面向撲翼飛行控制的建模與奇異攝動分析

錢 辰 方勇純 李友朋

近年來,仿生機器人在機器人界得到越來越多的關注[1-4],而撲翼飛行正是仿生機器人研究中的焦點之一[5-7].對撲翼飛行原理的探索不僅具有深刻而廣泛的理論價值,更具有較高的工程應用價值.與此同時,由于撲翼飛行的高效性、靈活性和隱蔽性,其在地形探索、目標追蹤、軍事偵察、生態監測等領域均有廣闊應用前景.

由于撲翼飛行的形態學特性,彈性結構以及其特殊的往復運動模式,在撲動過程中,氣體的粘性力和慣性力的作用均不可忽視,進而造成了多種復雜的非定常氣動力學現象[1,8-10].具體而言,Ellington等在文獻[11-12]中詳細分析了由于前緣渦的存在,產生失速延時(可以不失速地大攻角平動)的現象,闡明了其在提升撲翼升力中所發揮的重要作用,并在實際實驗中對前緣渦的具體產生和演變過程進行了觀測與分析.Dickinson 等在文獻[13-14]中強調了翅翼旋轉產生的升力對昆蟲飛行的重要作用,并揭示了其在昆蟲機動飛行中所扮演的重要角色.Weis-Fogh[15]在研究麗蚜小蜂的撲翼飛行時發現了著名的拍合-剝離特性(Clap-and-fling),他認為在拍合過程中并沒有明顯的氣動力學影響,但是翅翼拍合保證了翅翼在剝離之前位置的確定性,并且指出在剝離過程中在左右翼之間出現繞翼環流,在完成剝離之后環流也隨即迅速演化成翅翼邊緣的穩定渦流,整個過程均提升了翅翼所產生的升力.Miller 等[16]和Percin 等[17]分別研究了翅翼彈性在拍合-剝離過程中的具體作用與影響,并指出拍合過程中向下的射流也有助于提升升力.Shyy 等和Chin 等分別在文獻[18]和文獻[19]中,對撲翼的非定常氣動力特性進行了系統總結,具體包括前緣渦效應、翼面快速旋轉、拍合-剝離、附加質量效應、尾跡捕捉等.

建立撲翼飛行的動力學模型需要對復雜的氣動力特性進行必要的簡化.而求解不可壓粘性流體運動對應的納維-斯托克斯方程非常困難,建立撲翼空氣動力學的準穩態模型,幾乎是解析分析撲翼系統動力學特性的唯一方式.根據不同的具體系統特性,以及模型具體的應用場景,可以建立不同的準穩態模型[14,19-23].所建立的準穩態撲翼動力學模型,既可以用于撲翼動力學系統特性的分析,也可以用于實際撲翼飛行器的設計與控制.Sun 等在文獻[24-26]中詳細分析了昆蟲軀干-翅翼的多剛體模型后,用“剛體假設”簡化了翅翼的運動從而獲得機體動力學模型,并進一步用撲翼周期平均的方法分析了系統的穩定性和能控性.他們還將系統在周期解附近線性化,利用Floquet 原理分析了系統周期解附近小擾動干擾下的穩定性.Taha 等在文獻[27]中強調了高階平均化理論在分析撲翼穩定性中的重要性,但是在系統簡化過程中他們直接用三角函數模擬了翅翼的運動學行為,忽略了翅翼周期運動的動力學特性.Cheng 等在文獻[28]中考慮了機體運動對翅翼運動學的影響,并利用氣動準穩態模型進一步建立了三維空間6 自由度剛體的模型,且分析了4 種昆蟲的被動穩定性.在實際的撲翼飛行器控制中,作用于機體的力與力矩通常和翅翼的運動學關聯,或者更直接地與決定翅翼運動的參數相關聯.通過把翅翼步態映射到周期平均力與力矩,并以6 自由度剛體運動模型作為系統模型,從而設計相應的控制器來完成針對不同環境 或任務的機體姿態、位置或速度的控制方法[29-32].其中需要特別指出,Ramezani等在文獻[33-34]中采用拉格朗日方法對仿蝙蝠撲翼飛行器進行多剛體建模,并指出撲翼系統的零動態難以確定,而采用反饋線性化的方法來設計控制器,并且分析了閉環系統位置環和姿態環的時標分離.

