數學黑洞“6174”的驗證

孫學進　王德貴

有人問我，天天研究數學問題，數學到底哪里有趣了？數學之美又在哪里？其實，當你研究深入后，會發現數學真的很奇妙！也有很多未解之謎，今天我們來了解一下數學黑洞“6174”。

數學黑洞，就是無論怎樣設值，在規定的處理法則下，最終都將得到固定的一個值，再也跳不出去了，就像宇宙中的黑洞可以將任何物質包括光都牢牢吸住，不使它們逃脫一樣。

數學黑洞6174，又稱卡普雷卡爾（Kaprekar）常數。內容是：

取一個4位數（4個數字全相同的除外），將該數的4個數字重新組合，形成可能的最大數和可能的最小數，再將兩者之間的差求出來;對此差值重復同樣過程，不足4位在末位補0，最后你總是會得到6174陷入卡普雷卡爾黑洞，而且經過我的驗算到達這個黑洞最多需要7個步驟（注：百度百科上說，是14個步驟，存疑）。

今天我們用Python、圖形化（SC）和APPInventor來做驗證。

有趣的數學問題，加上Python編程，真是絕妙的搭配！近期也一直在和大家分享我的學習過程。在Python等級考試4級學習中，遇到了這個問題，經過一段時間的研究、探討和分析感到收獲頗多，分享給大家，希望能提高你學習Python的興趣。

這是一個驗證的問題，也要解決以下3個問題。

一是輸入任意一個4位數（不包含全部相同的數字），驗證最后經過運算是不是都得到“6174”;二是在一定范圍內，是不是都能得到“6174”;三是得到“6174”最多需要多少個步驟。

首先要將4位數分解開單個數字，存儲在新列表中，然后排序列表，輸出最大和最小數，做差，然后再存儲在新列表中，循環操作，直到得到6174，程序結束。

通過三種編程方法，分別驗證，求解。

程序涉及到的是中國電子學會編程等級考試四級內容。

即是輸入一個數字不完全相同的4位數，進行驗證，看看能不能得到6174，需要幾步。

1.遞推法

輸入一個4位數，但4個數字不能完全相同，將其轉換為列表，排序、連接、轉換出最大值和最小值，做差，再轉換為列表，如果不夠4位，則添加“0”，進行下一輪循環，直到得到“6174”，然后輸出轉換用了多少次（圖1）。

下面是驗證“1112”的輸出結果（圖2）。

2.遞歸法

遞歸與遞推不同之處，是調用了自身，達到循環的目的。過程和方法與遞推類似。

不同的是，遞推算法中第7行的n=0，去掉了，這是因為如果加上這行，每次調用自身的時候，n都會歸0，不能計數，所以必須先設置n=0，然后在自定義函數中用“global n”（圖3）。

兩種方法驗證的結果是完全一樣的。

即是驗證一定范圍內所有數字不完全相同的4位數，看看能不能得到6174，在這個范圍內需要最多的步數是多少。

1.遞推法

通過遞推法驗證（圖4）。

在1100-1120范圍內的驗證結果。在“1111”時提示數字完全一樣，不能驗證（圖5）。

在1000-9999范圍內的遞推法驗證，即所有4位數的驗證結果。在數字完全一樣時，給出提示，從驗證結果看，所有不完全相同的4位數，經過運算均可以得到“6174”，運算的最多次數是“7”。

2.遞歸法

遞歸法，和遞推法一樣，也是在驗證的基礎上，驗證一定范圍內的所有整數，經過運算是不是都能得到“6174”，并輸出最多的運算次數。不同的是遞歸是通過調用自身，達到循環的目的。

同樣，遞歸法需要將遞推算法中的n=0去掉，而在遍歷前設置n=0，然后在自定義函數中設置為“global n”。m為最大次數變量（圖6）。

在1100-1120范圍內的驗證結果。在“1111”時提示數字完全一樣，不能驗證。驗證結果和遞推算法一樣。

在1000-9999范圍內的遞歸法驗證，即所有4位數的驗證結果。在數字完全一樣時，給出提示，從驗證結果看，所有不完全相同的4位數，經過運算均可以得到“6174”，運算的最多次數是“7”。我們看到，兩種方法的驗證結果是完全一樣的（圖7）。

1.遞推法

將前面用遞推法的驗證和范圍的兩個程序合并在一起，但要考慮兩種方法共同調用了自定義函數，所以需要將部分打印語句保留。

開始是選擇“驗證”還是“范圍”，然后進入循環和調用，輸入相關數據，進行運算，如果選擇“退出”，則程序結束（圖8、圖9）。

2.遞歸法

遞歸法與遞推類似，是將前面用遞歸法的驗證和范圍的兩個程序合并在一起，同樣，開始時還是選擇“驗證”或是“范圍”，然后進入循環和調用，輸入相關數據，進行運算，如果選擇“退出”，則程序結束（圖10、圖11）。

