)的機(jī)會(huì)，激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)興趣的生成.