在這些撲翼系統建模和控制的方法中,極少考慮翅翼的動力學特性.這也就默認了翅翼系統周期運動的穩定性,且其具體運動特性不會被機體本身運動所干擾.但這種穩定性并不是系統固有的,所以這種單純從運動學角度考慮翅翼行為的方式,顯然是對系統的過度簡化,難以全面描述系統的具體動力學特性.因此,在撲翼系統動力學系統中,對翅翼動力學系統的周期穩定性分析是非常必要的.此外,撲翼動力學系統中往往包含著子系統之間的時標分離.并且,Orlowski 等在文獻[35]中指出,翅翼和機體之間的運動可能不處于同一時間尺度,但由于翅翼系統沒有確定的收斂點而可能只存在某個收斂軌跡,所以無法使用常規的針對臨界點的奇異攝動理論進行分析.

對于上述存在的問題,本文針對撲翼飛行周期性系統進行奇異攝動分析.具體而言,我們在給定周期進行頻閃采樣,利用這些采樣構建相應的離散系統,進而反映撲翼飛行的狀態變化.通過周期輸入和簡化模型共同確定撲翼周期的步態,并在一定程度上忽略實際周期內的具體行為.進而通過觀測構建的離散系統,綜合周期輸入和簡化模型確定的步態信息,共同估計撲翼飛行的周期狀態,并在這一基礎上使用奇異攝動理論對其穩定性進行了分析.本文主要貢獻可以概括為以下兩個方面:

1)建立盡可能簡潔的撲翼多剛體動力學模型,為撲翼飛行周期動力學的奇異攝動分析提供了基礎;

2)基于奇異攝動理論,提出了適用于實際撲翼飛行問題的系統周期穩定性分析方法.

本文其余部分組織如下:在第1 節中建立了撲翼多剛體模型,在第2 節中利用奇異攝動理論分析了撲翼飛行周期性系統的穩定性,在第3 節中利用實際實驗驗證了所提方法的有效性和可行性,最后在第4 節做出了總結.

1 撲翼飛行的多剛體模型

盡管撲翼飛行的種類多種多樣,其系統在某種程度上依舊可以視為在不可壓低粘性流體中運動的多剛體動力學模型.在準定常分析氣動力的前提下,進而可以方便地利用系統運動狀態計算出系統所受廣義氣動力,從而可以使用經典的 拉格朗日動力學建模方法進行處理[34,36-37].為了加以區別,如圖1 所示,我們將除軀干或者機體之外的剛體稱為連桿,進而將連接占主要質量和轉動慣量的軀干的連桿稱為初級連桿,將連接初級連桿的連桿稱為次級連桿,以此類推.

圖1 不同種類撲翼飛行多剛體模型中的坐標系建立Fig.1 The coordinate setup in the multi-rigid body dynamics of different flapping wing flights

通常而言,我們可以定義如下的廣義坐標

其中,qp∈R3為占主要質量和轉動慣量的軀干或者機體的三維位置,而qa∈S3為上述軀干或者機體的三維姿態,qA為連接上述軀干或者機體與初級連桿對應關節的廣義關節坐標,而qB為連接初級與次級連桿對應關節被動的廣義關節坐標,其具體維數由具體飛行器結構決定.整體動力學可以由拉格朗日方程所描述

圖2 翅翼兩級連桿系統中各剛體坐標系之間的旋轉平移示意圖Fig.2 The schematic for the rotations and the translations between different frames of a two-link wing

以下我們以兩層連桿構成的動力學系統為例進行分析,此系統的動能可以公式化地規范為

其中,T(q,L)∈R4×4表示由旋轉q∈S3和關節參數L∈R3決定的齊次矩陣,Di與Dj均表示旋轉中心到對應連桿質心的偏移量.對于四元數q=[η?T]T∈S3,其中η表示四元數標量部分,而?表示四元數矢量部分.操作符?具體含義表示為

其中,ML與MD表示利用矩陣和向量乘法代替四元數乘法的相應矩陣.且考慮到四元數表述姿態的特性,可知

這里角速度和慣量矩陣均需擴展為四維,并且 其中反對稱矩陣S(x) 表示為

與動能相似,同樣我們也可以規范化地表示出系統的勢能:

