經驗需要親身積累
——以蘇教版數學教材五年級下冊《因數與倍數》教學為例

江蘇高郵實驗小學（225600）胡 琦

數學活動經驗是指學生在參與數學活動時，不斷積累起來的對知識結論的感性認知，以及在實踐中體驗到的學習樂趣，還有在吸收知識后產生的經驗認同和應用意識。數學活動經驗對于學生探究數學規律，領悟和歸納數學思想方法，形成科學的數學思維方式有重要的作用與意義。基本的數學活動經驗是學生在數學學習道路上必須具備的素養，也是學生學好數學必需的學科素質，能為學生的長遠發展奠定基礎。在小學數學教學中，如何有效引導學生積累數學活動經驗，這是一個難題，成為不少教師孜孜以求的目標。

下面，筆者結合蘇教版小學數學教材五年級下冊《因數與倍數》的教學，談談自己的一些看法，以期與同行共同探討。

一、制造認知沖突，激活已有經驗

數學活動經驗具有隱蔽性，沒有具體的章程和條文，但是它又確實存在，而且會潛移默化地影響個人的行為方式。根據自身已有的知識經驗，從實際問題中抽象出數學模型，然后遷移運用所學的數學知識，利用數學模型來分析實際問題，能對解決實際問題起到促進作用。因此，在數學教學中，教師應立足學生的已有經驗，創設恰當的問題情境，通過問題激活學生的已有經驗，讓學生沿著規劃的路線不斷深入探究，并基于自己的認知能力和思維方式開展有效的學習活動。

例如，教學《因數與倍數》一課時，課始，教師通過技能競賽活動，引發認知沖突，激發學生的探究興趣，引導學生在操作探究中感知倍數、因數的概念，為后續學習做好經驗和心理上的準備。

1.拼圖競賽

師：我們現在舉行拼圖競賽，將小方塊拼擺成大長方形。游戲規則如下：一是不許有剩余的小方塊；二是用數學算式簡略地表示出拼圖方案；三是通過平移或旋轉，圖形變換后能夠重合的屬于一種拼法，不重復計算；四是哪個小組拼擺出大長方形的數量多，哪個小組就勝出。（教師提供12個和14個兩種數量的小方塊給學生選擇。學生產生兩種意見：一種覺得選擇數量多的小方塊有利，一種覺得選擇數量少的小方塊比較好）

師：請各個小組按照自己小組商議的結果上臺領取小方塊，然后在小組內合作探究，嘗試拼圖并寫出算式。（學生分組開始動手操作）

2.展示交流

組1：我們小組選擇的是12個小方塊，一共拼擺出3種不同的大長方形，用算式表示是1×12、3×4、2×6。

組2：我們小組選擇的是14個小方塊，一共拼擺出2個不同的大長方形，用算式表示是1×14、2×7。

師：比一比，哪個小組拼擺出的大長方形多？（選12個小方塊的小組取勝）這個結果對你有什么啟發？

生1：小方塊數量多，拼擺出的大長方形不一定多；反之，小方塊數量少，卻能拼擺出較多的大長方形。

師：這究竟是什么緣故？

生2：對12和14分解質因數后發現，12的因數較多，有6個，而14的因數則相對較少，只有4個，這應該是拼法少的根本原因。

生3：因數少，所以能夠拼擺出的大長方形就少。

師：12的因數都有哪些？請列舉出一個來。

生4：3，3就是12的其中一個因數。

師：正確。3是12的因數，因為12是3的整倍數，這種關系是相對的。因此，也可以反過來說，12是3的倍數，因數和倍數之間是相互依存的。

師：這就是今天我們要研究的因數、倍數的知識。（板書課題：倍數 因數）

……

二、暴露問題，讓經驗得以再生

積累數學活動經驗需要以具體活動為載體，否則就會成為無源之水、無本之木。由于學生的知識儲備、思維方式等方面存在個體差異，所以即使經歷相同的學習活動，不同個體獲得的經驗也是不同的，但是基本的數學活動經驗不會變。

