基于LQG與LMS的電磁軸承系統振動控制研究*

張生光,張學寧,胡文穎

(中國航空發動機研究院,北京 101304)

0 引 言

隨著高速機床、航空航天等工程技術的迅速發展,對轉子系統高速化要求越來越高。由于非接觸支撐,摩擦系數大大減小,電磁軸承成為實現轉子系統高速化發展的途徑之一,而控制器設計是電磁軸承的核心技術。

目前,電磁軸承控制器多以PID或基于PID控制的控制器為主。湯恩瓊等人[1]基于PID控制與相位補償方法設計了控制器,使轉子系統穩定通過一階彎曲臨界轉速。李鵬飛[2]基于內模控制的PID控制器設計方法,將3個參數的調節減小至1個,便于試驗調試。

PID控制器在剛性轉子系統中應用廣泛,且控制效果較好。但是對于柔性轉子系統,由于參數的不確定性,導致該控制器魯棒性較差,難以滿足更高的控制要求,因此基于H∞、μ綜合、滑模控制、神經網絡控制、LQG控制等的電磁軸承控制器得到了業界的廣泛關注。

徐龍祥等人[3]用C語言設計了H∞控制器的軟件,成功實現了五自由度磁懸浮軸承系統的穩定懸浮,在最高轉速30 000 r/min時轉子的振動峰峰值小于60 μm。SCHWEITZER G等人[4]研究了μ綜合控制器在電磁軸承系統中的應用,給出了控制器設計方法。RUNDELL E等人[5]開發了滑模控制器與狀態觀測器,用于估計系統狀態,并實現了電磁軸承-轉子系統的穩定運轉。JANG M J等人[6]研究了柔性轉子系統中的滑模控制方法,其研究結果表明,轉子系統在滑模控制下具有較高的精度和魯棒性。趙宏凱等人[7]研究了基于RBF神經網絡的電磁軸承基礎激勵主動控制技術,提出了一種基于RBF神經網絡的PID控制算法,并分析了該方法在非隨機基礎激勵和隨機基礎激勵下軸承轉子的振動特性。BARUT M等人[8]采用LQG方法構建了卡爾曼濾波器,實現了線性磁軸承的高精度運動控制。DARBANDI S M等人[9]研究了不同的線性輸出反饋控制方法,證明LQG控制器具有較好的控制性能。

上述研究針對電磁軸承系統控制方法做了大量工作,取得了豐富成果,但是各控制方法尚存在不足,PID或基于PID控制的控制器魯棒性不足,對不平衡振動難以有效抑制;而H∞控制器與μ綜合控制器結構復雜,對于復雜的柔性轉子系統難以精確控制,滑模控制魯棒性較好,但是其控制性能相比于LQG控制稍差。因此,該研究對LQG控制器進行著重分析。

上述基于LQG控制器控制的電磁軸承系統中,往往通過修改加權矩陣來進行振動抑制,無法對不平衡振動進行消除。而目前在電磁軸承不平衡振動控制研究中,LMS算法已經得到廣泛應用,并且取得了較好的不平衡抑制效果,例如高輝等人[10-11]、宋騰等人[12]均研究了LMS算法在電磁軸承系統中的使用,有效抑制了不平衡振動的影響,但是在研究中將LMS算法應用于PID控制之中,仍然存在魯棒性不足的問題。

綜上所述,為搭建魯棒性較好的控制器,同時解決不平衡振動問題,筆者開展基于LQG控制與LMS算法的電磁軸承-轉子系統振動控制研究,設計電磁軸承控制器,建立電磁軸承-轉子系統耦合動力學模型,完成系統穩定控制與不平衡振動有效抑制。

1 電磁軸承-轉子系統建模

1.1 轉子系統動力學建模

轉子系統結構模型如圖1所示。

圖1 轉子系統結構示意圖x,y,z—坐標軸方向

模型結構尺寸參照英國Bath大學Keogh教授實驗室的電磁軸承-轉子系統實驗平臺[13]。轉子系統動力學模型采用有限元法建立,每個節點處考慮4個自由度(2個平動,2個轉動),共有n個節點,r個自由度。筆者采用Euler梁單元對柔性轉子進行有限元建模,由于轉子為細長轉子,建模時不考慮轉子系統的陀螺效應影響。

通過對彈性軸段單元、剛性盤單元、電磁軸承單元建模,可得轉子系統動力學模型為:

(1)

其中,廣義位移矢量q定義為:

q=[x1,θy1,x2,θy2,……,xn,θyn,y1,-θx1,
y2,-θx2,……,yn,-θxn]T

(2)

