基于兩階段自適應Wiener 過程的剩余壽命預測方法

董 青 鄭建飛 胡昌華 李 冰 牟含笑

隨著高新技術的迅猛發展,現代工業設備正朝著大型化、復雜化和智能化趨勢快速發展.這類設備在運行過程中由于受到內部和外部因素的隨機影響,性能和健康狀態不可避免地呈現下降趨勢乃至退化失效,導致無法完成正常任務和功能,進而引發嚴重事故,造成環境破壞和人員傷亡[1-3].如果能在設備性能退化初期對其進行剩余壽命預測(Remaining useful life,RUL),并基于預測結果確定維修決策的最佳時機,制定相應的備件訂購或替換策略,將有效提高設備運行可靠性、降低運行成本.近年來,預測與健康管理技術(Prognostics and health management,PHM)得到廣泛關注和應用,已經成為可靠性領域的熱點研究方向,而PHM 技術的關鍵在于預測運行設備的剩余壽命.因此,如何得到精確且符合實際情況的剩余壽命,對切實保障系統的運行安全性、可靠性與經濟性具有重要的意義[4-7].

經過幾十年的發展,RUL 預測取得了豐碩的理論成果并得到廣泛應用.袁燁等[8]將壽命預測研究主要分為模型方法和數據驅動方法.數據驅動方法主要包括統計方法和機器學習方法,基于設備大量退化數據推導退化模型,進而判斷超過失效閾值的時間預測剩余壽命,如:最小二乘方法、支持向量機方法和深度學習方法等.模型方法分為物理退化模型(機理建模)和經驗退化模型.相比于物理退化模型,經驗退化模型能通過隨機模型對監測數據建模,進而得到壽命或剩余壽命的概率分布,便于量化壽命或剩余壽命的不確定性,從而為健康管理奠定基礎,更加適用于現代復雜工業設備.而在經驗退化模型中,Wiener 過程和Gamma 過程是兩種最常用隨機過程退化建模的方法.Gamma 過程是一種增量非負的單調過程,主要適用于單調退化過程,如磨損過程、疲勞擴展過程.但在工程實際中,設備的退化過程大多為非單調,如鋰電池容量退化、慣性平臺陀螺儀的退化等.Wiener 過程作為非單調退化過程,憑借良好的數學特性,在RUL 預測和健康管理領域得到廣泛應用.

近年來,大多數基于Wiener 過程退化建模方法普遍假設系統在退化過程中是一種遵循單一階段的隨機退化模型.但在工程實際中,由于受到內部因素(如:退化機理突變)或外部因素(如:動態環境、狀態切換等)的影響,許多設備的退化特性呈現出兩階段乃至多階段退化特征[9].例如鋰電池[10]開始時經歷一個平穩退化期,隨著充放電的進行,固體電解質層在電極上的生長以及副反應導致的活性材料的損失,導致鋰電池容量在后一階段迅速衰落;液力耦合器[11]開始時經歷一個快速退化期,當到達某一時刻(變點)退化速度明顯下降,與之類似的還有半導體激光器[12]、等離子顯示板[13-14]等.

對于這種存在變點、呈現兩階段退化特性的設備進行退化建模和RUL 預測,已有不少學者進行了研究和拓展.Ng[12]根據退化數據的兩階段特性,提出一種基于單個變點獨立增量的兩階段隨機退化模型,并采用期望最大化(Expectation maximization,EM) 算法對模型參數進行估計.Yan 等[15]基于兩階段Wiener 過程模型對液力耦合器進行可靠性校驗,并根據赤池信息準則(Schwarz information criterion,SIC)對變點進行辨識.Chen 等[16]改進兩階段線性對數模型來描述滾球軸承的分階段退化過程,并用貝葉斯方法更新模型參數進行壽命估計.Wang 等[17]提出了一種兩階段退化模型用于軸承退化數據的建模,在第一段假設處于健康狀態,在第二段結合卡爾曼濾波和EM 算法進行RUL 估計.Peng 等[18]為了提高RUL 預測的魯棒性和效率,開發了一種半解析預測模型,該模型可以避免RUL 預測的大幅度波動,自動跟蹤不同的退化階段,并自適應地更新超參數.Zhang 等[19]在兩階段Wiener 過程退化模型的框架下,推導出基于首達時間意義的壽命分布,該模型優勢在于充分考慮并量化變點處退化量的不確定性同時能夠推廣至更具有一般性的多階段退化模型中.

