變長度彈性伸縮腿雙足機器人半被動起步行走仿人控制

張 瑞，張奇志，周亞麗

（北京信息科技大學自動化學院，北京 100192）

0 引言

步行是人類最常見的運動方式，如何使雙足機器人實現像人一樣穩定行走這一問題，引起了學者的廣泛關注。雙足行走機器人通常可以分為兩類：其一是不使用被動動力學的全驅動行走機器人；其二是能量高效的被動行走機器人。

全驅動行走機器人通常采用反饋控制，例如采用軌跡跟蹤控制的ASIMO 機器人［1］、混合零動力學控制的MABLE 機器人［2］，可使機器人在水平面和不平整的地面行走。采用這些控制方法的行走機器人，控制系統通常具有高增益、復雜龐大的特點，與人類行走相比能耗高、能效低。純動行走機器人［3］可以在很小的斜坡上只依靠重力作用連續行走，行走過程中并不需要任何的控制和驅動，行走方式自然，但是此類行走方式穩定性差。半被動行走機器人［4-5］結合了全驅動行走和被動行走的優點，通過對部分關節施加驅動和控制，降低了系統能耗，提高了能源使用效率，可以充分利用自身動力學和自穩定特性抵抗部分擾動，行走更加自然，能夠在水平面上連續行走。

為使機器人行走步態與人類更為相似，Geyer 等［6］提出了雙足彈簧負載倒立擺（Bipedal Spring-Loaded Inverted Pendulum，B-SLIP）模型。彈簧負載倒立擺（Spring-Loaded Inverted Pendulum，SLIP）是一種可以代表人類質心運動軌跡的簡化模型，同時可以生成與人類行走相似的地面反作用力模式。Garofalo 等［7］采用雙足彈簧負載倒立擺模型提出了兩級控制，實現了5 自由度機器人的周期行走步態。Rezazadeh 等［8］基于SLIP 模型在ATRIAS 機器人上實現了原地踏步和從靜止起步加速行走進入穩定行走狀態，同時還實現了步態之間的相互切換。Dazazadeh 等［9］基于SLIP 模型采用兩級控制器實現了帶有軀干的多體雙足機器人的穩定行走。

目前半被動雙足機器人行走控制研究的主要不足是：1）系統在給定的初始條件下開始運行，沒有考慮機器人從靜止階段起步，由低速加速到穩定行走狀態的過程；2）控制系統采用傳統控制策略或基于深度學習［10］的控制方法，控制機器人按預先規劃好的軌跡行走。

通過觀察人類的行走方式發現：人類行走時大部分時間處于近似被動狀態［11-12］，通過后腿蹬地改變系統的能量，并且促使人體重心前移，增加人體的前進速度；通過前腿觸地位置控制人體重心高度和前向運動速度，防止向前傾倒。

根據上述研究，結合主動行走與被動行走的優點，本文提出了一種半被動起步行走仿人控制方法，在SLIP 模型基礎上，采用串聯彈性驅動B-SLIP 模型，利用拉格朗日方法得到行走動力學方程。在雙支撐階段，當系統狀態離開穩定區域時，采用能量誤差比例積分（Proportional-Integral，PI）反饋控制與惰性控制方法控制后腿伸縮，使系統總能量接近期望行走能量值并將系統帶入穩定狀態；在單支撐階段，采用擺動腿回擺方法，通過改變擺動腿觸地位置來控制機器人的高度和前向速度。此方法充分利用系統動力學原理，能量高效，且不需要跟蹤期望軌跡。仿真實驗結果表明，該策略可以實現機器人在水平面上的起步行走過程，并且控制系統具有抗干擾能力和魯棒性。

1 雙足機器人動力學模型

本文采用的系統模型來源于實驗室自行研制的半被動雙足行走機器人Sun Robot，如圖1 所示。采用串聯彈性驅動雙足彈簧負載倒立擺（B-SLIP）模型作為簡化模型［13］，如圖2所示。

