基于張量分解的電阻抗三維成像方法

李秀艷，尉 蕾，王 琦，3，段曉杰，馬會梅，陸紀璇

（1.天津工業大學 電子與信息工程學院，天津 300387；2.天津工業大學 天津市光電檢測技術與系統重點實驗室，天津 300387；3.天津工業大學 生命科學學院，天津 300387）

電阻抗層析成像（EIT）是近年來發展起來的一種新興功能成像技術。EIT技術是通過對被測物場施加激勵電流，檢測物場邊界電壓信息變化，進而獲得被測物場內部阻抗信息分布的非侵入方法。EIT成像系統[1]由于其無輻射、高速、非侵入性的傳感能力，在生物醫學成像領域得到了迅速發展。根據不同介質具有不同阻抗的理論，可以通過同時測量邊界上的電壓或電流來恢復內部阻抗。EIT是一種極具潛力的醫學成像技術，但是在圖像重建過程中對圖像領域信息的充分利用仍然是一個挑戰。

根據人體肺部三維結構特點，EIT成像問題本身就是一個3D問題。而目前大多數EIT重建算法集中在二維成像，其橫截面切片只能顯示真實的三維物體的部分信息，所以限制了EIT的圖像重建效果。此外，由于電流的路徑遍布整個三維域，平面外電導率的變化通常會影響整個電極平面，并在重建的2D圖像中產生相當大的畸形，這些在2DEIT重建產生的問題都促進了3DEIT圖像重建的發展[2]。為此，研究者設計了多電極實驗模型，增加了縱向的測量，以達到三維成像的效果。王海剛等[3]提出通過獲取圖像的灰度值，構造小尺寸的等值面，使用圖像處理方式將等值面進行拼接，最后以三維形式顯示三維圖像的構造方法。趙進創等[4]提出將二維斷層的圖像進行重建，提取圖像輪廓特征，在此基礎上重建三維圖像。目前的三維重建方法一般首先對每個二維切片進行圖像處理[5]，之后羅列為三維圖像，沒有考慮每層圖像間的相關性，從而實驗數據所包含的空間信息沒有被充分利用。本文提出一種基于張量的電阻抗三維成像方法，該方法充分利用了圖像數據的多路性質，保留了圖像的3D結構。通過圖像的張量表示方法，能夠保留圖像的高階特征，可以避免圖像信息的損失。基于張量的圖像視為三維張量，其在時間、空間尺度上的展開矩陣分別表示圖像幀在時間序列上的強關聯，以及單幀圖像在空間尺度上像素間的弱關聯，可以有效地提高圖像的重建質量。同時TV算法[6]可以保持清晰的界面，有保護圖像邊緣的效果[7]，本文將其與基于張量的電阻抗三維成像方法進行對比實驗。

1 背景和相關工作

1.1 三維胸腔輪廓EIT正問題模型構建

為了獲得三維重建圖像的結果，設計了一種呼氣末的三維EIT模型的電極，在人體三維胸部模型周圍均勻布置5層電極陣列，每層電極陣列上有16個電極用于測量整個胸腔[8]，如圖1所示。

圖1 設置5個電極環的3D胸部模型Fig.1 3D thorax modelswith designed 5 electric ring

考慮到內存限制和速度要求，選擇相鄰環間的20個重構層，即5cm進行測量；有111層重建三維重建圖像，即重建層分離為0.25 cm。建立反問題三維網格如圖2所示。圖中感知域縱向劃分為111層，每層的分辨率為32×32。

圖2 用于反問題計算的體素網格Fig.2 Voxel mesh for inverseproblem calculation

1.2 EIT圖像重建基本原理

上述模型的構建屬于EIT正問題，那么EIT的逆問題[9]是EIT圖像的重建過程。倘若被測量的物場和空場的相對電導率對的變化較小，那么可以通過線性方程來求解逆問題：

式中：δU為邊界電壓的變化值；δσ是物場和空場之間的電導率變化向量；J為雅可比矩陣或靈敏度矩陣[10]。

為了從邊界電壓測量中估計電導率分布，常用方法是將其重新表述為Tikhonov正則化[11]問題：

為了幫助清晰的界面的結構，TV正則化[12]被納入EIT模型，產生：

式中：λ為超參數。

2 基于張量分解的EIT圖像重建

2.1 張量的基礎知識

張量的mode-n矩陣化是對張量進行降階，稱為張量的展開或者張量的平整化。張量I1×I2×…×IN的mode-n矩陣表示為矩陣

為了捕捉信號中的潛在模式和重要特征，并且移除原始數據的冗余成分，經常對張量進行Tucker分解[13]，Tucker分解可以看做是矩陣的奇異值分解的推廣。Tucker分解[14]是將一個N階張量分解為一個核心張量與因子矩陣A1，A2，…，AN的n-模乘積形式，即