數學課堂中，教師應釋放足夠的探究空間，讓學生各抒己見、暢所欲言，盡情地表達自己的所思所想、所感所悟。尤其要充分暴露學生在探究過程中的認知態度、情感傾向及思維習慣等方面的問題，然后教師據此指引學生修正不成熟的經驗，幫助學生積累完整、全面、深刻的數學活動經驗。

1.認識倍數、因數

師：根據自創的算式，指出算式中的因數和倍數。（學生自由說）非常不錯，那12的因數有哪些？

生1：1，2，3，4，6，12。

師：交流一下，你們尋找因數的秘訣。

生2：可以根據乘法口訣，如（）×（）=12等，一對一對地尋找。

生3：還可以反其道而行之，利用除法算式來探尋因數，即12÷（）=（）等。

師：12÷5=2.4，這個除法算式是正確的，那能不能據此斷言12是5和2.4的倍數？如果不行，請說出理由。

生4：利用小方塊拼擺長方形時，每一行可以擺出5個，但照此擺出2.4列卻行不通，因為不能將小方塊切開。

師：這就意味著，找倍數、因數是有前提的。所謂的因數、倍數，一律默認為非0自然數。

師：那14的因數有哪些？

生5：1，2，7，14。

師：現在讓你們重新選擇，還是拼擺長方形數量多的小組取勝。為了確保獲勝，你打算怎么選擇小方塊的數量？

生6：誰的因數多，就選誰。

2.找一個數的因數

出示問題：請你找出36的所有因數。

（1）學生獨立完成作業

生7：36的因數有1、6、3、12、36，算式是1×36=36、6×6=36、3×12=36、12×3=36。

生8：我尋找到36的因數有1、36、6、6、4、9，用以下的除法算式尋找的：36÷1=36、36÷6=6、36÷4=9、36÷9=4。

師：分析比較以上兩位同學查找因數的方法，你有什么發現？

生9：這兩位同學的查找方法都有遺漏，而且有重復。

生10：算式3×12=36、12×3=36，其實代表同一對因數，36÷4=9和36÷9=4也是如此，它們可否合二為一？

生11：兩個因數6可否合二為一？

師：問題的焦點集中在不重復、不遺漏上，那如何才能做到不重復、不遺漏呢？怎樣才能盡可能地縮減尋找過程，最好不寫算式呢？

（2）交流展示

①先獨自思考，然后小組內討論

②全班展示交流

生12：查找36的所有因數時，依次去除各個能被整除的整數。

生13：從1開始不斷嘗試，每個算式可以同時找出兩個因數，一舉兩得。

生14：除到36的一半時，就可以終止嘗試。

師：你的言下之意，就是要有序查找。只有有序思考和查找，才能做到不重復、不遺漏。請同學們據此結論，把12、14、36的因數找全。

③學生先獨立嘗試，然后全班展示匯報

④總結特點

師：觀察12、14、36、24、23的因數，發現什么特別的沒有？

生15：都有1這個因數，每個數都有它本身這個最大因數。

師生（小結）：任何一個數，至少有1和它本身兩個因數，前者最小，后者最大。

3.查找倍數

（1）請嘗試找出6、8、5的倍數

（學生先嘗試尋找一個數的倍數，然后全班展示匯報）

師：你是如何查找的？觀察你查找的倍數，發現什么特點沒有？

生16：依次乘以1、2、3……各個自然數，這樣查找倍數就不會有遺漏了。

生17：我發現，任何數都有自身這個最小的倍數，最大的倍數不存在，可以無限大。

生18：一個數存在無數個倍數，倍數可以無限大。

（2）試一試（練習反饋略）

……

三、訓練反思，凝練整體性經驗

“聚沙成塔，集腋成裘”，這是古人在勸學方面的經典話語，也揭示了要注重發展學生的整體性學習經驗。因此，數學課堂中，教師要重視引導學生回顧、反思學習過程，實現去粗存精的目標，讓有效的經驗、可靠的方法、正確的數學思想方法得到較好地保留下來，并與學生自身已有的經驗進行融合，從而讓經驗不斷得到拓展、積累，逐漸形成整體性的學習經驗，成為學生終身學習的財富。

