淺談中學數學教材習題配置的若干問題

文 /黃一川

引 言

加強解題訓練是數學教學的重要任務。在日常教學中我們不難發現，一本優秀的數學教材，不僅要有準確的定理和概念敘述，還應有用于檢測教學成果的習題。數學習題是數學教材中不可或缺的組成部分。毫不夸張地說，教師對課后習題的選擇直接關系到課堂教學質量。

一、配置數學教材習題問題的提出

數學是目前基礎教育學科中十分重要的學科之一，在新課程改革下的數學教學活動中，解題是衡量學生數學學習水平的最基本的檢驗方法。戴再平在《數學習題理論》中說道：“數學教育活動中，‘解題’是最基本的活動形式。無論是學生的數學概念的形成、數學命題的掌握、數學方法和技巧的獲得，還是學生智力的培養和發展，都必須通過‘解題’來實現。同時，‘解題’也是評價學生的知識發展水平的主要手段。”[1]在傳統教育觀念中，解題就意味著解答習題，而在當今AI賦能高質量精選習題的情況下，每年數學教材中的習題設置都在發生變化。

習題是中學數學課本的重要組成部分。習題配備得好不好，直接影響到學生學習質量的高低。許多優秀中學教師的教學質量之所以高，一部分原因是習題選擇和處理得恰當。教師在日常教學中不難發現，數學習題不僅僅是模擬性的習題，也有一些來自我們生產生活中的各種實際問題。學生在思考和解答這些問題時，也必然會促進自身數學思維能力的發展。

一本優秀的數學教材，不但要有準確的定理和概念，而且要配置高質量的課后習題。素質教育背景下，教師在日常教學中，不再一味地追求難題、偏題，而是立足教材本身，充分發揮教材習題的作用，進而提高課堂教學的效率與質量。數學習題的定義、功能、分類、選擇、配置方法、配置原則是如何相互聯系、相互影響的，決定著數學教材習題配置今后的發展方向。綜上所述，筆者結合日常教學中的反思，對中學數學教材習題配置問題進行了探討。

二、數學教材習題配置的特性

什么是數學習題？“習題”一詞在《現代漢語詞典（第7版）》中的解釋是：“教學上供練習用的題目。”詞典上的解釋已經很好地說明了習題的作用，也讓我們從側面認識到習題對日常教學的重要性。數學習題是考查學生邏輯推理、數學計算、數學說理能力的題目，數學習題包含在習題范圍內，因此習題所具有的特性它同樣具有。

（一）數學習題的分類

按照題目所考查的內容，數學習題可以分為封閉題、綜合題與發散題三種類型。封閉題是具有確定且唯一答案的習題，主要由選擇題、填空題等組成，這類習題的特點是答案固定不變，用來考查學生對某些固定的數學知識點的掌握情況。綜合題是考查知識比較全面的習題，如果一道習題涉及的知識點超出了某個單元或學科，那么這道習題就具有了綜合題的特點。發散題是答案不唯一或條件不充分的習題，一般沒有固定答案，可以讓學生自己拓展，去尋求不唯一的答案，這類題目最大的特點在于能幫助學生提高舉一反三的能力。

按功能數學習題分為課本例題、課后習題、模擬題、考試真題等。課本例題是對新知識定理、概念的實踐和示范，強調培養學生學以致用的能力。課后習題是對課堂所學知識的熟悉和鞏固。模擬題和考試真題用于檢驗學生數學學習水平，一般此類題目具有技巧性和典型性的特點，能篩選出不同水平的學生，同時讓數學教師發現學生存在的問題。

（二）數學習題的功能

1.學習定理

通過數學習題，學生能系統地掌握數學定理，并熟練地運用數學定理解題，從而形成數學思維，提煉解題方法。

2.發散智力

通過數學習題的訓練，學生的智力水平會得到提高，對數學基本知識和基本技能的運用能力會得到培養，同時學生的數學思維能力、解題能力也會得到提高。

3.評價成績

學業成績的檢查與評定是整個教學過程的有機組成部分。在現行教育體制下，學生的成績與規定時間內解題的數量和正確率息息相關，考評內容為基礎知識掌握、識圖水平、計算能力、說理表達等；而數學教學的考評主要側重于計算能力和說理表達。

三、數學教材習題配置的原則

數學教材習題不應盲目進行配置，應遵循如下原則。

（一）目標性原則

在編寫不同教學階段的教材過程中，編者需要按照新課程標準和新的考試標準來精選習題，所配置的數學習題要具有明確的目標，避免盲目性，避免在同一層面上機械地重復。只有這樣，才能達到預期的效果，起到鍛煉和提高學生解題能力和學習能力的作用。例如，“二次根式”是初中數學對學生數域擴容的一項重要教學內容，而對二次根式的化簡計算，學生應該都能記住下面的計算公式：

但是，在解決問題的過程中，學生對公式使用過程中符號的判定會出現些許問題。這就要求我們設置的習題更有目的性。比如，教師可以設置如下習題。

化簡并討論各題目中a、b的范圍。

上述幾個題目的難度是由淺入深的，這方面會在后面的循序漸進原則里再講，每個題目都是針對公式中符號判斷加以練習，從單個字母替換到整體思想的運用，目的在于提高學生在二次根式化簡計算過程中符號判斷的能力。

