基于四維超混沌系統(tǒng)的彩色圖像加密算法

方鵬飛，黃陸光，婁苗苗，蔣 昆，吳成茂

(1.空軍軍醫(yī)大學(xué)第一附屬醫(yī)院 信息科，陜西 西安 710032；2.西安理工大學(xué) 自動(dòng)化與信息工程學(xué)院， 陜西 西安 710048；3.西安郵電大學(xué) 電子工程學(xué)院，陜西 西安 710061)

0 引 言

混沌系統(tǒng)由于具有初值敏感性、隨機(jī)性等動(dòng)力學(xué)性能，被廣泛應(yīng)用于圖像加密算法中，常見的混沌圖像加密算法利用混沌初始值及控制參數(shù)迭代產(chǎn)生密鑰流，通過數(shù)學(xué)計(jì)算實(shí)現(xiàn)對(duì)明文圖像的置亂與擴(kuò)散，從而得到密文圖像。魏連鎖等[1]利用三維混沌系統(tǒng)生成密鑰流，并利用矩陣乘法對(duì)彩色圖像進(jìn)行置亂與擴(kuò)散操作實(shí)現(xiàn)彩色圖像加密的算法，提高了算法的復(fù)雜性，但算法中的混沌密鑰空間小，混沌性能較弱。嚴(yán)利民等[2]提出利用混沌映射產(chǎn)生密鑰流結(jié)合流密碼算法對(duì)圖像進(jìn)行加密，該算法密鑰空間大，抗攻擊性強(qiáng)，但由于流密碼算法屬于序列加密，因此算法加密效率低。楊耀森等[3]提出將混沌系統(tǒng)進(jìn)行仿射變換后，生成密鑰流，對(duì)明文圖像分塊后進(jìn)行像素置亂與擴(kuò)散運(yùn)算，該算法具有較大的密鑰空間和較好的安全性，但該算法的抗差分攻擊性能較弱。田嘉琪等[4]提出三維超混沌產(chǎn)生密鑰序列，對(duì)圖像進(jìn)行置亂和擴(kuò)散，該算法具有良好的安全性和敏感性，但該算法構(gòu)造復(fù)雜，加密效率低。秦智偉等[5]提出采用分?jǐn)?shù)階混沌對(duì)圖像進(jìn)行置亂運(yùn)算，實(shí)現(xiàn)圖像加密，該算法密鑰空間大，但該算法對(duì)圖像像素值進(jìn)行置亂運(yùn)算，因此算法安全性不高。

針對(duì)上述文獻(xiàn)中混沌性能弱，密鑰空間小，加密后的密文擴(kuò)散性差等缺陷，本文提出一種基于四維超混沌系統(tǒng)的彩色圖像加密算法，構(gòu)造了一種混沌性能更好的新型四維超混沌系統(tǒng)，并與反向傳播神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)相結(jié)合生成隨機(jī)性更好的融合隨機(jī)加密密鑰流，利用該密鑰流序列對(duì)彩色明文圖像塊進(jìn)行像素置亂與擴(kuò)散運(yùn)算得到最終的密文圖像，通過實(shí)驗(yàn)分析得到本文所提的加密算法具有良好的安全性能及應(yīng)用前景，同時(shí)為圖像加密與人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的結(jié)合提供了一種思路。

1 新四維超混沌系統(tǒng)

1.1 新四維超混沌

自1979年超混沌系統(tǒng)被提出后受到極大的關(guān)注和發(fā)展，超混沌系統(tǒng)具有比離散混沌系統(tǒng)更復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)特性，更多的參數(shù)值及范圍[6]，因此，超混沌系統(tǒng)在圖像信息安全、機(jī)器學(xué)習(xí)及大數(shù)據(jù)分析等方面具有重要研究意義。

經(jīng)典的Lorenz混沌系統(tǒng)如下所示

(1)

其中，當(dāng)a=10,b=28及c=8/3， 系統(tǒng)(1)進(jìn)入混沌狀態(tài)，結(jié)合已有的經(jīng)典Lorenz混沌系統(tǒng)等，本文提出一種新的四維超混沌系統(tǒng)，系統(tǒng)表達(dá)式如式(2)所示

(2)

其中，當(dāng)a=24,b=25,c=3及d=0.5時(shí)，系統(tǒng)(2)處于混沌狀態(tài)。假設(shè)系統(tǒng)(2)的初始值為 (1,1,1,1) 時(shí)，系統(tǒng)(2)的相圖如圖1所示。