在1100-1120范圍內的驗證結果。在“1111”時提示數字完全一樣，不能驗證。最后輸出運算的最多次數。

驗證和范圍做在了一起，下面一一講解。

1.初始化

輸入想要驗證的4位數，運算次數，都顯示在屏幕上， 差值會隨著運算改變，直到6174（圖12）。

2.輸入數據的檢驗

如果輸入的數值不是4位數，則提示輸入（圖13）。

如果在1000-9999之間則開始運算。

3.驗證并顯示

先將輸入的數值保存在變量“差”中，然后將其每個數字添加到列表“list”中，再調用自定義積木，排序并求最大和最小值（圖14）。

如果差為“0”，即是數字相同時，將差設置為“6174”，因為循環的條件是差為“0”。最后提示運算了多少次。

4.自定義積木

自定義積木是為了運算的方便，也是為了程序設計方便。首先檢查列表長度，如果小于4則添加“0”補足4位，否則運算會出錯。

然后對4個數字進行從大到小排序，最后是輸入最大值和最小值，以便計算時調用。同時清空數據列表，將4個變量初始化。

1.初始化

設置需要顯示的變量，直觀，明了。

輸入范圍的開始值和結束值。最后顯示運算次數中的最大次數值。

2.驗證并顯示

在范圍內依次取值，做驗證即可。

循環方法是次開始值增加1，依次驗證，當開始值大于結束值時，停止循環。所以循環是包括開始和結束兩個值的（圖15）。

注意幾個問題：

一是數字全部相同的，要停止運算，進入到下一個循環，這里直接設置為6174（驗證時停止循環的條件）;

二是保存運算次數的最大值，程序運算完，顯示出來（圖16）。

3.范圍和驗證合并

首先要將驗證和范圍都做成自定義積木，然后設計一個選擇菜單，是做一個數據驗證，還是驗證一個范圍內的所有數據，通過選擇確定，如果輸入其他則報錯。這和Python程序設計思路是一樣的。

1.UI設計

界面如圖，無須做過多修飾，組件任意組合，能完成驗證就可以（圖17）。

2.變量和初始化

設置程序運行需要的變量，將程序初始化（圖18）。

3.定義過程：建立數據列表

即可將4位數的4個數字添加到列表中，然后判斷是不是數字全部相同，如果全部相同，則做標記（圖19）。

4.定義過程：數字排序

將4個數字從大到小排序，然后輸出最大值和最小值。

5.提交

判斷輸入是否為空，是否不是4位數，如果有一項不滿足，就會提示輸入有誤（圖20）。

如果輸入正確，則判斷是不是數字相同，如果數字相同，則提示不能輸入相同數字的數（圖21）。

如果數字不相同，則進入循環，直到結果為6174。

首先調用數字排序，然后計算差值，將運算次數加1，顯示運算過程，同時再次調用建立數據列表，將計算出的差值依次添加到數據列表中，然后進入下一個循環，直到差值為6174（圖22）。

完整的程序請在壹零社公眾號下載。

測試結果（圖23）：

1.UI設計

界面設計與驗證相似，就是多加了幾個組件（圖24）。

2.初始化

其實設計時，考慮了兩種情況合并的程序（圖25）。

3.定義過程

定義過程建立數據列表和數字排序，和驗證程序的一樣。

4.提交

在一定范圍內驗證每個4位數是不是經過運算都能得到6174。

所以開始程序還是要檢驗輸入數據的正確性，然后進行循環，從開始值依次加1到結束值，一一驗證。最后顯示運算的最大次數，與Python和Scratch相同。

驗證過程基本和之前的一樣。首先顯示當前驗證的值，然后調用“建立數據列表”，如果數字相同則提示（圖26）。

否則就循環執行驗證，直到差值為“6174”，同時顯示本次運算的次數。如果運算次數大于最大次數，則將最大次數賦值為次數。

完整的程序請在壹零社公眾號下載。

測試結果（圖27）：

1.UI設計

界面設計與“范圍”相同，本例在最初設計時，即考慮了合并狀態。

2.變量和初始化

這個與驗證時一樣。

3.定義過程

這個也是一樣的，建立數據列表和數字排序兩個過程。

4.驗證

驗證4位數時，點擊按鈕，即設置初始化值。當前使用的按鈕功能，會顯示為紅色背景（圖28）。

5.范圍

需要驗證一定范圍內的所有4位數時，點擊按鈕，即設置初始化值。當前使用的按鈕功能，會顯示為紅色背景。

6.提交

提交按鈕，要先判斷是驗證狀態，還是范圍狀態，需要判斷驗證標記。如果驗證標記為“真”，則進行驗證界面，否則進入范圍驗證界面，兩個程序如前（圖29）。

由于前面分別測試過，所以這里不再測試。

三種方法的測試速度都非常快。由于軟件的局限，設計思路稍有不同，但均完成了驗證任務。

三種程序也可以進行改進，比如，每一步都是自己來完成計算，即輸入一個數后，自己取最大和最小值，再做差，依次運算來驗證。或是隨時查看程序的驗證過程。這里給出一個簡單的Python程序示例，自定義函數與遞推的驗證程序一樣。運行結果如下（圖30）。

如果輸入有誤，7次之內沒有驗證出來，則提示輸入有錯誤，沒有完成驗證。

本文是我自己的研究過程和心得，有不妥之處，請各位老師和同學斧正！