其中,Pg表示重力勢能,而Pe表示彈性勢能.另外,為了簡化問題,我們忽略撲翼運動對周圍空氣流場的影響,并將各剛體所受氣動廣義力分別獨立地在慣性坐標系下表出:

其 中,Faero,p,Faero,pi,Faero,pj∈R3,Faero,a,Faero,ai,Faero,aj∈R4分別表示準穩態意義下氣動廣義力中氣動力和氣動力矩對應的項.同時,為簡潔起見,這里并不列出氣動力具體形式.進一步,根據虛功原理可以得到廣義力為

對于占主要質量和轉動慣量的軀干的關節有

至此,我們便基本建立了撲翼飛行的多剛體動力學模型.

2 撲翼多剛體動力學的奇異攝動分析

本節主要研究由翅翼與軀干質量差異導致的奇異攝動現象.首先考慮展開后的次級關節動力學

其中,Ta是T(qa,La) 的簡寫,Ti(j)是T(qi(j),Li(j))的簡寫,而Tj是T(qj,Lj) 的簡寫.考慮到次級關節動力學速度與角速度的具體形式:

可知次級連桿動力學(11)雜糅了次級連桿的廣義關節坐標加速度項,對應的初級連桿的廣義關節坐標加速度項,和機體坐標角速度項和.與此同時,該動力學方程中也受初級關節和機體運動所產生的慣性項影響.由于翅翼質量的占比較少,可以設置mj=εmεj,Ij=εIεj,j ∈B,使得mεj和m1,Iεj和I1近似同量級,其中ε可以視為表示時間尺度的正值常數.這樣實際上在慢子系統中隔絕了慣性力和重力的影響,當設置ε=0 時,有

同樣基于翅翼質量占比較少,且同樣設置mi=εmεi,Ii=εIεi,i ∈A,當ε=0 時,有

基于同樣假設,考慮軀干動力學方程簡化模型

事實上,在軀干動力學層面的攝動問題并沒有奇異性,作為擾動的慣性項僅作為常規擾動出現.值得指出的是,Gp和Ga中的可以作為輸入給定的部分為初級連桿根部的關節力矩,而非作用于翅翼的氣動力.顯然,由簡化模型(18),(20)～ (22)可以共同構成撲翼飛行的動力學簡化模型,也就是慢子系統.在給定穩定外部環境時,假設可以在去除qp的廣義關節的狀態空間(包括其廣義關節速度項,且包括) 依此動力學模型找到對應某閉合解對應的廣義輸入,此閉合解可能是閉合軌線或者臨界點.直觀而言,閉合軌線對應著周期穩定的撲翼飛行,而臨界點對應著穩定的滑翔飛行.這里著重考慮閉合軌線的情況,并在相空間將此軌線描述為γ.沿此軌線我們首先描述次級連桿的邊界層動力學:

其中,下標?⊥γ表示?此量相對于確定閉合軌線γ動力學之外的部分,廣義力Gεj=Gj⊥γ則表示廣義控制輸入的高頻分量,和其他邊界層系統的復雜耗散力之和.顯然,對于初級連桿和軀干也可以獲得其相對應的邊界層動力學,其通過線性運算可以進一步獲得各廣義坐標的動力學.

因為飛行器多剛體結構的復雜性、彈性勢能場的復雜性、以及各種復雜耗散力的綜合作用,探討上述邊界層系統的具體動力學特性極其復雜,需要對問題進行抽象簡化.具體而言,簡化系統和邊界層系統為

其中,是對應于γ的標稱廣義坐標狀態光滑周期解,而是真實廣義坐標狀態qs和軌線γ之間在廣義坐標狀態空間的距離向量中模數最小者,且可以由和γ重構出q,fG和gG則是對應于廣義力G的動力學.因為研究撲翼飛行器的具體特性預設固定,所以這里G代表著不同控制策略與環境作用的綜合.值得指出的是,這里所謂的廣義坐標狀態qs既包括廣義坐標也包括廣義坐標的導數.

