考慮過載狀態(tài)和失效概率的航空網(wǎng)絡級聯(lián)故障模型

樊 成，王布宏，田繼偉

（空軍工程大學信息與導航學院，西安 710077）

0 引言

隨著我國經(jīng)濟社會的不斷發(fā)展，航空網(wǎng)絡作為航空運輸?shù)膶崿F(xiàn)載體愈加重要。然而航空網(wǎng)絡由于其特殊性，容易受天氣、人為因素以及惡意網(wǎng)絡攻擊影響，如何優(yōu)化航空網(wǎng)絡結(jié)構(gòu)、降低突發(fā)事件對功能運行的影響，逐漸成為人們關心的重點。航空網(wǎng)絡是由機場節(jié)點和航線邊組成的復雜網(wǎng)絡，當某一機場節(jié)點或航線邊發(fā)生故障時，該機場流量就會向其他機場分流，繼而引起其他機場的服務功能異常，甚至造成大范圍的航班延誤及整個航空網(wǎng)絡癱瘓，這種現(xiàn)象符合級聯(lián)故障的傳播特性。因此利用級聯(lián)故障模型對航空網(wǎng)絡抗毀性進行分析，研究故障的動力學傳播特性，可以為航空網(wǎng)絡的結(jié)構(gòu)優(yōu)化及抗毀性提升提供指導。

在級聯(lián)故障模型方面，Motter 等［1］最早提出了“負載-容量”ML（Motter-Lai）模型，假設節(jié)點的負載和容量存在線性關系，并提出了基于最短路徑的流量重分配算法。Wang等［2］提出了WK（Wang-Kim）模型，將節(jié)點的容量定義為負載的單調(diào)遞增函數(shù)，對高負載的節(jié)點分配更多的容量。隨著研究的深入，人們發(fā)現(xiàn)實際網(wǎng)絡中節(jié)點的容量和負載并非是線性關系，而是非線性關系，繼而Dou 等［3］提出了非線性負載容量模型，對網(wǎng)絡不同節(jié)點分配不同的容量，在網(wǎng)絡成本上比線性模型更具優(yōu)勢。針對加權(quán)網(wǎng)絡級聯(lián)故障抗毀性問題，崔文巖等［4］提出一種節(jié)點度和介數(shù)相關的邊權(quán)重模型，發(fā)現(xiàn)特定參數(shù)組合可以增強網(wǎng)絡的魯棒性。邢彪等［5］從網(wǎng)絡的局部信息入手，提出了一種基于節(jié)點度及鄰居節(jié)點強度的加權(quán)網(wǎng)絡模型。針對社團網(wǎng)絡，李浩敏等［6］研究了多社團復雜網(wǎng)絡應對級聯(lián)故障的抗毀性；陸靖橋等［7］則從網(wǎng)絡中的社團結(jié)構(gòu)入手，提出了一種考慮社團理論的級聯(lián)故障模型，使研究不再局限于單個節(jié)點或節(jié)點簡單的鄰居關系。在失效節(jié)點的負載分配策略方面，目前已有不少基于固定因素分配策略，具體包括基于全局信息的負載重分配［8］、基于負載最近鄰偏好分配［9］、節(jié)點容量或容量和初始負載的差值［10］和基于可調(diào)負載重分配范圍與負載重分配異質(zhì)性的等［11］，然而這類固定的負載重分策略沒有考慮節(jié)點失效時其鄰居節(jié)點的實時負載處理能力。梁倬騫等［12］將節(jié)點負載看成是動態(tài)變化的過程，提出了基于節(jié)點實時處理能力的負載重分配策略，能夠有效提高網(wǎng)絡的抗毀性；針對相依網(wǎng)絡，李從東等［13］對多層耦合網(wǎng)絡對級聯(lián)失效的魯棒性進行了仿真分析；劉鳳增等［14］則對相依網(wǎng)絡應對級聯(lián)失效的恢復策略進行了研究。此后，級聯(lián)故障模型逐漸應用于各類實際網(wǎng)絡，如Sch?fer 等［15］從故障發(fā)生的瞬間狀態(tài)和穩(wěn)定狀態(tài)兩方面對電力網(wǎng)絡應對級聯(lián)失效的魯棒性進行了分析；郭曉成等［16］將級聯(lián)失效應用于指揮信息系統(tǒng)，并提出了對應的防御策略；李成兵等［17］將級聯(lián)失效應用于城市交通網(wǎng)絡，研究了蓄意攻擊下城市交通網(wǎng)絡的抗毀性。