式中：Ak∈RIk×Jk（k=1，…，N）是正交矩陣。

2.2 EIT張量模型構建

由于人體的胸腔本身就是三維結構，根據1.1節建立的三維胸腔輪廓模型，本文根據圖像的分辨率以及層數構建張量模型其中p×q為圖像的分辨率，m為圖像的總層數。由于像素數會隨著圖像輪廓形狀的變化而發生變化，所以肺部三維EIT圖像是不規則的，從而導致二維圖像也是不規則的。為此本文使用零填充的方法來獲取有效像素[15]。考慮到每張圖片的有效像素數為L，每張圖片的重建圖像的總像素數為n，總共m層圖片，定義2個分解算子分別為ΡEi∈RL×n和ΡLi∈Rn×m，ΡEi用來提取有效像素，ΡLi用來選擇對應的圖片層數，則圖片中的Δσi∈RL×m，表示為Δσi=ΡEiΡLiΔσ，圖3所示為一層EIT像素擴展原理圖。

圖3 EIT像素擴展原理Fig.3 Schematic of EIT pixel expansion

通過1.1節構建的胸部仿真模型獲得的仿真電壓數據，通過式（6）可以進一步估計電導率的變化Δσ∈RN×1。通過零填充方法，提取每層圖片的有效像素值，最終將電導率變化值Δσ擴展為32×32的矩陣，最后將111個擴展之后的數據，在z軸方向羅列，最后整合為三階張量32×32×111。

2.3 基于張量分解的EIT重建算法

在實際應用中，由于人體胸腔的三維結構以及電場的三維分布特性，EIT三維圖像在各圖層間具有一定空間相關性，因此2.2節中得到的EIT張量模型可進行線性-低秩近似，提取圖像三維空間相關特征，去除冗余信息。因此一個EIT信號可以寫為[16]：

本文利用張量的多路結構，通過將N階張量的每個模式乘以感知矩陣，來獲取壓縮測量集。根據公式（4）中對mode-n乘積的定義，將數據張量乘以在mode-n的感知矩陣。

其中Φn∈RRn×In是對應mode-n的感知矩陣[17]，論文中設置為單位矩陣。注意公式（8）是原始張量乘除moden以外的所有模式的感知矩陣。

結合公式（8）和（9）得到重建公式為：

式中：“+”代表矩陣的MP偽逆；Zn是壓縮多路測量集的mode-n展開（n=1，2，3）。

圖4 三階張量的展開示意圖Fig.4 Unfolding diagram of the 3rd-order tensor W

當τ→0時，W*τ→W+，“+”代表矩陣的MP偽逆，τ為截斷閾值。

對角矩陣S*τ∈RI2×I1定義如下：

因此重建公式修改為如下公式：

圖5為多線性一秩一（R1，R2，R3）三階張量的恢復。圖5說明了原始張量可以從多路測量集Z(n)和W中恢復。

圖5 多線性-秩-（R1，R2，R3）三階張量的恢復Fig.5 Restoration of 3rd-order tensor of multilinear-r and（R1，R2，R3）

本文中誤差?以及閾值τ由經驗確定誤差，其中?=8.5×10-20，τ=4.15×10-20。

基于張量的EIT圖像重建算法總結如下：

2.4 仿真實驗

為了評估新算法的性能，對模擬數據進行了實驗。運用第2.2節中Comsol建立基于人體結構先驗信息的胸部仿真模型，進行EIT正問題計算。仿真模型設置5個電極環，每個電極環均勻分布16個電極，用于測量整個胸腔區域[19]，其中肺部的電導率是0.1 S/m，胸腔電導率可看作脂肪電導率0.024 S/m。為了模擬實際測量系統中的典型噪聲水平，將高斯零均值隨機噪聲添加到模擬電壓中。噪聲幅度是模擬電壓幅度的0.5%。采用相鄰激勵相鄰測量方法[20]，每次激勵可測得13個電壓數據，共需進行16次電流激勵，因此共得到208個獨立電壓值用于重建一幅EIT圖像。所有的實驗都是在英特爾i5處理器的筆記本上使用Matlab軟件進行的。為了評價重建質量，使用峰值信噪比，定義為：

為了反映重建圖像和真實圖像在空間結構上的相似程度，采用結構相似度（SSIM）參數作為評價指標，定義為：

式中：μI、μK分別表示原圖像與重建圖像的均值分別表示原圖像與重建圖像的方差；σIK表示原圖像和重建圖像之間的協方差；C1、C2均為常數，通常取值非常小，目的是避免分母為零。

圖6 3種EIT三維重建結果Fig.6 EIT 3D reconstruction resultsusing three methods.