綜上所述,這是一個典型的周期系統奇異攝動問題,可以使用幾何奇異攝動理論給出擾動系統的周期解存在性和穩定性的條件[38-39],同時也可以參考文獻[40]中定理6.6.1和定理6.6.2.如要獲得對應于整體奇異攝動系統(24)和(25)的且微分同胚于閉合軌線γ的穩定不變流形Mε,則需要軌線γ上每一點關于攝動系統的線性化都需要其對應的雅克比矩陣特征值實部不為零,且其關于簡化系統至少是軌線γ鄰域上局部吸引的.這顯然需要閉合軌線附近的動力學滿足:對于所設計控制器和環境綜合作用G,可以在任一點檢測上述條件.然而考慮到實際情況,這是極其困難的.常見撲翼飛行器的控制問題中既不能完成周期內的精細調控,也不可能獲得準確的飛行器動力學.

本文采用一種類似頻閃的方式來觀測撲翼飛行,實際實現中,即基于固定周期T的觀測對系統進行奇異攝動分析.值得注意的是,這里T不必要是閉合軌線的周期.這種方法需要假設已知非攝動系統的先驗信息,也即需要從給定的撲翼飛行器控制策略到閉合軌線γ的映射關系,此映射關系可以由簡化模型(18),(20)～ (22)基于準定常氣動力模型構建,也可從實際實驗的觀測中歸納.以下分析假設撲翼飛行器控制策略、控制目標和環境影響固定不變,也即γ固定.那么對于廣義坐標狀態空間QS上的每一點qs可以定義其到γ距離為

其中,d為定義在Qs上的某確定度量.根據在離散點t=T,2T,···,kT的觀測可以進一步獲得離散點到γ的距離d(qs(kT),γ),簡記為dk.基于上述觀測,可以獲得離散的動力學系統:

其中,h表示頻閃觀測的系統γ-軌道距離狀態變換函數,是由攝動系統動力學、觀測時間間隔和閉合軌線γ共同決定的.

定理 1.對于上述奇異攝動問題,如果簡化系統的周期軌跡γ是漸近穩定且孤立的,同時頻閃觀測間隔T是O(ε) 的,且對于離散系統(27) 有dk≤W(kT),其中W是正定連續可微函數,其關于時間的導數W˙ (kT)≤-λdk+βγ,正值常 數λ是O(1)的,而正值常數βγ是O(ε) 的,那么存在ε0對于所有ε ＜ε0,設若奇異攝動系統(24)和(25)有在γ附近的的一個或一族周期解1如要確定解的存在性,則額外需要對邊界層系統有穩定性條件,具體可參考文獻[38,40].,取其中任意解的對應軌跡為γε,奇異攝動系統會收斂到γε的O(ε) 鄰域內.

證明.此證明重點考慮頻閃觀測和Poincare 映射在反映連續系統行為上的相似性.由所述條件可知在k→∞,dk最終收斂到O(ε) 之內.考慮到觀測間隔T是O(ε) 的,由系統的連續性可知在兩次觀測之間的系統狀態,在上述收斂的前提下也有類似性質,具體而言,對于t→∞,有d(qs(t),γ) 最終收斂到O(ε),也即系統收斂到γ的O(ε) 鄰域內.因為此鄰域包含系統的唯一前向不變集,所以周期軌線γε必然包含于此集中.進而閉合軌線γ和γε之間的Hausdorff 距離是O(ε) 的,由度量的定義,進而可知奇異攝動系統會收斂到γε的O(ε) 鄰域內.

對于所述奇異攝動問題,當ε→0 時,有γε→γ,其對應的周期τ(γε)→τ(γ) .上述定理闡述了頻閃觀測結果和系統動力學行為的關系,說明在所述條件下基于簡化模型設計周期輸入控制效果的準確性,同時也未對復雜的邊界層系統提出除光滑性和有界性等物理系統常見性質之外的要求.周期廣義力輸入和周期非攝動系統軌跡的關系可以用數值方法,根據實驗結果或者撲翼飛行準定常動力學模型給出近似,而不用根據動力學模型進行在線解算.我們將進一步結合圖3,綱要性地描述上述頻閃觀測等方法對應的控制策略:在周期性廣義力的作用下,控制器依慢子系統動力學所確定的周期軌跡控制輸入周期變化,其系統在軌跡周圍存在一個O(ε) 誤差容許范圍.當頻閃觀測到系統偏離此范圍時,控制器采取不同的周期性的廣義力促使其恢復原狀態.值得指出的是,控制器同樣基于慢子系統動力學來預期這個周期性的廣義力的作用效果.