圖1 雙足機器人Sun RobotFig.1 Bipedal robot named Sun Robot

圖2 雙足機器人模型Fig.2 Model of bipedal robot

文獻［13］中采用的機器人模型直接將后腿伸縮長度u1與前腿伸縮長度u2作為控制量，機器人樣機腿部采用滾珠絲杠機構控制機器人行走時的腿長度。因此，本文在文獻［13］機器人模型基礎上，在機器人腿部引入理想化的電機驅動，通過控制機器人腿電機速度進而控制機器人行走時腿伸縮長度，同時對電機運行速度和腿伸縮長度進行了限制，更加符合實際情況。

該模型由一個髖關節和兩條無質量的彈簧腿組成。假設機器人所有質量都集中在髖關節，忽略關節摩擦的影響，并且在行走過程中假定腳與地面沒有相對滑動。前后腿原長為L0，后腿和前腿長度分別為L1和L2，后腿和前腿與地面所成角分別為α1和α2，彈簧剛度為k，后腿和前腿的伸縮長度控制量分別為u1和u2，髖關節質量為m，擺動腿觸地角為α，且此時擺動腿長度為L0，重力加速度為g。

選擇髖關節質心位置（x，y）為系統的廣義坐標，采用拉格朗日方法可得串聯彈性驅動雙足彈簧負載倒立擺模型行走動力學方程，系統雙支撐階段動力學方程為：

其中：為水平方向加速度，為豎直方向加速度，a為機器人行走時擺動腿觸地點的x坐標值，u1和u2分別為后腿和前腿的伸縮長度控制量。

單支撐階段動力學方程為：

在向前行走過程中，機器人從雙支撐切換到單支撐的切換條件為后腿L1達到原長，且腳的速度向上，即：

機器人從單支撐切換到雙支撐的切換條件為髖關節高度到達H，且腳的速度向下，即：

2 起步行走仿人控制策略

2.1 雙支撐階段

傳統行走控制利用近似解析解或數值近似解得到期望軌跡，采用軌跡跟蹤控制方法實現雙足機器人周期行走。為保證系統性能，一般閉環系統具有較高的剛度。即使沒有外界干擾，由于近似解得到的期望軌跡與真實解存在誤差，跟蹤控制需要較大的控制力，能量效率不高。

文獻［6，14］研究表明，采用無驅動的B-SLIP 模型，在系統具有特定能量的前提下，假設給定合適的初始條件，機器人能夠實現穩定的純被動行走，系統即使遇到小擾動，也可以利用自身的動力學特性調節系統回到穩定狀態，即系統具有自穩定性，并且機器人在不同的能量下會表現出不同的運動狀態。因此，可以利用模型的自穩定性，通過選取期望的周期行走能量值，設計控制器控制腿的伸縮，使系統總能量達到期望值，實現機器人的穩定行走過程。

2.1.1 主動控制

為使機器人從靜止狀態加速進入穩定行走階段，模仿人類行走時后腿蹬地的行為，伸長后腿推動髖關節向前移動，增加行走時的前向加速度，進而增加系統的動能和總能量，最終使系統的總能量達到期望總能量值。

串聯腿伸縮控制裝置可采用滾珠絲杠系統實現，后腿控制裝置的伸縮量u1可由式（5）表示：

其中v1(vmin＜v1＜vmax)為后腿伸縮控制裝置的電機運行速度，對行走過程中的輸入u1進行限制，即umin＜u1＜umax。在機器人腿與地面的接觸過程中，彈簧由于機器人自身自重一直處于被壓縮狀態。定義伸縮裝置電機速度v1為正值時，伸縮裝置伸長，此時彈簧繼續被壓縮，系統總能量增加；當伸縮裝置電機速度v1為負值時，伸縮裝置縮短，此時彈簧被釋放，系統總能量降低。因此，可以通過改變雙足機器人的后腿長度來控制雙足機器人的總能量。