圖1 新四維混沌系統(tǒng)相

1.2 新混沌系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)分析

為了驗(yàn)證所提出的系統(tǒng)(2)的混沌動(dòng)力學(xué)性能，對(duì)其進(jìn)行對(duì)稱性、耗散性、平衡點(diǎn)及穩(wěn)定性，Lyapunov指數(shù)和維數(shù)，混沌系統(tǒng)復(fù)雜度測(cè)試[7]，并與文獻(xiàn)[8-11]所提出的混沌系統(tǒng)進(jìn)行比較分析。

1.2.1 對(duì)稱性

系統(tǒng)(2)存在變換為S:(x,y,z,w)→(-x,-y,z,-w)， 因此在變換S的作用下，系統(tǒng)(2)具有不變性，系統(tǒng)(2)關(guān)于z軸對(duì)稱。

1.2.2 耗散性

1.2.3 平衡點(diǎn)及穩(wěn)定性

(3)

對(duì)于平衡點(diǎn)s1求得其特征根為λ1=-39.5601，λ2=14.5601，λ3=-3，λ4=1， 特征根不全為正或全為負(fù)，因此平衡點(diǎn)s1是不穩(wěn)定的鞍點(diǎn)，可以形成混沌吸引子渦圈。

1.2.4 Lyapunov指數(shù)及維數(shù)

Lyapunov指數(shù)是混沌動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)中的重要統(tǒng)計(jì)指標(biāo)之一，當(dāng)混沌系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)具有兩個(gè)或兩個(gè)以上正值時(shí)，判斷該系統(tǒng)為超混沌系統(tǒng)，結(jié)合以上分析，設(shè)新混沌系統(tǒng)(2)的初始值為 (1,1,1,1)， 迭代N次后的Lyapunov指數(shù)分別為：LE1=23.9678，LE2=0.9597，LE3=-2.9996，LE4=-48.9271，其中LE1=23.9678, LE2=0.9597為正數(shù)，所以系統(tǒng)(2)滿足超混沌系統(tǒng)的定義要求，具有超混沌動(dòng)力學(xué)性能，將系統(tǒng)(2)的超混沌系統(tǒng)與文獻(xiàn)[8-11]中的超混沌系統(tǒng)進(jìn)行Lyapunov指數(shù)及維數(shù)比較，見表1。

從表1可以看到，本文提出的新四維超混沌系統(tǒng)的兩個(gè)正Lyapunov指數(shù)遠(yuǎn)大于文獻(xiàn)[8-11]中所提到的超混沌系統(tǒng)，說明本文所提出的超混沌系統(tǒng)具有更加優(yōu)良的混沌特性。

1.2.5 混沌系統(tǒng)復(fù)雜度

為了更好測(cè)試混沌系統(tǒng)生成序列的復(fù)雜度、隨機(jī)性，本文使用近似熵分析混沌系統(tǒng)的復(fù)雜度和隨機(jī)性，它用來衡量時(shí)間序列的不可預(yù)測(cè)性及波動(dòng)性，近似熵值越大，說明序列復(fù)雜度越高，隨機(jī)性越好，因此本文對(duì)系統(tǒng)(2)在相同條件下生成的混沌序列，計(jì)算混沌系統(tǒng)的近似熵，并與文獻(xiàn)[8-11]進(jìn)行比較見表2。

通過表2結(jié)果看到，本文所提的出的超混沌的特性良好，近似熵指數(shù)均優(yōu)于文獻(xiàn)[8-11]所提的混沌系統(tǒng)，因此，本文提出的超混沌的生成混沌序列，具有更好的隨機(jī)性，適合用于加密算法中。

通過對(duì)系統(tǒng)(2)的混沌系統(tǒng)進(jìn)行對(duì)稱性、耗散性、平衡點(diǎn)和穩(wěn)定性以及Lyapunov指數(shù)維數(shù)測(cè)試，以及混沌序列復(fù)雜度測(cè)試可以看到，系統(tǒng)(2)具有良好的混沌動(dòng)力學(xué)性能及隨機(jī)性，因此本文提出的新四維超混沌系統(tǒng)所產(chǎn)生的混沌序列適應(yīng)密碼學(xué)的基本要求，適合圖像加密的安全要求，能夠應(yīng)用于保密通信技術(shù)中。