圖3 撲動翅翼周期軌道控制示意圖Fig.3 The schematic for the control of flapping-wing periodic orbit

本文所述的奇異攝動方法基于慢子系統動力學和頻閃觀測進行分析,并在一定范圍內確定整體攝動系統的動力學性質,其具體優勢如下:

1)采用頻閃觀測的方法,固定觀測時間間隔,便于機載硬件實現;

2)即便廣義力輸入不具有精確的解析形式,所采用的分析方法也可以通過數值方法來分析系統的穩定性;

3)相對于平均化等方法,所設計方法考慮系統周期力或力矩輸入對翅翼動力學和其周期運動步態的影響,為完成更靈活的撲翼飛行和更復雜的運動控制任務鋪平道路.

3 撲翼飛行實驗與分析

這一節我們分析自制的四自由度撲翼飛行器在懸停時的具體行為,以驗證所述基于奇異攝動理論分析方法的有效性.在懸停時翅翼周期往復拍動,軀干受翅翼運動所致在小范圍內振動.如圖4 所示,系統共存在四個控制輸入,其中空心杯電機驅動X-型撲翼機構,三個直線舵機分別驅動兩個翅翼的轉角和一個尾翼舵機轉角.至于飛行器的具體實驗設置和控制方法,可以參考文獻[41].此外,還對該機型在測力/力矩傳感器上進行了對其偏航力矩的實際測量.上述撲翼飛行器在實際實驗中,存在翅翼運動和機體運動時標分離現象.如圖5 所示,我們在Qualisys 動作捕捉系統下做了所述機型的懸停實驗,使用文獻[41]中所述姿態控制器,利用左右翅翼前后偏轉的共同作用產生俯仰力矩,利用尾翼偏轉產生滾轉力矩.在控制器保持z軸豎直的情況下,同時將左右翅翼轉角的差值設置為最大幅值的30%,使得飛行器獲得繞z軸的轉矩.在此控制器設置下,對左翼靠前和右翼靠前兩種情況分別設置了兩組不同的實驗.根據系統輸出的記錄和動作捕捉系統的姿態反饋,我們獲得如圖6 所示的飛行數據.其中φ,θ和ψ分別表示飛行器的俯仰、滾轉和偏航,FA 表示撲動翅翼驅動電機的電壓輸入,LW,RW和VT 分別表示左翼、右翼和尾翼的驅動舵機偏轉.

圖4 四自由度撲翼飛行器示意圖((a)慣性坐標系與機體坐標系設置;(b)翅翼驅動與控制機構;(c1)無偏轉的翅翼姿態;(c2)偏轉后的翅翼姿態;(d1) 無偏轉的尾翼姿態;(d2) 偏轉后的尾翼姿態)Fig.4 The schematic for the 4-DoF flapping wing vehicle ((a) Inertial coordinate system and body coordinate system setup;(b) Flapping wings actuation and control mechanism;(c1) Flapping wings in default state;(c2)Flapping wings in deflection state;(d1) Tail in default state;(d2) Tail in deflection state)

圖5 運動捕捉系統輔助的四自由度撲翼飛行器實際飛行Fig.5 The real flight of the developed 4-DoF flapping wing system with the help of the motion capture system

除此之外,如圖7 所示,利用測力平臺測得飛行器在不同翅翼轉角設置下所產生的對應氣動力矩.具體而言,確定驅動撲翼機構的空心杯電機電壓為 3 V,將左右翅翼轉角的差值設置為最大幅值的30%,定義翅翼轉角偏向機體系x軸方向為負,反之為正.ATI Nano 17 六維力/力矩傳感器采用SI-12-0.12 標定參數,采樣頻率為 7 000 Hz,其測力精度約為 1/320 N,測力矩精度約為 1/64 N·mm.這里,由于測力平臺坐標系FS和飛行器機體坐標系FB不重合,需要利用平行軸定理進行修正,其具體計算方法可以參考文獻[42].實驗分別獨立測量了左右翅翼轉角差值為最大轉角幅值 0.3和-0.3倍時的z軸力矩,由于系統裝配的誤差,在轉角差值為 0 時依然有平均值為 1.6 左右的z軸力矩,所以兩個翅翼轉角差值所對應的周期整體平均轉矩,在減去偏置后實際上是近似大小相同而方向相反的.