盡管兩階段以及多階段退化模型已經取得了一些理論與實際應用成果,但仍存在一些問題有待解決.目前大多數兩階段退化模型(如:Zhang 等[19])都是基于Wang 等[20]所提出的一階自回歸模型進行建模,但該模型存在三點不足:1) 假設噪聲項是獨立且均勻分布,并且僅適用于均勻測量間隔.由于不是自動測量或根據某些設計方案進行測量等原因,在工程實際中設備退化過程的測量間隔往往是不均勻的;2) 當使用多組同類型退化設備的歷史數據或先驗信息估計模型未知參數時,必須要求監測數據的測量頻率與歷史數據中的測量頻率相同.否則,歷史數據將不再適用;3) 該模型退化建模存在一個潛在假設,即在后一時刻估計的隨機參數與前一時刻的隨機參數的后驗估計完全相等,并且當該模型用于RUL 預測時,使用最新的監測值來更新漂移系數,該漂移系數從最后監測點開始保持不變,直到系統發生故障.這意味著該模型假設可以根據實時監測數據自適應更新漂移系數,但在未來的RUL預測中忽略這種自適應漂移可變性.

針對上述問題,本文提出了一種基于自適應Wiener 過程的兩階段退化模型,突破測量間隔固定和采樣頻率一致的要求限制,同時考慮對表征退化個體差異性的漂移系數實現自適應更新.在首達時間意義下,推導出兩階段自適應Wiener 過程模型的RUL 分布解析式,結合EM 算法和Kalman 濾波技術對模型參數進行估計和更新,并基于SIC 實現退化變點辨識,最后通過鋰電池的實例研究驗證了本文所提方法可有效實現兩階段退化設備的RUL預測.

1 兩階段隨機退化過程建模

建立兩階段退化模型主要針對退化過程表現為兩階段特征的設備,且整個退化時間內存在一個變點,變點前后的退化率呈現顯著差異性.

1.1 兩階段線性Wiener 過程退化建模

令X(t) 表示設備在運行中的退化過程,常用的Wiener 過程模型具有以下形式[21]

其中,λ和σ分別表示退化過程的漂移系數和擴散系數,B(t) 是一個標準Brownian 運動,x0為退化初值,通常假設x0=0 .

基于上述模型和假設條件,對于存在變點的隨機退化系統可以建立兩階段Wiener 過程退化模型:

其中,x0表示退化過程初值,xτ表示第二階段退化初值即變點處的退化量,τ表示變點發生時間;λ1和σ1分別表示第一階段退化過程的漂移系數和擴散系數,λ2和σ2分別表示第二階段退化過程的漂移系數和擴散系數.

1.2 兩階段自適應Wiener 過程退化建模

由于上述的Wiener 過程模型存在測量間隔不均勻、測量頻率不一致以及在RUL 預測中沒有利用實時監測數據自適應更新漂移系數三點不足.因此,本文考慮基于Zhai 等[22]所提如下自適應Wiener過程模型建模:

其中,λ(t) 是一個遵循Wiener 過程且隨時間變化的漂移系數.λ0是初始漂移率,k是自適應漂移率的擴散系數,W(t) 是一個獨立于B(t) 的標準Brownian 運動.

根據式(1)、(3),可以推導出兩者各自的離散狀態空間模型:

其中,ηi～N(0,Q),ΔBi=B(ti)-B(ti-1),ΔWi=W(ti)-W(ti-1) .