表1 Lyapunov指數(shù)及維數(shù)

表2 近似熵測(cè)試

2 反向傳播神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)與超混沌系統(tǒng)相結(jié)合的偽隨機(jī)序列生成

圖2 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)

表3 近似熵測(cè)試

從表3可以看到，新的四維超混沌與反向傳播神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)相結(jié)合，生成的序列的隨機(jī)性優(yōu)于超混沌直接生成的混沌序列值，說明反向傳播生成序列具有更好的隨機(jī)性、復(fù)雜性及安全性，適合信息安全加密的應(yīng)用需求。

3 加密算法

針對(duì)彩色圖像數(shù)據(jù)量大，同時(shí)三通道像素相關(guān)性強(qiáng)，而普通圖像加密算法與明文關(guān)聯(lián)度不夠，容易被攻擊者采用選擇明文攻擊進(jìn)行破解，同時(shí)密文圖像難以抵抗選擇差分攻擊等缺陷，本文提出一種基于圖像像素置亂-擴(kuò)散機(jī)制的彩色圖像加密算法，將待加密明文用于計(jì)算混沌初始值，并迭代混沌系統(tǒng)生成混沌序列，利用Logistic混沌生成權(quán)重值，經(jīng)過反向傳播神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)生成隨機(jī)序列，并進(jìn)行融合算法，作為加密的最終密鑰流，對(duì)明文圖像像素進(jìn)行置亂與擴(kuò)散運(yùn)算，得到最終的密文圖像，算法整體加解密流程如圖3所示。

圖3 加密流程

這里設(shè)明文彩色圖像三通道的尺寸均為:M×N， 三通道像素矩陣分別為RM×N，GM×N，BM×N，具體加密過程如下步驟所示：

步驟1 分別計(jì)算三通道圖像像素值求和，如下式所示

sumR=sum(RM×N)sumG=sum(GM×N)sumB=sum(BM×N)

(4)

其中，sum(·) 是求和運(yùn)算。

步驟2 為了增加明文與密鑰之間的相關(guān)性，提高加密算法的抗攻擊能力，本文利用明文圖像三通道的像素值來計(jì)算四維超混沌系統(tǒng)的初始值x(1),x(2),x(3),x(4)， 如下所示

x(1)=sumR/2564x(2)=sumG/2564x(3)=sumB/2564x(4)=(sumR+sumG+sumB)/2564

(5)

步驟3 將x(1),x(2),x(3),x(4) 初始值代入到上述構(gòu)造的新四維超混沌中，迭代生成混沌序列 {sez1},{sez2},{sez3},{sez4}， 同時(shí)將生成的混沌序列作為輸入值送入三層反向傳播神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，同時(shí)利用Logistic 混沌映射，初始值設(shè)置為0.1，混沌控制參數(shù)a=3.56，將Logistic 混沌迭代200次，生成的混沌序列作為反向傳播神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的權(quán)值，對(duì)模型訓(xùn)練200次，生成新的隨機(jī)序列值 {sey1},{sey2},{sey3},{sey4}， 并進(jìn)行融合運(yùn)算得到最終的融合隨機(jī)序列密鑰流 {y′1},{y′2},{y′3},{y′4}， 將融合序列升序排序，具體過程如下所示

(6)

其中，mod(·) 是取模運(yùn)算，floor(·) 是取整運(yùn)算，abs(·) 是取絕對(duì)值運(yùn)算以及sort(·) 是排序運(yùn)算。

(7)

步驟5 將置亂后的像素矩陣R′,G′及B′與混沌融合序列 {y′1},{y′2},{y′3},{y′4} 進(jìn)行擴(kuò)散運(yùn)算，得到最終的密文，如下式所示

(8)

其中，G′0=mod((y′11+y′22),256)，B′0=mod((y′22+y′33),256)，R′0=mod((y′33+y′44),256)。

步驟6 將CR，CG，CB三通道合并得到最后的密文圖像C， 加密完畢。

解密過程：本文解密過程是加密過程的逆過程，解密仍然使用加密密鑰并生成解密密鑰流用于解密，具體的解密步驟如下：

步驟1 仍然按照上述加密過程，獲取解密密鑰 {y′1},{y′2},{y′3},{y′4} 及置亂矩陣R′，G′及B′。

步驟2 按照擴(kuò)散運(yùn)算的逆過程，對(duì)密文圖像進(jìn)行逆擴(kuò)散操作，得到置亂的三通道像素矩陣PCR，PCG及PCB

(9)