然而，現(xiàn)有的方法對于節(jié)點失效的設定大多是確定性的，即一旦負載超過最大容量就立即失效，由于航空網(wǎng)絡的特殊性，節(jié)點大多具有冗余容量，即使發(fā)生過載也不會立即失效，而是具備一定的超額負載調(diào)度能力；另外現(xiàn)有級聯(lián)故障模型與航空網(wǎng)絡適應性不夠高，一些參數(shù)的選取設置并未參照航空網(wǎng)絡實際情況，并且缺少網(wǎng)絡抗毀性與網(wǎng)絡成本的關系分析。為了解決以上問題，本文提出了一種考慮過載狀態(tài)及失效概率的航空網(wǎng)絡的級聯(lián)故障非線性模型，以過載系數(shù)λ來描述節(jié)點的冗余容量功能，以權(quán)重系數(shù)θ來描述網(wǎng)絡節(jié)點的異質(zhì)性，以失效概率p來描述不同節(jié)點發(fā)生故障的不確定性（該不確定性由人為干預的強弱或保護資源的多少決定），以容量系數(shù)α、β描述節(jié)點負載和容量的非線性關系，采用基于節(jié)點實時剩余容量的負載重分配策略，使所提模型更貼近于實際交通網(wǎng)絡中失效的情況，并引入網(wǎng)絡成本的概念，分別從理論分析和仿真實驗兩方面，對網(wǎng)絡抗毀性提升及網(wǎng)絡成本與其他參數(shù)的關系進行了研究，提出了航空網(wǎng)絡的優(yōu)化方向，使研究結(jié)果具有較強的實用價值，對于航空網(wǎng)絡抵御級聯(lián)故障、增強抗毀性存在著重要的理論和現(xiàn)實意義。

1 考慮失效概率的航空網(wǎng)絡級聯(lián)故障模型

1.1 級聯(lián)故障過程

考慮到航空網(wǎng)絡的機場節(jié)點具備超額負載處置能力，當流量超過負載后，該節(jié)點不會立刻癱瘓，而是會降低節(jié)點的流量處置效率；此后隨著進入該機場節(jié)點的流量不斷增加，其失效的概率逐漸增大，直至最終失效，此時該節(jié)點就會向與其通航的機場節(jié)點分配航班流量。因此，可以將航空網(wǎng)絡級聯(lián)故障過程分為以下三個階段（如圖1 所示）：

圖1 考慮失效概率的級聯(lián)故障過程Fig.1 Cascading failure process considering failure probability

1）正常工作。在該階段，航空網(wǎng)絡中的節(jié)點依據(jù)空管調(diào)度，在正常的負載范圍內(nèi)工作。

2）負載傳播。當網(wǎng)絡中某一節(jié)點受到攻擊而失效時，為保持該節(jié)點航班運輸?shù)睦^續(xù)運行，該節(jié)點的負載會分流給其鄰居節(jié)點，這是第一輪傳播過程；此時，有的節(jié)點由于負載超過其最大工作量而失效，將航班流量分配給鄰居節(jié)點，有的節(jié)點負載并未超過其最大工作量而處于過載狀態(tài)，通過調(diào)度將超載航班流量分配至其余節(jié)點，該節(jié)點并不失效，這是第二輪傳播過程。

3）失效結(jié)束。當網(wǎng)絡不再出現(xiàn)新的失效節(jié)點，所有節(jié)點達到穩(wěn)定狀態(tài)，級聯(lián)故障過程結(jié)束。