機器人行走過程中的總能量E（t）為：

在只有后腿驅動器作用下，系統總能量隨時間變化為：

其中：F=k(L0-L1+u1)為后腿彈簧彈力，v1為后腿驅動器電機速度。

對式（7）進行整理，則系統總能量導數為：

在機器人行走過程中，定義系統總能量與期望行走總能量Ed的誤差e（t）為：

采用能量誤差PI 反饋控制：

其中：KP＞0 為比例系數，KI＞0 為積分系數，對式（9）求導，結合式（10）可得：

對式（11）求導得到系統的誤差動力學方程：

由式（12）可知，系統總能量漸進穩定到期望總能量Ed。

對式（8）式（9）和式（10）進行整理，得到后腿驅動器的電機速度v1為：

2.1.2 惰性控制

當系統的總能量到達期望總能量時，機器人僅依靠自身動力學特性進行純被動行走；然而，在系統總能量接近期望總能量時，雙足機器人就可以實現純被動的連續穩定行走，因為此時機器人在每個行走周期的初始狀態已經接近行走不動點。

為減少機器人行走時能量輸入并提高行走魯棒性，本文采用Suzuki 等［15-16］提出的惰性控制（lazy control）方法，將其應用到雙足機器人在水平面的起步行走過程中，僅在系統狀態離開穩定區域（在本文中，此處穩定區域只是不動點吸引域的一部分，并不是全部不動點吸引域）時才提供主動控制使系統保持穩定，使機器人的運動軌跡逐漸收斂到期望的周期行走軌跡。當系統狀態進入穩定區域后，機器人可以依靠自身動力學特性實現零輸入的被動穩定行走。

根據選取的期望周期行走不動點q*和進入雙支撐階段的初始狀態q0，利用兩狀態向量間的歐氏距離作為偏差eq來判斷進入當前步態的初始狀態是否在穩定區域Q內，偏差eq如式（14）表示：

以不動點q*為原點，穩定區域Q的半徑為δ，同時為了避免機器人的輸入切換在穩定區域和不穩定區域的邊界上引入噪聲，定義參數0 ＜β＜1，將穩定區域Q分為內Qinner和外Qouter兩部分，可由式（15）～（17）表示：

機器人在每個行走周期中的雙支撐階段的初始狀態所在區域決定了控制系統是否進行主動控制，定義參數τ來表示這一結果。若初始狀態q0在區域Q之外，即eq＞δ，τ為1，表示系統需要進行主動控制，采用能量誤差PI 反饋控制為系統補充能量，使機器人的運動軌跡逐漸趨向于期望的行走軌跡；若初始狀態q0在區域Qinner內，τ為0，表示系統不需要進行控制，機器人此時的狀態已接近于不動點q*，機器人進行純被動行走；若初始狀態q0在區域Qouter內，τ則保持上一行走周期的值不變，表示現有的控制狀態不變。式（18）表示了τ的取值與系統初始狀態的關系：

根據式（13）和式（18），在雙支撐階段綜合使用能量誤差PI 反饋控制和惰性控制，得到機器人后腿驅動器的電機速度v1為：

2.2 單支撐階段

一個完整的雙足機器人行走周期包括雙支撐和單支撐兩個階段，研究表明，在人類行走過程中，腿在單支撐階段基本是被動的［12］。根據此項研究，在單支撐階段僅通過控制擺動腿的擺動來實現機器人的穩定行走。

在單支撐階段，擺動腿采用固定的觸地角策略，機器人可以實現穩定的行走［6］和跳躍［17］，但是此策略并不能使機器人在低速行走或遇到外界擾動時連續行走。Seyfarth 等［18］提出了前饋擺動腿回擺策略，該策略模仿動物奔跑時向后擺腿的行為，而人類在行走時，擺動腿會表現出同樣的行為。為提高機器人行走時（尤其是在低速行走時）的魯棒性，本文也采取相似的策略。當擺動腿在空中擺動時，模仿人類行走時擺動腿回擺行為，機器人擺動腿的觸地角度α（t）為：