式中:x1,x2,xn—第1、2、n個節點處x方向的平動位移;y1,y2,yn—第1、2、n個節點處y方向的平動位移;θx1,θx2,θxn—第1、2、n個節點處繞x軸的偏轉角;θy1,θy2,θyn—第1、2、n個節點處繞y軸的偏轉角。

電磁軸承支撐力fAMB為控制電流與振動位移的非線性函數,可采用線性化的形式表示:

fAMB=Kii+Kxq

(3)

式中:Ki—電流剛度系數矩陣;i—控制電流向量;Kx—位移剛度系數矩陣。

由于原始系統自由度較多,計算復雜,影響控制效果,可通過降階來減小系統維度,實現快速控制。柔性轉子系統降階可通過主振型疊加法將相互耦合的多自由度運動方程進行解耦,解耦后忽略高階模態振型對系統的影響,從而實現轉子系統降階。

當針對無約束自由支撐的轉子系統進行模態分析時,有限元方法由于節點與自由度數量較多導致各結構參數矩陣復雜,并導致矩陣求逆及求解特征值時產生數值誤差,該誤差將導致矩陣模態求解不準確,從而無法有效降階。

因此,為實現有效降階,對于此處的電磁軸承-轉子系統,公式(1)可改寫為:

(4)

通過將位移剛度矩陣移動至方程左側,相當于添加了虛擬支撐,因此能夠有效減小數值誤差。對該系統降階時,首先求解模態矩陣Tm,其由系統矩陣M-1(K-Kx)的特征向量組成。

筆者利用模態矩陣對系統作模態變換:

q=Tmqm

(5)

式中:qm—模態坐標。

則系統在模態坐標中可表示為:

(6)

為實現系統降階,筆者通過減小模態矩陣Tm階數來實現,全階模態矩陣Tm是r列特征向量組成的r×r階矩陣,通常轉子系統中高階模態對系統影響較小,可以忽略,因此忽略模態矩陣Tm中對應的高階模態,使得矩陣變為r×s階矩陣(s

降階后,對轉子系統進行響應求解。定義模態方程狀態變量:

(7)

式中:xm—模態方程狀態變量。

利用狀態空間方法,轉子系統狀態方程為:

(8)

各矩陣表達如下:

(9)

式中:Csensor—傳感器位置矩陣;O—零矩陣;I—單位矩陣。

1.2 LQG控制器設計

1.2.1 綜合模型設計

控制器設計時,為更準確對系統進行控制,筆者考慮了傳感器與功率放大器參數的影響。

電磁軸承系統通常采用PWM開關功率放大器,可通過一節慣性環節與低通濾波器表示,模型如下:

(10)

式中:Ga—功率放大器傳遞函數;ka—功率放大器增益;τ1—功放擬合系數;τ2,ε—低通濾波器參數。

此處共設置4組功率放大器,各功放參數相同,功率放大器輸入為控制器輸出的控制信號:

ic=[ic1ic2ic3ic4]T

(11)

式中:ic—控制信號向量;ic1,ic2,ic3,ic4—4個控制器輸出的控制信號。

功率放大器輸出為線圈控制電流:

ia=[ia1ia2ia3ia4]T

(12)

式中:ia—線圈控制電流向量;ia1,ia2,ia3,ia4—4組功率放大器輸出的線圈控制電流分量。

設置功率放大器的狀態變量:

(13)

則狀態空間表示為:

(14)

位移傳感器可以為電渦流型或電感型,在采用數字控制器的系統中,通常與抗混疊濾波器串聯使用。

傳感器與抗混疊濾波器的模型如下:

當偏心率相同時,軸瓦開槽的油膜承載力與無槽相比有所下降，且隨著寬徑比的增加，降幅不斷地增大。這是由于工字槽軸向寬度隨著軸承寬徑比的增加而不斷增大，即油槽穿過油壓峰值區域會不斷增大，對峰值區油壓影響程度也就越大。

(15)

式中:Gs—傳感器傳遞函數;ks—傳感器增益;τs—傳感器帶寬系數;τL,εL—抗混疊濾波器參數。

同樣,針對4組傳感器,輸入為位移向量:

ys=[ys1ys2ys3ys4]T

(16)

式中:ys—傳感器輸入向量;ys1,ys2,ys3,ys4—傳感器輸入向量的4個分量。

傳感器輸出為電壓向量:

Vs=[Vs1Vs2Vs3Vs4]T

(17)