圖1（a）中標叉節(jié)點是初始時刻受攻擊而失效的節(jié)點，其余為正常節(jié)點。圖1（b）中顯示初始節(jié)點失效后，向其鄰居節(jié)點分配流量。此時，部分節(jié)點接收流量后負載超過最大容量但在允許范圍內(nèi)而處于過載狀態(tài)（填充），部分節(jié)點接收流量后負載超過最大容量且超出冗余范圍和失效（標叉），部分處于正常狀態(tài)。圖1（c）顯示了經(jīng)過第一輪傳播過程后，出現(xiàn)了新的過載節(jié)點和失效節(jié)點，這些節(jié)點又開始向鄰居節(jié)點分配流量，同時上一輪中處于過載狀態(tài)的節(jié)點經(jīng)過流量調(diào)配后，恢復為正常狀態(tài)。

1.2 航空網(wǎng)絡級聯(lián)故障模型

通過復雜網(wǎng)絡理論和圖論知識構(gòu)建航空網(wǎng)絡圖集合G={V，E}，其中V={v1，v2，…，vN}為機場節(jié)點構(gòu)成的點集合；E={e1，e2，…，em}為節(jié)點之間航線組成的邊集合；網(wǎng)絡的連接情況用鄰接矩陣A={aij}(1≤i，j≤N)表示，若節(jié)點vi到vj有航線則aij=1，反之a(chǎn)ij=0。

1）節(jié)點的初始負載。

為了有效定義航空網(wǎng)絡的節(jié)點負載，考慮到網(wǎng)絡中節(jié)點重要性不僅與節(jié)點本身有關，還有其鄰居節(jié)點相關，因此本文將節(jié)點的初始負載定義為節(jié)點度和鄰居節(jié)點度的乘積［18］：

其中：Li為節(jié)點i的初始負載；ki為節(jié)點i的度值；Γi為節(jié)點i鄰居節(jié)點的集合；θ為權(quán)重系數(shù)，用來調(diào)節(jié)網(wǎng)絡節(jié)點負載分布的參數(shù)，其值越大，說明網(wǎng)絡節(jié)點之間的負載差異越大，負載分布越不均勻，網(wǎng)絡的異質(zhì)性越強。

2）節(jié)點的最大容量。

本文假設節(jié)點容量與負載成非線性關系，因此定義節(jié)點i的最大容量為：

其中：Li為節(jié)點初始負載；α≥0、β≥0 為容量系數(shù)，調(diào)節(jié)機場最大吞吐量的大小，當α=1 時，為ML 模型關于容量和負載關系的假設。容量系數(shù)越大，網(wǎng)絡應對級聯(lián)故障的能力就越強，然而在現(xiàn)實網(wǎng)絡中，機場的最大吞吐量越大，其所花費代價也就越大，占用的資源也就越多，因此容量系數(shù)α和β不能無限制增大。

3）節(jié)點的過載系數(shù)和失效概率。

針對航空網(wǎng)絡節(jié)點具備冗余容量，且對超額負載具備一定調(diào)度能力的實際，本文引入了失效概率這一概念。具體而言，當節(jié)點的負載小于其最大容量時，節(jié)點不會失效；當節(jié)點的負載超過其最大容量但在一定的允許范圍內(nèi)時，節(jié)點以一定的概率失效；當節(jié)點的負載超過其最大容量并且超出規(guī)定的允許范圍，節(jié)點立刻失效。公式表示如下：

其中：pi為節(jié)點i的失效概率；λiCi為節(jié)點i的冗余容量。考慮到現(xiàn)實情況下，越繁忙的機場節(jié)點越需要投入成本增加其冗余容量，從而保證其在高峰時段的航班處置能力；相反一些航班數(shù)較少的機場，并不需要增加過多的冗余容量。因此冗余量應該與節(jié)點本身的航班量成正比，因此λ可定義為：

節(jié)點i的失效概率為：

其中：pi為Li單調(diào)遞增函數(shù)，Li超出Ci的值越大，節(jié)點越容易失效；ω>0 為分布系數(shù)，用來描述節(jié)點對失效概率的敏感程度，因為在不同情況下，節(jié)點對于超額負載存在著不同的處理能力。有時節(jié)點處理額外負載的能力弱，即使負載小范圍增長，失效概率也可能增長較快；相反有時節(jié)點的失效概率對小范圍的負載增長并不敏感。