其中：α0為擺動腿的初始角度，ω為回擺角速度，tVLO為支撐腿位于豎直位置時的時間。

由于在單支撐階段，只調節擺動腿的觸地角度且忽略腿的質量，因此在單支撐階段系統總能量恒定。當機器人前向速度過快時，觸地角度變小（觸地點靠前），彈性力的水平分量變大，機器人的前向速度降低；反之，當機器人前向速度過慢時，觸地角度變大（觸地點靠后），彈性力的水平分量減小，機器人的前向速度提高，從而穩定機器人的前向速度。

3 仿真分析

為驗證起步行走仿人控制策略的有效性，在Matlab 中進行實驗仿真，由于動力學方程具有非線性特性，采用4 階龍格庫塔法進行數值計算，仿真所使用參數來源或參考文獻［7，16，19］：m=80 kg，g=9.81 m/s2，k=15 696 N/m，L0=1 m，u1∈［-0.05，0.05］m，v1∈［-0.5，0.5］m/s，α0=63.5 deg，ω=45.5 deg/s，KP=0.95，KI=2×10-7，β=0.5，δ=0.18，α1=α2=75 deg，前后腿點足之間距離為0.45 m，選取期望周期行走參數q*=［x；y；x′；y′］=［0；0.999；1.172；0］，計算得到期望行走能量為838.966 4 J。

3.1 干擾下的起步行走仿真分析

圖3 為無干擾下系統總能量和速度隨行走距離變化曲線。從圖3 中可以看出，機器人在經過2 步（x=1.06 m）行走后，髖關節的水平速度為1 m/s（達到78%期望行走速度），可以在較短步數內提升行走速度，最終水平方向的最大行走速度穩定在1.27 m/s。對后腿驅動器所做功進行計算，無惰性控制的系統，后腿驅動器做功110.830 6 J；有惰性控制的系統，后腿驅動器做功107.919 7 J，在保證機器人能夠穩定行走的前提下，采用惰性控制的系統減少了能量輸入。

圖3 無干擾下，總能量和速度隨行走距離變化曲線Fig.3 Curves of total energy and speed varying with walking distance without disturbance

圖4 為無干擾下系統初始狀態偏差隨行走距離變化曲線，隨著機器人行走距離逐漸變大，初始狀態偏差最終穩定在區域Qinner中，實現純被動穩定行走。圖5 為無干擾下τ值隨行走距離的變化曲線：當τ=1 時，系統處于被控狀態；當τ=0 時，系統處于純被動行走狀態。結合圖4 和圖5 進行分析，起步前機器人在原地處于靜止狀態，系統初始狀態處在區域Q之外，需要主動控制將機器人帶入穩定區域Qinner，τ=1，在機器人行走到7.707 m 之前，一直處于被控狀態，持續為機器人補充能量；然后，機器人行走至7.707 m 之后，系統不再為機器人進行能量輸入，僅通過單支撐階段的擺動腿控制方法穩定純被動機器人的狀態，最終系統狀態逐漸從區域Qouter過渡到區域Qinner內，此時機器人的運動軌跡接近于期望的行走軌跡。區域Qouter和Qinner大小與選取的參數β、δ相關，可以通過減小參數δ和β來減小區域Q和Qinner，使機器人最終被動行走時的狀態與不動點更加接近，當參數δ和β均為零時，惰性控制便不再起作用，機器人總能量到達期望總能量，機器人狀態與不動點重合，機器人運動軌跡與期望軌跡重合。

圖4 無干擾下，系統初始狀態偏差隨行走距離變化曲線Fig.4 Curve of system initial state error varying with walking distance without disturbance

圖5 無干擾下，τ值隨行走距離變化曲線Fig.5 Curve of τ value varying with walking distance without disturbance

圖6 為無干擾下髖關節高度和觸地角隨行走距離變化曲線。當系統總能量保持恒定后，通過改變觸地角調節髖關節的高度和速度，最終觸地角趨于恒定值。綜上，仿真結果表明：起步行走仿人控制策略可以使機器人在水平面上完成起步行走過程，并且減少了系統的能量輸入。

圖6 無干擾下，髖關節高度和觸地角隨行走距離變化曲線Fig.6 Curves of hip joint height and touch-down angle varying with walking distance without disturbance