選取上述三維EIT重建結果對應的第49、53、61、77這4層進行二維圖像顯示，可以很明顯地發現，進行閾值截斷，即τ=4.15×10-20后的重建圖像能夠較為清楚地顯示邊緣信息，與真值圖的結構相似度最高，成像質量高。圖7所示為基于3種方法的3PEIT重建中的2D切片成像圖。

圖7 基于3種方法的3D EIT重建中典型的2D切片成像圖Fig.7 Typical 2D slicesfrom 3D EIT reconstruction resultsbased on threemethods

為了將本文所提出的三維重建方法和直接二維成像效果進行對比，進行直接二維成像實驗，將測量得到的電壓數據，通過TV的方法計算電導率值，通過零填充的方式提取有效像素，并將其擴展為大小為32×32的矩陣X，由于矩陣是張量的一種特殊形式，所以類似于三維張量重建方法，將公式（14）轉換為二維公式進行EIT圖像重建，其中感知矩陣是隨機生成的，最后選取相應位置的像素值進行圖像顯示。由1.1節得知人體胸腔模型在感知域縱向劃分為111層，所以需要對111個橫截面進行單獨處理。本文選擇了較為明顯的三層圖像進行顯示，如圖8所示。圖8中依次顯示了原圖、TV法、閾值τ=0和τ=τ0的EIT直接二維重建圖像，其中τ0依舊根據實驗經驗選取，即τ0=4.15×10-20。為了便于與上述三維張量重建結果做對比，本文將111張重建圖像的PSNR和SSIM進行了平均值計算，3種重建方法的PSNR平均值分別是29.6、9.8和173 dB，SSIM分別是0.656、0.432和0.783。通過實驗結果很明顯地發現，在二維直接成像中τ0=4.15×10-20的張量分解重建方法較好，但是由于沒有利用每層圖像間的關聯性，所以結構相似度顯然不如三維張量重建算法，重建圖像質量也相對較差。

圖8 基于3種方法的直接二維EIT重建圖像Fig.8 2D EIT reconstruction results by three methods

3 實驗結果

為了驗證基于張量的電阻抗圖像重建方法的可行性，采用TJPU-EIT系統進行胸形模體實驗，如圖9所示。

圖9 基于肺部模型的EIT實驗系統Fig.9 Experimental equipment for thoracic model imaging

根據第2.4節討論的有5個電極環仿真模型幾何尺寸，采用樹脂材料3D打印出清晰的胸腔模體以及白色肺部模體。呼氣末下胸腔邊界和肺的三維模型如圖10所示。模體填充導電性為0.32 S/m的鹽水溶液。在相鄰頻率50 kHz處注入5 mA電流，測量相鄰電壓數據。

圖10 胸腔以及肺部模型Fig.10 3D printed phantom of thorax

基于Tivkhonov正則化、TV法以及張量法重建圖像的實驗成像結果如圖11所示。

圖11 基于3DEIT實驗結果的圖像重建對比Fig.11 Comparison of reconstruction results based on 3D EIT

圖11中，計算了重建圖像的PSNR和SSIM參數，PSNR分別是12.39、19.39和189.1 dB，SSIM分別是0.607、0.721和0.835。TV法和Tivkhonov正則化重建法都是基于三維模型的橫截面進行單獨圖像重建，然后羅列為三維達到三維重建圖像的目的。基于橫截面的重建方式，忽略了人體胸腔三維結構的特點，平面化致使縱向信息相關聯的特性無法利用，最終導致成像效果較差。基于張量分解的三維重建方式是將EIT數據作為整體進行圖像重建，充分利用了圖像的縱向關聯性，所以基于張量分解的EIT圖像重建效果最佳。

為了證明基于張量分解的重建算法充分考慮了每層EIT數據層間的空間結構關系，成像質量明顯改善，選取111張EIT圖像中的第64、90張進行單獨顯示，如圖12所示。從實驗結果中可以發現，基于張量分解重建算法中每一層肺部成像的細節較為清晰，并且SSIM參數明顯提高，提高了空間信息的利用率，成像質量好。

圖12 基于3D EIT實驗重建結果的2D切片Fig.12 Typical 2D slices from 3D EIT experimental reconstruction results

4 結論

本文提出了一種基于張量的電阻抗三維成像方法，利用實驗中測得的數據建立張量模型，進行基于張量的三維電阻抗成像。

（1）圖像的張量表示可以保留圖像的固有結構，更好地利用層與層之間的結構信息，避免圖像信息的損失。

（2）解決了通常由于平面外電導率的變化會影響電極平面，并在產生的2D重建圖像中產生較大的偽影的問題。

（3）通過計算基于張量分解的三維重建算法與TV、Tikhonov以及二維張量重建算法的信噪比可知，基于張量分解的圖像重建質量最好，相比于基于二維張量的重建算法信噪比提高了13.8%。