4）負載的重分配策略。

重分配策略分為兩類：一類是失效節(jié)點的負載重分配；另一類是處于過載狀態(tài)節(jié)點的超額負載重分配。對于失效節(jié)點的負載分配，主要依據(jù)其相鄰節(jié)點的負載占比進行分配［19］，假設節(jié)點j失效，那么分配到相鄰節(jié)點i的容量為：

此時，節(jié)點i收到節(jié)點j分配的流量后，處于過載狀態(tài)，并未失效，但超額負載需要盡快分配至其余節(jié)點，使得系統(tǒng)能夠保持正常的運轉(zhuǎn)效率。

對于超額負載分配采用基于鄰域節(jié)點實時剩余容量的分配策略［20］，節(jié)點i到其相鄰節(jié)點m的分配比例為：

那么節(jié)點i分配到節(jié)點m的容量為：

5）網(wǎng)絡成本。

網(wǎng)絡中每個節(jié)點的成本定義為其容量與負載的比值：

那么整個網(wǎng)絡成本Cost為：

當Cost=1 時，說明網(wǎng)絡中節(jié)點容量與負載相同，網(wǎng)絡處于初始成本下；當Cost>1 時，說明節(jié)點的容量超過負載，此時網(wǎng)絡的構(gòu)建就具有了成本。實際的航空網(wǎng)絡不會無限地擴容，其構(gòu)建和維護受到成本的限制，因此引入網(wǎng)絡成本的概念。

6）網(wǎng)絡抗毀性指標。

抗毀性指標用來衡量網(wǎng)絡應對級聯(lián)故障的能力，定義為網(wǎng)絡在達穩(wěn)定狀態(tài)時失效節(jié)點與總節(jié)點的比值：

其中：Nf為網(wǎng)絡達穩(wěn)定狀態(tài)后失效節(jié)點個數(shù)；N為網(wǎng)絡總節(jié)點數(shù)。G越小，說明網(wǎng)絡應對級聯(lián)故障的能力越強，抗毀性越高。

1.3 模型應對級聯(lián)故障的理論分析

為了在級聯(lián)故障大范圍傳播前進行阻斷，需要在故障發(fā)生時就進行阻斷。假設網(wǎng)絡中節(jié)點j首先出現(xiàn)故障，向其相鄰節(jié)點i傳播流量，這就包括兩種情況：

1）當ΔLji+Li≤Ci，節(jié)點i自身流量與節(jié)點j所分配流量之和小于其最大容量，此時節(jié)點i仍正常工作。

2）當Ci<ΔLji+Li≤δCi，節(jié)點i自身流量與節(jié)點j分配流量之和大于其最大容量，但處于冗余容量范圍內(nèi)，此時節(jié)點i進入過載狀態(tài)，但并未失效。

針對第一種情況：將式（1）、（2）和（6）代入ΔLji+Li≤Ci，經(jīng)推導可到：

由貝葉斯公式可知：

其中：p(k′|kj)表示度為節(jié)點j，其鄰接節(jié)點中含有度為k′的節(jié)點的條件概率。又由小世界和無標度網(wǎng)絡中沒有度相關性，所以p(k′|kj)=k′p(k′)/，因此可得：

將式（14）代入式（12），化簡得到：

又因Cost=，結(jié)合式（15），可得第一種情況下網(wǎng)絡成本與網(wǎng)絡各參數(shù)的關系：

對于情況2），Ci<ΔLji+Li≤δCi，同理可推導得：

通過上述分析，可以看出在滿足網(wǎng)絡抗毀性條件下，網(wǎng)絡成本與網(wǎng)絡的度平均數(shù)、過載系數(shù)、權(quán)重系數(shù)和容量系數(shù)的關系，這也說明了可以通過合理配置優(yōu)化參數(shù)，使網(wǎng)絡對級聯(lián)故障具有強魯棒性的情況下降低網(wǎng)絡成本。

