淺談對高三學生數(shù)學思維品質(zhì)的培養(yǎng)

文 /王建軍

引 言

高三學生不同程度地存在重資料輕課本、重考法輕學法、重巧法輕通法、重知識輕能力的現(xiàn)象，往往忽視對基礎(chǔ)知識、基本技能的掌握和運用，因而造成了自身分析問題和解決問題能力的相對薄弱，備考心理素質(zhì)較差，考試成績不理想等情況。針對上述情況，高三數(shù)學教師在復習教學中除了要繼續(xù)抓緊抓好課本的使用和對《全日制普通高級中學數(shù)學教學大綱（試驗修訂版）》（以下簡稱《教學大綱》）的研究，把握正確的復習方向和迎考策略，努力夯實學生的基礎(chǔ)外，還應加強和提高學生在教學活動中的參與意識與思維品質(zhì)。

筆者在多年的高三教學實踐中始終堅持“重三基，織網(wǎng)絡(luò)，抓訓練，提能力”，把培養(yǎng)和提高學生的參與意識和思維品質(zhì)放在重要位置。在課堂教學中，筆者努力體現(xiàn)以教師為主導、學生為主體、訓練為主線的指導方針，本著“精、活、透、準、新”的原則，全方位、高層次優(yōu)化課堂教學結(jié)構(gòu)，并加大對學法指導的力度，取得了較好的教學效果。下面僅就高三數(shù)學教學中如何培養(yǎng)和優(yōu)化學生的思維品質(zhì)談一下個人的體會。

一、引導學生掌握數(shù)形結(jié)合的基本方法，培養(yǎng)學生思維的靈活性和獨創(chuàng)性

數(shù)學是研究客觀世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系的科學，數(shù)是形的抽象概括，形是數(shù)的直觀表現(xiàn)[1]。數(shù)學問題的思考應從數(shù)與形的聯(lián)系入手，教師應充分重視并發(fā)揮學生的主體作用，最大限度地調(diào)動學生的參與意識，這樣的課堂教學才會張揚個性、激活思維，課堂上才會出現(xiàn)簡捷、高效的解題思路，學生的創(chuàng)造性思維品質(zhì)才能真正得到發(fā)展。

數(shù)形結(jié)合的方法主要有圖像法、坐標法、構(gòu)造法、綜合法等。數(shù)形結(jié)合的基本思路是以形助數(shù)、以數(shù)質(zhì)形、數(shù)形結(jié)合。數(shù)形結(jié)合的本質(zhì)是建模。

以形助數(shù)，就是已知某一數(shù)學問題的幾何圖形，尋求這一圖形所對應的代數(shù)表示。這一代數(shù)表示可能是方程，也可能是不等式。以形助數(shù)的應用，對學生的思維層次和知識水平要求不是很高，因此在教學中問題不是很大。

以數(shù)質(zhì)形，就是已知某一數(shù)學問題的代數(shù)特征，探尋在該代數(shù)特征下，原數(shù)學問題中所包含的幾何解釋及其轉(zhuǎn)化規(guī)律。這是教學的重點，也是難點，教師在教學中應花大力氣去研究、探討和總結(jié)，使學生真正能夠理解和感悟以數(shù)質(zhì)形這種轉(zhuǎn)化過程的本質(zhì)和規(guī)律，從而真正提高學生的思維水平。現(xiàn)舉兩例加以說明。

圖1

從以上兩例的求解過程可以看出，有些數(shù)學問題中的幾何背景并不是一眼就能從題設(shè)中看出的，教師在教學中要注意引導學生思維的分層遞進和相關(guān)知識的有機滲透，這樣才能找到問題的本質(zhì)，從而有效解決問題。同時，數(shù)到形的轉(zhuǎn)化要求學生具備敏銳的觀察力、豐富的聯(lián)想能力、靈活遷移知識的能力。教學中，教師要有計劃、有步驟、有重點地培養(yǎng)學生的這三種能力。

因此，在高三數(shù)學復習教學中，教師應多通過具體典型實例的講解與分析，使學生體會到自己的主體參與意識和大膽探究行為對獲取知識與解決實際問題的重要性，進而激發(fā)學生的求知欲，使他們形成強烈的數(shù)形結(jié)合意識，從而提高學習效率。

