基于Copula函數的沿海城市雨潮復合災害風險研究

許瀚卿，譚金凱，李夢雅，王 軍

（1.華東師范大學地理信息科學教育部重點實驗室，上海 200241；2.華東師范大學地理科學學院，上海 200241；3.華東師范大學上海城市公共安全研究中心，上海 200241；4.中山大學大氣科學學院，廣東珠海 519082）

引言

近年來，我國極端自然災害頻發，社會經濟影響嚴重，已成為制約社會經濟可持續發展的一個重要因素。沿海地區人口密集，經濟發達，是全球城市群主要分布地帶［1］。面對氣候變化帶來的極端海洋災害威脅，沿海地區必須提高現有規劃設計標準來應對日益加劇的災害風險［2］。沿海城市極有可能面臨暴雨、天文高潮位和風暴增水等多致災因子相互作用造成的復合洪澇災害威脅，其中短時強降水和風暴增水所帶來的組合風險往往會造成嚴重損失，非常值得研究關注［3，28］。準確、客觀、高效地評估多致災因子協同作用下的災害發生概率和風險，對有效防范極端災害風險具有重要意義。

國內外已有學者運用統計學和數值模擬方法開展了復合洪澇災害危險性研究，并提出復合洪澇災害應對策略和措施［3-7］。然而，在多數災害風險評估和城市規劃中，極端和多致災因子的復合危險性往往被忽略［8，9］。傳統的單致災因子識別和評估分析已較為成熟，但復合洪澇災害的發生是由多致災因子復合作用決定的，受多個并發或連續致災因子影響，從而大大增加了其不確定性［10，31］。王璐陽等［5］提出大氣-海洋-陸地相耦合的一體化風暴洪水淹沒模擬方法。宋城城等綜合考慮海平面上升、陸域和海域地形變化、海塘沉降等因素，構建了12種復合災害情景，利用MIKE21模擬復合洪澇災害對上海的影響［11，12］。多致災因子情景設計是準確開展復合洪澇災害危險性評估的重要基礎，開展強降水和風暴增水聯合概率研究，設計雨潮聯合分布函數，對于提升危險性模擬精度和應對措施的有效性、減少城市復合洪澇災害損失具有重要意義［3］。

近年來，Copula函數因其形式多樣和使用靈活而被廣泛應用到水文學、氣候學和洪水風險分析等方面，在極端事件的聯合概率分析中發揮了重要作用［13］。Copula函數不限制邊緣分布類型，容易擴展到多維，能夠靈活構造多維聯合分布，在風雨、雨潮、雨洪和洪潮遭遇分析中具有非常大的應用潛力［14，15］。范嘉煒等［16］基于Copula函數分析了潖江河大廟峽流域洪峰流量與洪水歷時的聯合頻率分布特征。黃錦林等［17］對降雨和潮位進行關聯性分析，發現適當提高設計標準能夠有效降低雨潮風險概率。陳立華等［18］以欽州市為例，利用Copula函數研究歷史臺風條件下風雨組合規律。陳浩等［19，20］定量評估了深圳河流域不同重現期下雨潮組合的風險率。許紅師等［21］發現以單變量作為設計依據會低估具有一定嚴重程度的臺風災害發生頻次，多致災因子聯合重現期的計算結果更加貼近實際。王一新等［22］采用Copula函數建立了太湖超汛限水位與臺風發生時間的聯合分布，構建了聯合概率模型，并量化了太湖超汛限水位變化規律。盡管已有許多研究利用Copula函數開展了多致災因子的聯合概率研究，但現有研究大多基于“季節”或“年度”時間尺度，多采用年極值構建聯合分布函數，缺乏在事件尺度量化復合洪澇災害風險的研究。

由于單致災因子和年極值聯合分布的設計方法會對雨潮設計標準存在高估或低估的情況［17，23］，因此，本文基于二元Copula函數，以上海市1979-2014（36a）實測降水和吳淞口風暴增水資料，篩選極值累積降水量和風暴增水，通過邊緣函數優選和Copula函數擬合優度檢驗，構建上海市年最大日降水量與風暴增水組合風險分析模型，定量評估不同聯合重現期下極端降水和風暴潮的遭遇風險概率，在此基礎上，計算上海市降水和風暴增水的工程設計值，這對研究區工程防范極端復合災害具有重要實踐意義。