式中:Vs—傳感器輸出向量;Vs1,Vs2,Vs3,Vs4—傳感器輸出向量的4個分量。

設置傳感器的狀態變量:

(18)

則狀態空間表示為:

(19)

式中:As,Bs,Cs,Ds—傳感器狀態方程的各狀態矩陣。

x=[qaxmqs]T

(20)

式中:x—系統狀態變量。

隨后，可以得到系統的狀態空間表示為:

(21)

各狀態矩陣表示為:

(22)

1.2.2LQG控制器構建

首先,依據公式(21)設計系統狀態觀測器:

(23)

其中,增益矩陣L可通過基于線性二次型的方法進行求解[14]112501。

隨后,筆者建立狀態反饋控制器,將狀態量調節至零,使閉環系統保持穩定。

設計狀態反饋控制器為:

u=-Kx

(24)

式中:K—狀態反饋矩陣;u—系統輸入。

為使狀態量x快速趨近于穩定值,筆者引入線性二次型最優控制目標函數:

(25)

式中:J—性能指標函數;Q,R—加權矩陣。

加權矩陣Q是半正定對稱常數陣,加權矩陣R為正定對稱常數陣。最優控制的目標就是求取x,使性能指標J達到最小值。利用變分法求解,最終可求得狀態反饋矩陣K。

設計LQG控制器的關鍵是選擇合適的加權矩陣Q和R,為簡便起見,可定義權值矩陣R為單位矩陣I4×4,然后調節Q矩陣元素值,完成加權矩陣的選取。此處,Q為對角矩陣,筆者參考文獻[14]112501對Q矩陣進行取值。

引入積分環節的LQG控制器結構如圖2所示。

圖2 引入積分環節的LQG控制器結構示意圖R—參考輸入信號;KI—積分增益系數;ys—轉子位移向量;Vs—傳感器輸出電壓向量;ic—控制信號向量;ia—線圈電流向量;K—狀態反饋矩陣;系統狀態變量的狀態觀測;fu—不平衡力向量

參考輸入信號R為轉子在軸承節點處期望的懸浮位置,一般為軸承中心位置,此處,積分增益系數KI取10。

2 LMS算法不平衡振動控制

在電磁軸承-轉子系統中,由于轉子質量不平衡,會產生與轉速同頻的不平衡力,使系統產生不平衡振動。為了降低不平衡力對系統的影響,LMS算法已經被成功運用于電磁軸承-轉子系統之中。

LMS算法的原理是利用梯度隨機下降法實現目標函數的最小化,即保證均方誤差輸出在性能表面上下降[15]。

LMS算法的結構框圖如圖3所示。

圖3 LMS算法結構框圖ω0—算法濾波角頻率;t—時間;wL1(t)—正弦信號權值;wL2(t)—余弦信號權值;y1(t)—輸入信號1;y2(t)—輸入信號2;d(t)—算法期望信號,即需要濾除的信號;y(t)—算法輸入信號;e(t)—算法輸出的誤差信號

通過將LMS系統離散化,并進行z變換后,可推導得出脈沖傳遞函數如下[16]:

(26)

式中:H(z)—傳遞函數;Y(z)—輸入信號;E(z)—誤差信號;μ—LMS算法步長因子;Ts—時間步長。

考慮LMS算法后,筆者建立基于LQG控制器的電磁軸承-轉子系統耦合模型,如圖4所示。

圖4 考慮LMS算法的電磁軸承-轉子系統耦合模型

圖4中,在傳感器后增加LMS算法模塊,抑制轉子系統不平衡振動。

3 電磁軸承-轉子系統仿真及分析

3.1 狀態觀測器性能分析

進行仿真分析時,轉子在垂直方向上具有-0.75 mm的初始位移,在最左側盤(盤1)上存在0.5×10-3kg·m的不平衡量。

在一階彎曲臨界轉速180 rad/s工況下,左側傳感器位置實際輸出位移與狀態觀測器的輸出位移對比結果,如圖5所示。

圖5 狀態觀測器不考慮不平衡力左端軸承位移仿真結果xL—左側傳感器x方向位移;yL—左側傳感器y方向位移;t—時間

通過對比可以發現:在初始值相同或不同的情況下,LQG控制器可以在較短時間內(0.1 s)跟隨實際系統進行輸出,實現穩定控制,但是在輸出位移幅值與相位上存在差異,這是由于模型中狀態觀測器未考慮不平衡力的影響。