步驟3 將PCR,PCG及PCB按照像素位置，進(jìn)行逆置亂操作，得到最終三通道明文矩陣：PR，PG，PB。

步驟4 將PR，PG，PB三通道合并得到最后明文圖像P， 解密完畢。

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

本文采用尺寸均為256×256的Lena、遙感圖像、人物圖像按照上述加密算法對(duì)明文彩色圖像進(jìn)行加密，實(shí)驗(yàn)平臺(tái)為CPU:Intel Pentium G2030，內(nèi)存為4 GB，操作系統(tǒng)為windows 7，編程環(huán)境為2018 matlab，加密后的實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖4所示。

圖4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

通過圖4可以看到，利用本文提出的加密算法對(duì)明文圖像加密后得到的密文圖像可以看到，原明文圖像中的信息被完全打亂，無法從密文圖像中獲取到明文信息。

5 加密算法安全性能分析

5.1 直方圖分析

圖像的像素分布常用直方圖描述，圖像直方圖是指圖像中包含某個(gè)灰度級(jí)的像素的數(shù)目，具有高安全性的圖像加密算法的密文圖像直方圖應(yīng)均勻分布，并且與明文圖像直方圖分布具有很大差異，利用本文所提加密算法對(duì)Lena彩色圖像三通道進(jìn)行加密，得到的密文圖像直方圖如圖5所示。

圖5 明文圖像及密文圖像直方圖

從圖5所示的直方圖可以看到，本文所提加密算法得到的密文圖像的直方圖分布均勻，因此說明本文所提加密算法能夠抵抗窮舉攻擊。

5.2 密鑰空間大小

為了保證加密算法的安全性，密鑰空間必須足夠大，才能夠抵御窮舉攻擊。密鑰空間必須大于2100才能保證加密算法的安全。本文中構(gòu)造的加密算法密鑰空間大小為：x(1),x(2),x(3),x(4),a,b,c,d， 算法計(jì)算精度為10-14，密鑰空間可達(dá)到1014×1014×1014×1014×1014×1014×1014×1014≈2373?2100， 因此說明本加密算法具有足夠大的密鑰空間，能夠抵抗窮舉攻擊。

5.3 信息熵

信息熵是衡量信源隨機(jī)性的重要參數(shù)，信息熵越大，密文圖像安全性越好[14]，其計(jì)算公式為

(10)

其中，P(i)是信息源的第i個(gè)符號(hào)的概率，理想的圖像信息熵應(yīng)該等于8，這里選取Lena圖像作為明文圖像運(yùn)用本文提出的算法進(jìn)行加密得到密文圖像，與文獻(xiàn)[15,16]所提加密算法所得的密文圖像進(jìn)行比較，見表4。

從表4可以看到，本文提出加密算法得的密文圖像三通道的信息熵都接近于理論值8，優(yōu)于文獻(xiàn)[14,15]加密算法所得的密文圖像的信息熵，因此可以得出本文提出的加密算法具有良好的安全性。

5.4 相鄰像素相關(guān)性

圖像相鄰像素之間的相關(guān)性大小，能夠衡量加密算法

表4 信息熵

的安全性，加密后的密文圖像相鄰像素相關(guān)性應(yīng)該越小越好。為了分析明文圖像與密文圖像相鄰像素之間相關(guān)性，本文隨機(jī)從明文與密文圖像的水平、垂直及對(duì)角線任意選取2000對(duì)圖像像素，進(jìn)行相鄰像素相關(guān)性測(cè)試，具體測(cè)試定義如下

(11)

其中，n是像素點(diǎn)的個(gè)數(shù)；E(x),E(y)分別為x,y的期望， cov(x,y) 是協(xié)方差，r是相關(guān)系數(shù)，加密效果越好，相鄰像素相關(guān)性值越低，本文利用構(gòu)造的加密算法與文獻(xiàn)[15,16]所提出的加密算法，分別對(duì)Lena圖像進(jìn)行加密得到密文圖像，同時(shí)對(duì)密文圖像紅色通道相鄰像素相關(guān)性進(jìn)行比較。通過本文所得的Lena明文及密文圖像紅色通道相鄰像素相關(guān)性如圖6所示，同時(shí)對(duì)彩色圖像的紅色通道進(jìn)行相鄰像素相關(guān)性數(shù)值對(duì)比見表5。