1 數據與方法

1.1 研究區概況

上海地處長江入海口，且地勢低平，對海平面上升極為敏感（圖1）。海平面上升和地面沉降帶來的相對海平面上升會放大沿海洪澇災害風險［4］。此外，上海易受風暴潮及暴雨內澇侵襲，強降雨和外江高潮位直接影響著上海城區遭受洪澇災害的程度［24］。2013年“菲特”臺風期間發生了自1949年以來首次“風、暴、潮、洪”四碰頭事件，在“菲特”臺風和冷空氣共同影響下，上海和周邊地區普降暴雨和特大暴雨，上游洪水下泄量大，又正逢天文高潮位，在上海市造成了十分嚴重的洪澇災害。

1.2 數據

全球潮汐和浪涌再分析數據集（Global Tide and Surge Re?analysis，GTSR）是第一個基于水動力模型對風暴增水和極端海平面進行模擬的全球再分析產品，該數據集提供了基于1979-2014年期間的極端海平面的估計值［25，26］。日累積降水數據來源于中國氣象局，選取的時間為1979-2014年（36a）。降水觀測的時間序列通常比風暴增水數據的時間序列更長，更完整［29］。因此，風暴增水數據的可用性決定了兩套數據集重疊部分的長度。本研究中，徐家匯站1d（天）最大降水取年最大值代表上海市局地暴雨影響，吳淞口風暴增水取1d最大降水量當天和后3d中的最大值，代表風暴增水的影響。通過以上極值，構成上海市降水和風暴增水數據集，分別表征影響上海市的暴雨、風暴增水事件，從而進行雨潮復合災害的風險分析。

1.3 研究方法

1.3.1 二元Copula函數及邊緣分布函數

Sklar定理是Copula理論和應用的基礎［27］。Sklar提出，將一個聯合分布分解為n個邊緣分布和一個Cop?ula函數，Copula函數描述了這n個變量間的相關結構。由此可見，Copula函數實際上是一類將變量的邊緣分布函數和它們的聯合分布連接在一起的函數，也稱為聯結函數［30］，能夠根據實際情況準確計算多致災因子遭遇組合下的風險概率，被廣泛用于降水和水文事件聯合概率計算中。其中，極值分析中常用的二元Copula函數有Gumbel、Clayton和Frank Copula函數，其表達形式如表1所示。

1.3.2 統計檢驗

Copula函數模型的檢驗和評價包括邊緣分布模型檢驗和Copula函數的擬合優度評價。其中邊緣分布檢驗主要用于評價所選模型對變量的實際擬合效果，這是構建Copula函數的關鍵。Kolmogorov?Smirnov（K?S）檢驗是Copula函數參數估計中使用最為廣泛的方法之一，其主要用于估計變量的邊際分布參數。為了檢驗各分布函數擬合的有效性，可構造赤池信息準則（Akaike Information Criteria，AIC）和貝葉斯信息準則（Bayesian Information Criteria，BIC）統計量從而實現對Copula函數擬合優度的評估。其中，各檢驗的K?S，AIC和BIC的值越小，則表明擬合效果越好。

1.3.3 雨潮組合同現和聯合概率模型

風險率模型基于Copula函數，能夠定量直觀評估多致災因子大于特定閾值的分布概率，或單一致災因子大于特定閾值的分布概率［19］。本文基于上海市1979-2014（36a）年最大日降水量與吳淞口站相應風暴增水，計算同現重現期和聯合重現期的風險率，用于定量評估上海市雨潮遭遇復合災害風險。聯合概率指的是包含多個條件且所有條件同時成立的概率。邊緣概率是與聯合概率對應，即僅與單個隨機變量有關的概率。

根據Copula函數的定義，二維聯合分布的公式為：

同現重現期風險率為：

通過求解同現重現期風險率的倒數即得到“同現重現期”：

聯合重現期風險率為：

通過求解聯合重現期風險率的倒數即得到“聯合重現期”：

式（5）中，降水的邊緣分布函數為u，風暴增水的邊緣分布函數為v，降水和風暴增水的聯合分布Copula函數為C(u,v)。

1.3.4 雨潮組合設計值

風險率無法直接作為實際工程設防標準的參考值，現探討基于重現期的雨潮組合設計值。對于極端降水、風暴增水復合事件，在給定聯合重現期條件下，設計一系列的(x d,y d)組合使得P{x＞x d,x＞y d}最大化，從而得到最優的組合設計值，其計算如下：