圖7 為文獻［13］中采用軌跡跟蹤控制方法在無干擾同等條件下，機器人穩定行走階段前后腿伸縮長度控制輸入。可以看出，系統輸入一直存在，這是由于在跟蹤軌跡過程中誤差總會存在，因此機器人系統需要一直消耗能量來跟蹤期望軌跡。本文設計的間歇控制方法在機器人最終的穩定行走階段不消耗能量，充分利用機器人被動行走原理和雙支撐階段自穩定特性，與文獻［13］的控制方法相比，能量效率更高。

圖7 文獻［13］中機器人穩定行走階段的系統輸入Fig.7 System input of robot in stable walking stage in reference［13］

3.2 外部擾動力下的起步行走仿真分析

為考察系統對干擾的魯棒性，在機器人起步行走過程中持續施加外部周期擾動，擾動力F1=(-FxcosΩ t；FysinΩ t)N，其中Fx為水平方向上的擾動幅值，Fy為豎直方向上的擾動幅值，Ω為擾動頻率，t為行走時間。數值仿真時，水平方向上的擾動幅值Fx為15 N，豎直方向上的擾動幅值Fy為30 N，擾動頻率Ω為12 Hz，其余仿真參數仍與3.1 節相同。

圖8 為干擾下系統總能量和后腿驅動器輸入隨行走距離變化曲線。從圖8 中可知，機器人在存在周期外部擾動力的情況下，前期通過控制輸入為機器人補充能量，機器人的總能量逐漸增加，當機器人接近期望總能量后，不再有控制輸入，機器人純被動行走至11.713 m 處后，機器人有短暫的能量補充，而后機器人一直保持純被動行走狀態。即使始終存在外部擾動力，機器人仍然可以通過自身的調節，利用動力學特性，最終實現連續純被動穩定行走。

圖8 干擾下，總能量和輸入隨行走距離變化曲線Fig.8 Curves of total energy and input varying with walking distance with disturbance

圖9 為干擾下機器人初始狀態偏差隨行走距離變化曲線。前期通過控制作用使機器人狀態逐漸進入穩定區域Q，雖然外部擾動力一直存在，但是經過擺動腿逐漸調節觸地角，系統的初始狀態最終穩定在區域Q中，期間沒有能量輸入，一直保持純被動行走狀態。當機器人遇到外界擾動偏離期望運動軌跡后，從文獻［13］中可以看出，軌跡跟蹤控制方法需要通過控制作用使機器人逐漸回到期望運動軌跡上，本文采用的控制方法可使機器人遭受到外界擾動后并不需要控制輸入，利用自身動力學特性，在節省系統能量和抵抗外界擾動上具有一定的優勢。綜上，仿真結果表明：控制系統對于持續的周期外部擾動力具有抗干擾能力，可以實現在水平面上的起步行走過程。

圖9 干擾下，初始狀態偏差隨行走距離變化曲線Fig.9 Curve of initial state error varying with walking distance with disturbance

4 結語

本文采用串聯彈性驅動雙足彈簧負載倒立擺模型，結合主動控制與被動行走的優點，提出了一種半被動雙足機器人起步行走仿人控制方法。該方法模仿人類行走，通過伸長后腿為系統注入能量，采用擺動腿回擺方法控制觸地位置。仿真結果表明：起步行走仿人控制策略可以實現變長度彈性伸縮腿半被動雙足機器人在水平面上起步行走，減少了能量輸入，控制系統對外部擾動力具有抗干擾能力。

本文與已有的研究主要在兩方面存在不同：1）在串聯彈性驅動雙足彈簧負載倒立擺模型基礎上提出了完整的起步行走仿人策略，實現了仿人的起步行走過程；2）相較于傳統軌跡跟蹤控制方法，本文提出的主動與被動相結合的控制方法不需要跟蹤軌跡，充分利用了被動行走的自穩定性與周期性，利用系統動力學原理減少能量輸入，能量效率高。在本文理論研究和仿真實驗的基礎上進行硬件平臺的驗證是下一步的工作方向。