師：屏幕上的光頭強也在做著倍數和因數的練習，有沒有興趣同他比一比、賽一賽？（學生較為興奮，積極地投入到練習之中）

生1：光頭強真笨！20的因數不是很容易找到嗎？從1開始找，1乘20等于20，就找到2個因數了；接著，從2繼續找下去……所以，20的因數有1、2、4、5、10、20，一共有6個因數。

生2：光頭強也找出來了，不過好像有點問題。他說，20是倍數，1、2、4、5、10、20是因數。

生3：這樣說是有問題的，因為倍數和因數是相互依存的關系，不能單一地說倍數和因數。應該說，1、2、4、5、10、20都是20的因數，20是1、2、4、5、10、20的倍數。

生4：“20是20的倍數，20是20的因數”，這個說法還真的需要注意，有點兒別扭。

生5：還有個問題。一個自然數的最小倍數是30，那它的最大因數是什么？

生6：一個自然數的最小倍數是30，說明這個自然數是30，那么它的最大因數是它本身，也是30。

生7：看來，不能只憑感覺解決問題。

……

實踐表明，要幫助學生積累數學活動經驗，就得為他們搭建一個個親身體驗的學習平臺，讓他們在親歷中思考、在探究中反思、在反思中提煉經驗。審視上述教學，從中能夠看出，經驗需學生親身經歷后積累，這樣沉積下來的經驗才會融入相關的學習經驗中，使經驗逐漸豐富起來。當然，教師在教學中還需要引導學生開展互動交流、思考辨析等活動，這樣他們積累的經驗才會成為深入學習、深入探究的資本。

四、整體反思，形成高層次經驗

學生進行數學學習，除了習得知識和技能，還有長期形成的思維模式，這才是積累數學活動經驗的要訣。那么，如何才能做到讓活動經驗促進思維模式形成，使之沉淀為一種本能經驗呢？這就需要引導學生對獲得的經驗進行修正、加工、提煉，讓學生的初始經驗不斷得到成熟、豐盈，形成高層次的拓展性經驗。

為此，在本節課上，教師不斷引導學生對獲得的經驗進行修訂、提煉。

師：學習這節課后，你們有什么收獲？

生1：明確了倍數、因數的概念，學會如何尋找因數、倍數，了解了因數、倍數的特征。

師：這些知識是如何獲得的？

生2：我們先嘗試探究，發現問題，然后按圖索驥，探究倍數和因數的所有知識。

生3：開始查找因數時容易遺漏，后來學會了有序思考，這樣才能做到不重復、不遺漏。

生4：我們是在發現問題后，才慢慢探究出這些知識的。

……

上述教學，教師先組織學生通過實踐驗證發現與預測的結果不同，激發了學生的探究欲望，把倍數、因數與乘除法聯系起來進行探究，為后續教學打下了基礎；然后讓學生探究尋找倍數、因數的方法，通過觀察對比，深入探究因數、倍數的特征。在此過程中，學生的原有經驗不斷得到發展，實現了數學經驗的積累。這樣教學充分激活了學生的已有經驗，并使已有經驗不斷得到再生。只有這樣，學生獲得的經驗才能逐步得到積累和豐富。

總之，任何知識的學習，都必須以原始經驗為依托，然后在進一步的學習中豐富與完善經驗，在不斷深入探究中發展經驗，逐漸沉淀成一種思維模式，形成一種數學觀念。因此，在小學數學教學中，教師需要制造認知沖突，激活學生的已有經驗，讓經驗得到再生，再通過反思，幫助學生形成高層次經驗，使學生的數學學習朝著理想的目標前行。