1.4 考慮失效概率的航空網(wǎng)絡級聯(lián)故障算法

2 仿真實驗與結(jié)果分析

2.1 實驗說明

航班及機場數(shù)據(jù)來自國際航空運輸協(xié)會（International Air Transport Association，IATA）2019 年的記錄。實驗步驟如1.4 節(jié)所示，假定度值最大的節(jié)點首先受到攻擊而失效，觀察過載系數(shù)、權(quán)重系數(shù)、分布系數(shù)、容量系數(shù)隨著網(wǎng)絡成本變化對網(wǎng)絡抗毀性影響，所有的仿真分別進行50 次獨立實驗。

2.2 過載系數(shù)δ對航空網(wǎng)絡抗毀性的影響

為了研究過載系數(shù)δ對網(wǎng)絡抗毀性的影響，保持其他參數(shù)固定，使δ的值變化，觀察網(wǎng)絡在不同成本下的抗毀性。實驗中，令容量系數(shù)α=0.75，這是因為在前期驗證中α=0.75 時，網(wǎng)絡的抗毀性參數(shù)隨著δ的變化較為明顯；令權(quán)重系數(shù)θ=0.8，使得網(wǎng)絡中節(jié)點負載分配差異性不至于過大；令分布系數(shù)ω=1。仿真結(jié)果如圖2 所示。

圖2 網(wǎng)絡抗毀性隨過載系數(shù)的變化Fig.2 Network invulnerability varying with overload coefficient

由圖2 分析可知，初始成本下，δ=0 表示不考慮冗余容量和失效概率，此時網(wǎng)絡的失效節(jié)點比例較高，隨著δ小范圍增大，網(wǎng)絡的失效節(jié)點比例大幅降低，當δ=0.3 時，節(jié)點失效比例僅有17.59%，說明引入過載系數(shù)能夠?qū)W(wǎng)絡的抗毀性帶來較大提升；隨著網(wǎng)絡建設成本Cost的不斷增加，網(wǎng)絡的失效節(jié)點比例逐漸下降，但當Cost增大到某一值后，網(wǎng)絡失效節(jié)點比例不會下降，這是說明當網(wǎng)絡成本大于某一值后，網(wǎng)絡中節(jié)點的最大容量遠大于負載，級聯(lián)故障不會發(fā)生，增大過載系數(shù)δ，可以使曲線更早地達到這一臨界值。

同時可以看出網(wǎng)絡成本Cost=1.031 4 時，網(wǎng)絡的抗毀性指標G與過載系數(shù)δ的變化關系最為緊密，為了更直觀地展示失效概率對航空網(wǎng)絡抗毀性的影響，將航空網(wǎng)絡在考慮失效概率和不考慮失效概率（δ=0.15，Cost=1.031 4，α=0.75，θ=0.8，ω=1）兩種情況下進行級聯(lián)故障仿真，觀察達穩(wěn)定狀態(tài)后網(wǎng)絡情況，仿真結(jié)果如圖3 所示。

圖3 不同機制下網(wǎng)絡發(fā)生級聯(lián)故障后的狀態(tài)Fig.3 Network states after cascading failure under different mechanisms

圖3（a）展示了正常工作狀態(tài)下中國航空網(wǎng)絡結(jié)構(gòu)，節(jié)點為正常運行的機場節(jié)點，連線表示機場之間的航線；圖3（b）表示不考慮失效概率時，網(wǎng)絡發(fā)生級聯(lián)故障后的狀態(tài)，標叉的表示失效的機場節(jié)點，此時網(wǎng)絡大部分節(jié)點已經(jīng)失效，且僅存的有效節(jié)點之間不存在航線，航空網(wǎng)絡崩潰；圖3（c）表示考慮失效概率時，網(wǎng)絡發(fā)生級聯(lián)故障后的狀態(tài)，此時網(wǎng)絡大部分節(jié)點仍正常工作，失效節(jié)點較之前已經(jīng)大幅減少；移除圖3（c）中的失效節(jié)點，添加正常工作節(jié)點之間的航線，得到圖3（d），雖然圖3（d）網(wǎng)絡航線數(shù)較圖3（a）有所減少，但大部分航線得以保留，網(wǎng)絡能夠保持正常運行，這說明了考慮過載狀態(tài)及失效概率對航空網(wǎng)絡抗毀性的提升。