由于轉子系統不平衡量的準確測量以及輸入至控制器在實際系統中較難實現,在該模型中的狀態觀測器中沒有將不平衡力作為輸入。

狀態觀測器準確地考慮了不平衡力的影響,其仿真結果如圖6所示。

圖6 狀態觀測器考慮不平衡力左端軸承位移仿真結果

由圖6可見,在較短時間(0.1 s)內,狀態觀測器能夠準確跟隨轉子系統輸出。

3.2 加權矩陣Q的影響分析

接下來,筆者要研究加權矩陣Q對系統的影響,同樣針對180 rad/s工況,此時設置轉子位移和速度的初始值均為0,分析不同Q值的影響。

當矩陣Q位移項對應元素為106,速度項對應元素為10時,轉子兩端傳感器位置軸心軌跡如圖7所示。

圖7 Q矩陣位移項元素106時軸心軌跡圖xR—右側傳感器x方向位移;yR—右側傳感器y方向位移

由圖7可見,此時右側傳感器位置轉子振幅為24 μm左右。

隨后,修改一階彎曲模態位置對應的Q矩陣元素值為1010,此時,轉子兩端傳感器位置軸心軌跡如圖8所示。

圖8 Q矩陣位移項元素1010時軸心軌跡圖

由圖8可見,此時右側傳感器位置轉子振幅相比于圖7有所減小,為20 μm左右,降低了16.6%,說明了Q矩陣元素對振動特性具有一定的影響。

3.3 LMS算法影響分析

將LMS算法應用于LQG控制器中,位移項對應元素分別為106與1010時,對不平衡振動進行分析。

在一階彎曲臨界轉速180 rad/s下,考慮LMS算法后,軸心軌跡結果如圖9所示。

圖9 考慮LMS算法后軸心軌跡結果

通過對比圖9與圖8可知:隨著時間的增加軸心逐漸向平衡位置靠攏,在位移項元素為106條件下,1.8 s后,右側傳感器位置轉子振幅下降了90%,降低至2.4 μm,在位移項元素為1010條件下,9.28 s后,右側傳感器位置轉子振幅下降了90%,降低至2.4 μm,說明了LMS算法的有效性;

但是,增大了Q矩陣位移項元素后,與不考慮LMS算法情況不同,軸心軌跡范圍并未縮小,這可能是由于構建LQG控制器時未考慮LMS算法的影響,因此閉環控制系統中添加LMS算法后,表現出了不用的控制效果。

在LQG控制器條件下,考慮與不考慮LMS算法時,轉子幅頻特性曲線對比結果如圖10所示。

圖10 轉子幅頻特性曲線fv—振動幅值;ω—角速度

由圖10可見:在不考慮LMS算法時,可以明顯看出轉子在一階彎曲臨界轉速180 rad/s時振幅較大;

考慮LMS算法后,可以看出,在62 rad/s附近,LMS算法效果較弱,這是因為隨著轉速的增加,兩條主導根軌跡會由左半平面穿越虛軸進入右半平面,此時系統閉環發散,而此時對應的轉速在62 rad/s附近,為保證系統穩定,后續轉速下,需將LMS步長因子μ數值由正值修改為負值[12]2728。

在該轉速區域之外,轉子系統在各個頻率下幅值均達到較低水平。

理論上,隨著時間的推進,LMS算法能夠很好消除不平衡振動,但是由于該算例仿真時間、LMS算法步長因子選擇、跨越LMS算法不穩定區域等原因,尚有一部分不平衡振動沒有濾除。

4 結束語

筆者建立了基于LQG控制與LMS算法的電磁軸承-轉子系統振動控制模型,采用LQG控制方法對電磁軸承-轉子系統進行了有效控制,并且為使控制器具有更好的控制效果,控制器中考慮了傳感器與功率放大器的影響。

研究結果表明:

(1)所建立的狀態觀測器能夠有效跟隨系統位移變化,在初始位移相差較大的情況下，也可在較短時間內(0.1 s)完成跟蹤;

(2)LQG控制器加權矩陣的選擇十分關鍵,在不考慮LMS算法時,將矩陣Q的位移項元素數值由106增加至1010后,可使系統振動幅值降低16.6%;但是考慮LMS算法后,增加矩陣Q的位移項元素數值則產生不一樣的效果;

(3)將LMS算法添加進LQG控制器后,能夠有效抑制轉子系統的不平衡振動,當Q矩陣位移項元素分別為106和1010時,在一階彎曲臨界轉速工況下,振幅在1.8 s內和9.28 s內降低了90%。

在后續研究中,筆者將進一步探索LQG控制器中加權矩陣Q與R對振動行為的影響規律,找到最優控制參數,更好地抑制系統的振動。