（二）指向性原則

教育教學需要因材施教，數學習題配置更要立足學生實際，具有指向性。習題配置應遵循精準分層，如果課后習題太簡單，全部學生都可以輕松解決，就無法體現學生的個體差異，無法讓部分學生獲得成就感；課后習題太難同樣也不可取，會使基礎較差的學生產生畏難情緒，而基礎較好的學生也容易忽視對基礎知識和基本技能技巧的掌握，所以，我們強調難易適當。

例如，在課堂上，教師可以設置下面這組題目：如圖1，正方形ABCD中，E為AB上一點，F是BC延長線上一點，且AE＝CF，M是EF的中點。則①∠EDB=∠EFB； ②CM垂直平分BD；③EB=CM； ④設AE＝x，AG＝y，AB=1，y關于x的函數解析式為其中正確的個數為（ ）。

圖1

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個

這道題目體現了指向性原則，它是多結論的證明，每個結論的證明都需要用到題干里相同的條件，學生要自己判斷調用哪個條件，但彼此之間又可以是遞進的證明，前面的結論可以被用作后面結論證明的條件，學生可以根據自己的能力從結論①開始不斷挑戰，直到完成全部證明。

（三）循序漸進原則

數學不同于其他學科，中學階段所學的數學知識就如“搭梯子”，前面的知識掌握不牢固，就好比底層的梯子沒搭牢，無法越爬越高，勢必會影響到后面知識的學習。因此，習題配置要始終把握循序漸進的原則，使知識點之間緊密聯系，串聯成線。例如，在教學“絕對值”時，教師可選用下列習題供學生練習。

①|2|-|-2|=___________

②若a=2.21，b=-4.79，則|a|+|b|=___________

③若|a|=7，則a=___________

④若a＜0，則|a|=__________

⑤絕對值小于5的非正整數是___________

⑥已知|a|=5，|b|=4，求a+b的值

以上6個題按知識產生的過程，難度由淺入深。前3題可以在教學過程中讓全部學生完成；第④⑤題可以只讓部分學生在前3題的基礎上完成；最后一題則是靈活度非常高的題目，可讓學生進行分類討論，讓完成全部前5題的學生完成。這樣循序漸進地提升習題難度，能讓學生對絕對值的理解達到一定的高度。

（四）可操作性原則

回顧近幾年的中高考數學試題，我們不難發現，與生活實際相關的數學真題呈逐年增長的趨勢。這類題目不僅符合教學課程標準的要求，還充分體現了可操作性原則。這類數學題把我們的日常生活和新聞焦點結合在一起，有一定的綜合性，有利于提高學生從生活中發現數學問題、解決數學問題的能力。因此，我們在數學教材習題配置中更應注重可操作性原則，將數學知識與日常生活聯系起來，在解題中培養學生的數學學習能力，激發學生的學習興趣、靈感、想象力。

例如，在教學“利用相似三角形測高”時，教師可設置實驗性操作習題：在學校操場上選擇合適的方法測量國旗桿的高度，并錄制成小視頻。

這樣的習題設置能打破多年沿用的數學習題形式，使數學課從講理論變成有趣的動手實操活動。這節課的內容本來就是學習3種利用三角形相似性測高的方法，學習之余配以這樣的習題讓學生走出教室，自己去獲得解題需要的數據，自己尋找解題方法，自己建立數學模型圖，能顯著提高學生的學習能力。

（五）發展性原則

根據因材施教的教學原則，對于知識理解能力較強的學生，教師應主動為其創造發揮才能的機會和條件，使他們的數學學習能力得到充分發展，這與素質教育的要求是完全一致的。例如，在教學“等腰三角形”相關知識時，教師可以設置如下問題：

等腰三角形兩腰上的高線相等嗎？角平分線呢？中線呢？

幾何圖形應按照定義、性質定理、判定方法的順序來學習，而幾何題目也意在讓學生用所學的定義、公理、定理來完成證明。上題在此基礎上給學生提供了發展空間，證明高線相等不僅可以應用三角形全等知識，還可以用面積相等來證明，這樣不僅用到了等腰三角形的性質，還發展了學生的思維能力。

四、數學教材習題配置的方法

中學數學教學內容不是孤立的客觀存在，其內容既有獨立性與特殊性，也有相互之間的關聯性與普遍性。數學教學內容是一個復雜連貫且有規則的體系,而數學習題的配置必須是在難度上由淺入深，符合知識規律的。在日常教學中，教師必須先以書本習題為基礎，由易到難，高質量地配置數學習題。一是由個性到共性，將數學知識同類型中個性與共性關系部分恰當結合，透過個性問題探索共性問題，通過對每道習題的分析，提煉同類型問題的解決方式，從而提升每道習題的思考價值；二是由一法到多法，充分結合教材所學內容，通過不同思維途徑，利用正向逆向、具體抽象等多種解題方法，用數學語言啟迪學生的發散性思維，讓學生在獲取知識的同時培養辯證思維能力；三是從一般到特殊，將數學解題中蘊含的發散思維發掘出來，可以設置一般方法難解、特殊方法易解的習題。

結 語

美國數學家克萊因曾說：“數學是一種理性的精神，使人類的思維得以運用到最完善的程度。”中學數學教學大綱也明確指出：“發展思維能力是培養能力的核心”“要重視學生在獲取和運用知識過程中發展思維能力”。在中學教材習題配置已經日趨完善的今天，我們在實際教學過程中仍會發現，教材習題作為數學教學中不可或缺的一部分，其配置還不能完全滿足不同學習水平的學生，還有值得商榷的地方。因此，持續研究教材習題配置問題，是每位一線教師不可忽視的責任。