2.3 權(quán)重系數(shù)θ對航空網(wǎng)絡抗毀性的影響

為了探究權(quán)重系數(shù)θ對網(wǎng)絡抗毀性的影響，保持其他參數(shù)固定，令δ=0.25，α=0.75，ω=1，觀察不同權(quán)重系數(shù)θ下，網(wǎng)絡性能隨網(wǎng)絡成本的變化，結(jié)果如圖4 所示。

圖4 網(wǎng)絡抗毀性隨權(quán)重系數(shù)的變化Fig.4 Network invulnerability varying with weight coefficient

從圖4 可以看出，當整個網(wǎng)絡成本較低時，隨著權(quán)重系數(shù)θ的提升，網(wǎng)絡中各節(jié)點負載的異質(zhì)性逐漸提高，網(wǎng)絡應對級聯(lián)故障的能力隨之下降，系統(tǒng)抗毀性逐漸降低；而隨著網(wǎng)絡成本的提升，網(wǎng)絡失效節(jié)點比例逐漸降低，當網(wǎng)絡成本繼續(xù)增大，失效比例降至最低，抗毀性達到最大值，并且θ的提升會使到達抗毀性最大的時刻推遲。結(jié)果顯示，節(jié)點之間負載分配的異質(zhì)性與網(wǎng)絡的抗毀性相關。

2.4 分布系數(shù)ω對航空網(wǎng)絡抗毀性的影響

分布系數(shù)ω刻畫了網(wǎng)絡不同節(jié)點對超額負載的處理能力。為了研究網(wǎng)絡的抗毀性隨ω的變化，本文保持其他參數(shù)固定，即令θ=0.8，α=0.75，δ=0.1，觀察網(wǎng)絡失效節(jié)點比例G隨著ω及Cost的變化，結(jié)果如圖5 所示。

圖5 網(wǎng)絡抗毀性隨分布系數(shù)的變化Fig.5 Network invulnerability varying with distribution coefficient

如圖5 所示，當Cost=1，此時網(wǎng)絡處于初始成本下，節(jié)點的失效比例隨著ω的增加而不斷降低；隨著網(wǎng)絡成本的增加，節(jié)點失效比例逐漸降低，當超過某一臨界點后，網(wǎng)絡抗毀性達到最大，此時繼續(xù)增大ω或網(wǎng)絡成本Cost不會改變網(wǎng)絡的抗毀性。這是因為當ω較小時，即使網(wǎng)絡節(jié)點的負載略有超過容量，其失效概率仍然較高；相反，當ω較大時會相應降低失效概率。因此，ω控制著網(wǎng)絡中各節(jié)點對過載負荷的敏感程度，也反映了實際航空網(wǎng)絡節(jié)點處理調(diào)配過載容量的能力。

2.5 容量系數(shù)α和β對航空網(wǎng)絡抗毀性的影響

為了探究網(wǎng)絡容量系數(shù)對網(wǎng)絡抗毀性的影響，令其他參數(shù)固定，即δ=0.25，θ=0.8，ω=1，選擇不同的α和β的值進行仿真，結(jié)果如圖6 所示。

從圖6（a）可以看出，當β=0.1 時，網(wǎng)絡的抗毀性隨著容量系數(shù)α的增加，處于震蕩狀態(tài)，但當α>0.625 后，隨著α的增加，網(wǎng)絡抗毀性不斷增強，尤其是當α=0.701 2 時，系統(tǒng)的魯棒性最強，此后繼續(xù)增大α，網(wǎng)絡抗毀性不再變化。從圖6（b）可以看出，容量系數(shù)β對網(wǎng)絡抗毀性的影響與α的影響大致相同，但β在小范圍(0～0.2)變化，就能對網(wǎng)絡抗毀性帶來較大影響，說明網(wǎng)絡抗毀性對于參數(shù)β的變化更為敏感。同時，當網(wǎng)絡成本固定時，α的上升必然帶來β的下降，兩者呈現(xiàn)負相關的關系。當網(wǎng)絡成本變化時，α和β若同時增大時，又會使網(wǎng)絡成本急劇提升。因此，一味地提升網(wǎng)絡容量系數(shù)并不合理。