式（6）中α為與(x d,y d)相對應的概率臨界面，即要求雨潮組合設計值(x d,y d)對應的邊緣概率(u d,v d)均在概率臨界面上。

2 結果分析與討論

2.1 雨潮聯合分布分析

2.1.1 最優邊緣分布選擇

本文采用Burr，GEV，Gamma，Weibull和Lognormal邊緣分布函數擬合上海市雨潮觀測數據。為了選取降水和風暴增水的最優邊緣分布，本研究進一步采用K?S、AIC和BIC準則分別對其進行擬合優度統計，計算結果見表2。圖2為上海市1979-2014（36a）最大日降水量與吳淞口風暴增水的邊緣分布函數對比。

圖2 降水和風暴增水邊緣分布函數Fig.2 Marginal distribution functions of precipitation and storm surge

圖2結果表明，Burr、Gamma、GEV和Lognormal分布對于降水具有較好的擬合效果，而Burr和GEV分布對于風暴增水具有較好的擬合效果。根據表2的降水擬合優度統計量來看，GEV分布的K?S統計量最小，Lognormal分布的AIC和BIC具有較好的擬合優度。因此，本文以GEV分布作為降水的邊緣分布函數。對于風暴增水而言，GEV和Burr在K?S統計量中是一致的，均為0.101 0，且GEV和Burr的AIC和BIC兩個優度檢驗相差不大，綜上考慮，本文選擇GEV分布作為的邊緣分布函數。

表2 降水和風暴增水擬合優度統計量Table 2 Goodness?of?fit statistics of precipitation and storm surge

根據上海市36a最大日降水量與相應風暴增水的最優邊緣分布函數，估算了單致災因子不同重現期下的降水量和風暴增水（圖3）。從圖3可以看出，降水的數據擬合情況較好，只有一次極端降水事件的擬合效果一般。對于風暴增水來說，部分風暴增水數據擬合效果一般，但總體能夠反映數據的邊緣分布情況。

圖3 降水與風暴增水理論重現期與經驗重現期Fig.3 Theoretical and empirical return periods of precipitation and stormsurge

上海市單致災因子在5、10、20、50和100a重現期下降水和風暴增水的估算值如表3所示。當重現期為10a時，降水量為149.32 mm，相應的風暴增水為0.90 m；當重現期為50a時，降水量為236.10 mm，相應的風暴增水為1.77 m；當重現期為100a時，降水量為287.57 mm，相應風暴增水為2.39 m。

表3 上海市不同重現期降水量及相應風暴增水Table 3 Precipitation in different return periods and corresponding storm surge in Shanghai

2.1.2 最優Copula函數選擇

在優選了降水量和風暴增水的最優邊緣分布函數后，本文分別采用Gumbel Copula、Clayton Copula和Frank Copula函數推求降水量和風暴增水的聯合分布。在推求出各個Copula函數的參數值后，將擬合后的聯合分布與經驗分布進行比較，從而計算出3組Copula函數的K?S檢驗、AIC準則和BIC。如表4所示，Gum?bel、Clayton和FrankCopula函數的τ相關系數分別為0.299 5、0.277 0、0.290 8，表明兩者呈現一定正相關。通過對比3組Copula函數的3項檢驗統計量，發現Frank Copula函數K?S檢驗統計量小于Gumbel和Clayton Copula函數，表明Frank Copula函數更能夠表達上海市雨潮災害事件聯合分布的典型特征（圖4）。當優選出最優Copula函數之后，就可以得出降水量和風暴增水的聯合分布函數。上海市雨潮遭遇最優聯合分布為Frank Copula，參數值θ為2.814 9，K?S、AIC和BIC分別為3.128 6、-126.420 7和-121.253 7。

表4 Copula函數參數及檢驗統計量Table 4 Copula function parameters and test statistics

圖4 降水與風暴增水聯合概率分布圖Fig.4 Joint probability distribution map of precipitation and storm surge

2.2 不同聯合重現期下雨潮組合的同現及聯合概率

最優邊緣分布函數能夠較好表征上海市最大日降水量與吳淞口風暴增水典型復合災害事件，其中降水量和風暴增水的邊緣分布均為GEV分布，其聯合分布函數為Frank Copula函數。在此基礎上，進一步計算上海市不同聯合重現期下降水和風暴增水同現概率。如表5所示，在5、10、20、50和100a雨潮聯合重現期下，雨潮遭遇的同現概率分別為0.078 0、0.023 5、0.001 1和0.000 3。

表5 不同重現期下降水和風暴增水同現概率Table 5 Co?occurrence probability of precipitation and storm surge in different return periods