從圖6及表5可以看到，本文構(gòu)造的加密算法得到的密文圖像在水平、垂直、對(duì)角線3個(gè)方向的相鄰像素相關(guān)性數(shù)值總體上優(yōu)于文獻(xiàn)[15,16]所提出的加密算法，因此，本文構(gòu)造的加密算法具有良好的安全性。

圖6 相鄰像素相關(guān)性

表5 相鄰像素相關(guān)性

5.5 密鑰敏感性

安全性好的加密算法應(yīng)對(duì)密鑰的細(xì)微變換有足夠的敏感性，即密鑰的值發(fā)生微調(diào)，也無法正確還原出原始明文圖像信息，本文選擇Lena圖像，如圖7所示，用原密鑰對(duì)Lena密文圖像進(jìn)行解密，得到正確的明文圖像如圖7(a)所示，圖7(b)是將四維超混沌初始值進(jìn)行了微調(diào)后得到混沌密鑰用于解密圖像，通過觀察可以看到，當(dāng)四維超混沌的初始值微調(diào)后，得到的混沌密鑰用于解密的圖像與原明文圖像完全不同，因此說明該算法具有良好的密鑰敏感性。

圖7 密鑰敏感性測(cè)試

5.6 抗差分攻擊能力分析

對(duì)運(yùn)用加密算法加密后的圖像即密文圖像，采用像素變化率(number of pixels change rate，NPCR)及歸一化像素值平均改變強(qiáng)度(unified average changing intensity，UACI)來衡量加密算法的抗攻擊性能及抗差分攻擊能力[16]。假設(shè)明文圖像其加密圖像為C1， 尺寸為M×N, 如果微調(diào)修改同一明文圖像中某一個(gè)像素點(diǎn)的灰度值，但仍按同一加密算法對(duì)圖像進(jìn)行加密，得到的加密結(jié)果為C2， NPCR與UACI的具體計(jì)算如下式，NPCR理想值接近99.6094%，UACI理想值接近33.4635%

其中

(12)

加密后的密文圖像NPCR和UACI值越大，說明該加密算法的抗差分攻擊能力越強(qiáng)，安全性能越好。在本文中選擇Lena明文圖像加密后獲取的密文圖像為C1， 將Lena明文圖像中紅色通道第180行，第180列像素值為135，微調(diào)為134后進(jìn)行加密獲取的密文圖像為C2， 同時(shí)與文獻(xiàn)[15,16]的加密算法進(jìn)行比較，結(jié)果見表6～表7。

表6 圖像像素值變化率/%

表7 圖像歸一化像素值平均改變強(qiáng)度/%

從表6～表7可以看到，與文獻(xiàn)[15,16]相比較，本文所提算法的值均接近理想值，因此本文的加密算法具有更好的安全性。同時(shí)為了更好驗(yàn)證本文所提加密算法的抗差分攻擊能力，選取了三通道的全白和全黑圖像，按照本文所提加密算法進(jìn)行加密，其加密結(jié)果及直方圖如圖8所示。

圖8 全白全黑圖像加密結(jié)果

從圖8中可以，本文所提加密算法能夠?qū)崿F(xiàn)對(duì)全白及全黑圖像加密，因此更加說明所提加密算法能夠抵抗差分攻擊。

6 結(jié)束語(yǔ)

本文結(jié)合經(jīng)典的超混沌系統(tǒng)，構(gòu)造了一種密鑰空間更大，混沌動(dòng)力學(xué)性能更好的四維超混沌系統(tǒng)，并用其產(chǎn)生混沌序列，與反向傳播神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)相結(jié)合，進(jìn)行序列融合運(yùn)算生成復(fù)雜度更高的融合隨機(jī)序列作為加密密鑰流，同時(shí)將彩色明文圖像計(jì)算得到混沌初始值，增強(qiáng)了明文與加密算法的關(guān)聯(lián)性，提高了算法抗擊選擇明文攻擊能力，對(duì)彩色明文圖像采用置亂-擴(kuò)散機(jī)制，對(duì)圖像像素值進(jìn)行加密，降低了彩色圖像三通道相鄰像素的相關(guān)性，增強(qiáng)了加密算法抗差分攻擊能力，使得所提出的加密算法具有良好的安全性，能夠適應(yīng)保密通信等領(lǐng)域的應(yīng)用要求。