二、通過函數(shù)、方程、不等式知識的整合與方程思想

應用的訓練，培養(yǎng)學生思維的深刻性與廣闊性

函數(shù)是高中數(shù)學的一條主線，著名數(shù)學家克萊因曾說：“一般教育者在數(shù)學課上應該學會的重要事情是用變量和函數(shù)來思考。”這就告訴數(shù)學教師必須把函數(shù)思想滲透到教學的各個方面，更好地為解題教學服務(wù)。為此，在高三數(shù)學復習教學中，教師應帶領(lǐng)學生做到以下三點：第一，厘清函數(shù)、方程、不等式三者間的聯(lián)系；第二，明確函數(shù)與方程的關(guān)系；第三，學會用函數(shù)方法解決方程問題。通過第一點學生會明確認識到：函數(shù)是整體，不等式是部分，方程是個體，可以結(jié)合二次函數(shù)的圖像來認識。通過第二點和第三點學生明確認識以下內(nèi)容：函數(shù)和方程是兩個不同的概念，但它們之間有著密切的聯(lián)系，一個函數(shù)若有解析表達式，那么這個表達式就可以看成一個方程；一個二元方程，兩個變量間存在某種對應關(guān)系，如果這種對應關(guān)系又是函數(shù)關(guān)系，那么這個方程也可以看作一個函數(shù)。一個二元方程，它的兩端可以看成函數(shù)，方程的解就是這兩個函數(shù)圖像的交點的橫坐標。因此，許多有關(guān)方程的問題也可以用函數(shù)的方法解決；反之，許多函數(shù)的問題也可以通過方程的方法解決。所以，在高三數(shù)學復習教學中，教師要積極引導學生領(lǐng)悟蘊含在數(shù)學問題解題過程中的函數(shù)與方程思想，使學生真正獲得方法的積累和能力的提高。此外，教師還要重視課本，強化對單元題組的訓練，進而提高學生的思維能力。

例3：已知關(guān)于x的方程sin2x+acosx-2a=0有實數(shù)解，求實數(shù)a的取值范圍。

【分析一】（二次函數(shù)圖像法）將原方程化為二次函數(shù)，結(jié)合函數(shù)圖像來考慮。

將方程變形為cos2x-acosx+2a-1=0 ①

令t=cosx，則方程①變?yōu)?t2-at+2a-1=0

設(shè)f(t)=t2-at+2a-1，t∈[-1,1]

通過上述一題多解的求解分析可以看出，函數(shù)、方程、不等式是互相包容和有機滲透的，而方程思想在高中數(shù)學的各個分支都有廣泛的應用，因此在高三數(shù)學復習教學中，教師應充分引導學生理解和重視函數(shù)、方程、不等式三者間的依賴關(guān)系及相關(guān)轉(zhuǎn)化原理，深入挖掘和探討數(shù)學問題中各題設(shè)間的內(nèi)在聯(lián)系，并靈活運用方程思想去解決問題，這對學生思維品質(zhì)的發(fā)展是非常有益的。

三、啟迪學生想象思維，培養(yǎng)學生思維的多向性和創(chuàng)造性

思維的多向性是指思維的發(fā)散性和求異性，即善于從不同的方位、不同的層次去考慮問題，或從同一條件下得出多種不同的結(jié)論。創(chuàng)造性思維形成于發(fā)散思維后的收斂思維中，可見發(fā)散思維是創(chuàng)造性思維的核心。數(shù)學教學中對學生思維多向性的培養(yǎng)，一般的做法是以問題解決為核心，啟迪學生多層次觀察，多方面聯(lián)想，多角度探索，多途徑獲解。

關(guān)于它的證明，順向思維和逆向思維將產(chǎn)生以下作差法、作商法、分析法、反證法四種常規(guī)證明方法。

在學生明確了上述常規(guī)證明方法后，為了進一步拓寬學生的知識視野，強化數(shù)學思想方法，活躍不等式的證明思路，教師引導學生給出以下兩種非常規(guī)證明方法，也是非常有益的。

∴f(x1)＜f(x2)

∴f(x)在R+上是增函數(shù)，進而f(x)在當x≥0時，也是增函數(shù)

圖2

從例4的這兩種證法中可以看出，引導學生認識和活用基礎(chǔ)知識，善于類比聯(lián)想，注重轉(zhuǎn)化與化歸思想的滲透，是創(chuàng)造性、多向性解決數(shù)學問題的關(guān)鍵。

結(jié) 語

因此，在高三數(shù)學復習教學中，教師應幫助學生正確認識思維品質(zhì)的發(fā)展對學好高中數(shù)學的重要性，這樣學生才會在重視知識掌握的同時自覺主動地開展以思維創(chuàng)新、思維批判、思維發(fā)展等為內(nèi)容的學習活動。教師也應堅持不懈地進行以思維點撥、思維探究、思維升華等為目標的教學研究與實踐活動，使學生的思維品質(zhì)向著更深層次發(fā)展。