圖6 不同兩翼轉角差下懸停飛行時的控制輸入與機體姿態Fig.6 The control inputs and fuselage attitudes in the hovering flight with different two-wings deflection-angle deviations

圖7 六維測力/力矩平臺上的安裝示意圖Fig.7 The setup of the 6-DoF force/torque measuring platform

根據圖6和圖8 所示的實驗結果進一步分析,可以得到如下結論:

1)因為所設計控制器基于第2 節中所述的慢子系統,而飛行器整體動力學對應著包含快慢子系統的攝動系統,實驗完成的穩定飛行從一定程度上說明:在快慢子系統時間尺度分離較為完整的情況下,盡管如圖8 所示的快子系統振動中的不能被平緩周期力反映的高頻波動部分會在一定程度上影響整體系統,但以撲翼慢子系統穩定性為設計目標的控制器依舊適用于包含快慢子系統的攝動系統;

圖8 由翅翼偏轉引起的繞z 軸周期變化的力矩 ((a)在不同偏轉角下力矩的周期變化;(b)轉角差值為-0.3 倍最大轉角的力矩多周期統計特性;(c)轉角差值為0.3 倍最大轉角時的力矩多周期統計特性)Fig.8 The periodically changing torque around z-axis induced by the wings deflection ((a) Periodic variation of torque under different deflection angles;(b) Statistical characteristics of the torque with the deflection angle of-0.3 limit angle;(c) Statistical characteristics of the torque with the deflection angle of 0.3 limit angle)

2)實驗中的撲翼飛行通過動作捕捉系統的100 Hz 頻閃觀測來確定系統狀態,盡管其不能觀測翅翼狀態,同時可觀測部分也存在一定誤差,但實驗結果也足可說明當頻閃觀測足夠快速時,其可以有效反映包含快慢子系統的攝動系統整體運動狀態,并能夠為基于慢子系統設計的控制器提供有效反饋信息;

3)通常而言,撲翼飛行器常基于平均化理論進行其動力學分析和控制器設計,簡單而言,上述兩者多基于平滑的周期平均系統而非原有的復雜周期變化系統進行穩定性分析.具體而言,使用平均化方法認為系統使用圖8 所示的平均力或力矩而非周期變化的力或力矩作為控制輸入,并基于此做針對單剛體機體的控制器設計.采用此種方法便意味著忽略系統的周期性特征,從而無法完成周期內具體特性的控制,比如本文所述的系統收斂到某一確定周期軌跡附近.與此不同的是,本文所述的系統將多剛體模型下的周期運動視為慢動態,而將其他高頻攝動視為快動態,從而在一定程度反映了撲翼系統的周期特性,較原有方法更為精細.盡管視覺捕捉系統不能完全反應周期系統的軌跡,但是其頻閃采樣的數據依舊可以在一定程度上刻畫周期運動特性.

4 結論

本文首先基于常見的撲翼飛行系統,建立了撲翼飛行器多剛體模型,描述了各剛體之間的動力學關系.然后,本文還通過應用奇異攝動理論來分析周期系統所對應的離散系統,在翅翼和機體運動存在時標分離的前提下,分析了撲翼系統的周期穩定性.其中,針對已有方法在動力學分析和設計撲翼控制器時忽略翅翼運動的問題,以及其難以應用于翅翼周期運動控制的不足,本文詳細討論了翅翼動力學的周期穩定性問題,并說明了通過奇異攝動方法分析翅翼動力學的必要性.最后,結合上述理論對撲翼飛行實驗結果進行了分析,在一定程度上驗證了文中所提方法的有效性.在后續研究中,我們將繼續探究奇異攝動理論在撲翼周期問題中的應用,并進一步發掘撲翼飛行器的機動性潛力.