圖6 網(wǎng)絡抗毀性與不同容量系數(shù)的關系Fig.6 Relationship between network invulnerability and different capacity coefficients

2.6 本文所提模型與其他模型的比較

為了顯示本文所提模型的優(yōu)勢，此處對航空網(wǎng)絡在ML模型（模型1）、不考慮失效概率的非線性負載模型（模型2）和考慮過載狀態(tài)和失效概率的模型（模型3）下失效節(jié)點比例G與網(wǎng)絡成本Cost的關系進行對比。為了保證結(jié)果的公平性，對于模型1，令α=1，θ=0.8；對于模型2，由于負載和容量是非線性關系，令α=1.2，θ=0.8；對于模型3，考慮了過載狀態(tài)和失效概率，令α=1.2，θ=0.8，ω=2，δ=0.1。參數(shù)β的取值范圍為0.01 到0.25 變化，觀察網(wǎng)絡失效節(jié)點比例隨網(wǎng)絡成本的變化，結(jié)果如圖7 所示。

圖7 航空網(wǎng)絡在三種模型下的抗毀性隨網(wǎng)絡成本的變化對比Fig.7 Comparison of aviation network invulnerability varying with network cost under three models

從圖7 可以看出：與模型1、模型2 相比，模型3 在初始網(wǎng)絡成本下G值較低，且隨著網(wǎng)絡成本的增加，模型3 的曲線下降更快，能夠更快地到達網(wǎng)絡的最大抗毀性值。這是因為改進后的模型不僅考慮了節(jié)點和網(wǎng)絡自身的冗余能力，還考慮了過載狀態(tài)下節(jié)點的失效概率問題，更好地抑制了網(wǎng)絡級聯(lián)故障破壞程度，相較其他模型更適用于航空網(wǎng)絡。

隨后對三種的模型的計算復雜度進行仿真分析，此處隨機生成了節(jié)點數(shù)分別為100、200、300、400，平均度為6 的無標度網(wǎng)絡作為實驗對象，初始時刻移除網(wǎng)絡中度值最大的節(jié)點，觀察達到平衡狀態(tài)下各模型所用的時間，結(jié)果如圖8所示。

圖8 不同網(wǎng)絡規(guī)模下模型的運算復雜度Fig.8 Model computational complexity under different network scale

通過圖8 可以看出：模型1 與模型2 在不同網(wǎng)絡規(guī)模下的運算時間基本相同，而模型3 因為增加了過載狀態(tài)和失效概率的計算，因此運算時間要高于其他模型，但總體與網(wǎng)絡的節(jié)點數(shù)成線性關系。

2.7 航空網(wǎng)絡應對級聯(lián)故障的優(yōu)化過程

為探究多參數(shù)變化對航空網(wǎng)絡抗毀性的影響，并據(jù)此尋找網(wǎng)絡的優(yōu)化方向，設計如下實驗：令過載系數(shù)δ的取值范圍為0.1～0.3，權(quán)重系數(shù)θ的取值范圍為0.7～1.2，分布系數(shù)ω取值范圍為0.5～1.5，容量系數(shù)α的取值范圍為0.6～0.9，β的取值范圍為0.05～0.2，每個系數(shù)的取值間隔為0.05，將所有參數(shù)的取值組合，共得到12 000 種情況，對每種情況下網(wǎng)絡成本與網(wǎng)絡的抗毀性進行計算，部分計算結(jié)果如表1 所示。通過表1 可以看出，容量系數(shù)α和β對網(wǎng)絡成本的影響較大，并且兩者在網(wǎng)絡成本固定時存在負相關的關系，因此這兩個參數(shù)對網(wǎng)絡的抗毀性優(yōu)化存在最優(yōu)取值區(qū)間；過載系數(shù)θ對網(wǎng)絡抗毀性影響較大，對網(wǎng)絡抗毀性優(yōu)化存在最優(yōu)取值；當繼續(xù)提升其他參數(shù)對網(wǎng)絡抗毀性影響不大時，提高分布系數(shù)ω，能夠在不改變網(wǎng)絡成本的條件下進一步提升網(wǎng)絡抗毀性。