如表6所示，在5、10、20、50和100a雨潮聯合重現期下，雨潮遭遇的聯合概率分別為：0.321 9、0.176 4、0.093 4、0.038 8和0.019 7。

表6 不同重現期下降水和風暴增水聯合概率Table 6 Joint probability of precipitation and storm surgein different return periods

雨潮主要表現為上海在遭遇臺風影響時，發生城市區域強降水，大風導致風暴增水。從表5和6可以看出，不同聯合重現期下的雨潮同現概率遠小于聯合概率。通過對比可以發現，在5、10、20、50和100a雨潮聯合重現期下，聯合概率是同現概率的4.12、7.51、14.21、34.27、67.72倍。通過對比可以發現，不通聯合重現期下的雨潮同現概率遠小于聯合概率。雖然同現概率小于聯合概率，但是沿海城市遭遇暴雨和高潮位時所造成的城市洪澇災害更為嚴重，經濟損失和人員傷亡更為巨大。因此，雨潮碰頭事件非常值得上海市防汛關注。

2.3 工程雨潮組合設計值

在實際的設防標準中，可根據雨潮重現期制定相應的設防標準參考。表7為在不同聯合重現期下強降水與風暴增水不同組合的設計值。可以看出，Gumbel函數在5a至100a的重現期下其對應的降水與風暴增水均小于Clayton函數與Frank函數，尤其是在50a與100a重現期下更明顯；總體上，Clayton函數與Frank函數對應的雨潮組合設計值相差不大，其中在50a重現期下，降水與風暴增水約為233 mm和2.7 m；在100a聯合重現期下，降水與風暴增水約為276 mm和3.5 m，說明了上海市沿海地區要預防百年一遇的強降水或風暴增水，須在考慮天文大潮的基礎上，設計構筑至少3.5 m的防汛墻。

表7 不同重現期下的雨潮組合工程設計值Table 7 Design values of combined rainfall and surge under different return periods

3 結論

在全球氣候變暖與人類活動的雙重影響下，沿海城市面臨短時強降水和下游風暴增水頂托的共同作用，極易引發局部的城市內澇或流域性的復合洪澇災害事件，進而造成巨大的社會經濟損失。本研究利用上海市36a最大日降水量與吳淞口風暴增水數據，優選邊緣分布函數，采用二元Copula函數，計算了上海地區降水和風暴增水的不同聯合重現期下的同現概率和聯合概率，并從工程角度，給出了不同聯合重現期下的設計降水量和風暴增水。此研究表明二元Copula函數能夠較為準確地計算出不同聯合重現期下的設計降水和風暴增水，為優化防汛工程的設計標準，設計科學復合洪澇災害情景提供了可能。根據分析結果，得到以下結論：

（1）基于K?S檢驗、AIC準則和BIC準則計算其檢驗統計量，分別用Gamma、Lognormal、GEV、Weibull和Burr分布對降水和風暴增水進行擬合，發現上海地區36a最大日降水量和吳淞口相應風暴增水均適合運用GEV分布來進行擬合。通過使用二元Copula函數構造了上海地區降水量和風暴增水的聯合分布，發現Frank Copula函數能夠較好地描述上海地區典型雨潮遭遇事件的聯合分布。

（2）基于最優邊緣分布函數GEV和Frank Copula聯合分布函數，定量評估了上海地區最大日降水量和風暴增水在不同聯合重現期下的同現概率和聯合概率，結果發現：上海地區在5、10、20、50和100a雨潮聯合重現期下，聯合概率是同現概率的4.12、7.51、14.21、34.27、67.72倍。

（3）傳統的單變量邊緣分布，會對降水和風暴增水存在高估或低估的情況。通過Copula函數選擇聯合重現期，能夠更加準確計算得到聯合重現期下的工程設計值。在100a聯合重現期下，降水與風暴增水約為276 mm和3.5 m，說明了上海市要預防百年一遇的雨潮復合洪澇災害，須在考慮天文大潮的基礎上，額外設計構筑至少3.5 m的防汛墻。

本文在重現期分析結果中，利用多種精度評價方法進行擬合，降低了邊緣分布和Copula函數擬合的誤差。但由于風暴增水數據來源于全球風暴潮模型模擬結果（即利用氣候模式驅動模型生成的逐日風暴增水數據），模式模擬數據和實際觀測還是存在一定誤差，可利用區域水動力模型進一步優化。