表1 航空網(wǎng)絡在不同參數(shù)組合下的網(wǎng)絡成本與抗毀性Tab.1 Network cost and invulnerability of aviation network with different parameter combinations

結(jié)合上面的計算結(jié)果，航空網(wǎng)絡提升級聯(lián)故障抗毀性的優(yōu)化過程可通過圖9 進行描述。

圖9 航空網(wǎng)絡級聯(lián)故障抗毀性優(yōu)化過程Fig.9 Optimization process of cascading failure invulnerability in aviation network

在考慮網(wǎng)絡整體成本的情況下，優(yōu)化對象可分為兩部分：1）對網(wǎng)絡拓撲進行規(guī)劃，優(yōu)化航線配置，降低網(wǎng)絡各節(jié)點負載的異質(zhì)性；2）對參數(shù)進行優(yōu)化，主要是過載系數(shù)和分布系數(shù)，使得航空網(wǎng)絡整體成本在合理區(qū)間下，優(yōu)化節(jié)點的冗余容量和失效概率。兩者在一定程度上可以實現(xiàn)航空網(wǎng)絡對級聯(lián)故障抗毀性的提升。

3 結(jié)語

本文在傳統(tǒng)“負載-容量”模型的基礎上，提出了一種考慮過載狀態(tài)和失效概率的非線性級聯(lián)故障模型，對航空網(wǎng)絡節(jié)點具有冗余容量及超額負載調(diào)配的能力進行刻畫；在此基礎上，引入網(wǎng)絡成本的概念，并針對過載節(jié)點和失效節(jié)點分別設置了對應的負載分配策略，使得級聯(lián)故障研究更符合航空網(wǎng)絡實際。隨后從理論分析和仿真實驗兩個角度，對網(wǎng)絡抗毀性提升與網(wǎng)絡成本和模型其他參數(shù)的關系進行了研究，并給出了提升航空網(wǎng)絡應對級聯(lián)故障的策略，結(jié)論如下：

1）隨著過載系數(shù)δ在一定范圍的增加，網(wǎng)絡的抗毀性會逐漸增強；但當δ增加一個特定值，并且網(wǎng)絡成本增大到一個臨界值后，網(wǎng)絡級聯(lián)故障不再發(fā)生，繼續(xù)增大δ沒有意義。

2）當分布系數(shù)ω<1 時，即使節(jié)點負載超過容量小部分，也存在很高的失效概率；隨著ω的增大，各節(jié)點處理過載載流量的能力增強，網(wǎng)絡的抗毀性逐漸增大。

3）當網(wǎng)絡在低成本下發(fā)生大規(guī)模級聯(lián)破壞時，網(wǎng)絡的抗毀性會隨著權(quán)重系數(shù)θ的增加而減小，隨著網(wǎng)絡成本的增加，網(wǎng)絡抗毀性逐漸增強，直到達到最大值；但θ的提升會使到達抗毀性最大的時刻推遲。

4）隨著容量系數(shù)α、β的增大，網(wǎng)絡整體成本不斷增加，網(wǎng)絡的抗毀性也逐漸增強。當網(wǎng)絡節(jié)點失效比例降至最低時，繼續(xù)增加容量系數(shù)，對網(wǎng)絡抗毀性沒有影響。同時當網(wǎng)絡成本固定不變時，容量系數(shù)α的上升必然帶來β的下降，兩者呈現(xiàn)負相關的關系。

5）與傳統(tǒng)的負載容量模型相比，本文所提出的模型能夠在較低的網(wǎng)絡成本條件下，更快地降低網(wǎng)絡失效節(jié)點比例，使網(wǎng)絡應對級聯(lián)故障的能力到達最大，這說明了本文所提模型的優(yōu)勢。

本文模型雖為研究航空網(wǎng)絡級聯(lián)故障抗毀性提供了一定的思路和方法，但在研究過程中，對航空網(wǎng)絡和級聯(lián)故障模型還未考慮網(wǎng)絡的加權(quán)特性及失效節(jié)點的功能恢復問題，需要結(jié)合實際應用背景進行進一步的補充和完善。