從上式中,可以看到自適應Wiener 過程離散模型的噪聲項比式(4)的Wiener 過程離散模型,增加了一個自適應漂移項,當使用最新的監測值Xi更新漂移系數時,自適應Wiener 過程的漂移項從最后監測點開始仍可以動態變化,直到系統發生故障.此外,如式(4)所示的Wiener 過程模型假定兩個監測點之間的漂移系數λi為一個隨機游走模型,并且依賴于前一個時刻的漂移系數,當測量間隔發生變化時,可能導致模型參數估計不準確.鑒于此,自適應Wiener 過程增加了一個隨時間變化的漂移項.當測量間隔發生變化時,模型漂移部分能動態相應變化,適用于不等間隔測量下的RUL 預測.

為了進一步說明,本文給出式(1)和式(3)的兩步預測模型:

從式(6)中觀察到,Wiener 過程兩步預測模型的噪聲項中第一個元素ηi+ηi-1的方差是一步預測模型的2 倍,然而兩步預測模型的噪聲項中第二個元素除了σ(ΔBi+ΔBi-1) 還有一個附加項ηi-1Δti,與一步預測模型的噪聲項第二個元素相比,方差不能構成2 倍關系.因此,當式(1)所示的Wiener 過程應用于測量間隔不均勻的數據時,可能造成估計值不準確,RUL 預測準確度隨之下降.相比之下,自適應Wiener 過程的兩步預測模型增加了一個漂移項,導致附加項kΔWi-1Δti的影響可忽略不計內容.因此,自適應Wiener 過程兩步預測與一步預測可以相互兼容,當測量間隔變化時能解決此類問題帶來的影響.

基于上述結論,本文對存在變點的隨機退化系統建立兩階段自適應Wiener 過程退化模型:

其中,x0表示退化初值,xτ表示第二階段退化初值即變點處的退化量,τ表示變點發生時間;λ1(s)和σ1分別表示第一階段退化過程的漂移系數和擴散系數,λ2(s)和σ2分別表示第二階段退化過程的漂移系數和擴散系數.

2 兩階段自適應Wiener 過程剩余壽命預測

為描述同批次設備中某一個體的退化過程,體現個體差異性,將退化模型的漂移系數隨機化[23],即和.若發生變點時的退化量已知,根據文獻[22] 中自適應Wiener過程的壽命分布,可以推導出兩階段自適應Wiener 過程壽命分布的概率密度函數(Probability density function,PDF),如式(9)所示.其中,X0表示退化初值,D表示設備退化的失效閾值,τ表示變點發生時間.

實際中,在變點出現前,變點處退化量準確值Xτ是未知的,為了得到壽命估計值,首先要得到首達時間意義下Xτ的分布形式,即在Xτ＜D條件下經過時間τ,退化量從0 到Xτ的轉移概率gτ(Xτ) .因此,要計算退化過程在 (Xτ,∞) 失效概率,需保證退化過程在 (0,Xτ) 上未超過失效閾值.如果gτ(Xτ) 的解析表達式可以得到,則基于全概率公式可推導出壽命分布的PDF.

引理 1[19,22].若退化過程為兩階段自適應Wiener 過程模型,且漂移系數λ1、λ2服從正態分布.如果變點時間τ給定,那么在首達時間意義下的壽命分布的PDF,如式(10)、(11)所示.

推論 1.若已知當前時刻tk的退化狀態xk,用lk表示設備剩余壽命,fL(lk) 表示設備RUL 分布的PDF,在隨機退化速率λ1和λ2的影響下,可獲得首達意義下兩階段自適應Wiener 過程模型RUL的PDF,其形式與首達意義下得到的壽命分布PDF,即與式(10)、(11)類似,具體可分為以下兩種情況:

情況 1.當前時刻tk位于變點前,即tk＜τ,此時隨機設備退化失效又存在兩種情況:1) 失效閾值位于變點前,即lk+tk≤τ;2) 失效閾值位于變點后,即lk+tk＞τ,此時RUL 的PDF,如式(12)所示.

情況 2.當前時刻tk位于變點后,即tk＞τ,此時退化設備RUL 的PDF 為

在推論1 中,變點發生時間為某一固定值,只適用于事先預設情況.在實際中,利用監測數據進行預測時,通常兩階段變點位置在不同情況或不同個體下存在差異性.因此,假設變點時間τ為隨機變量來描述這種差異性.在這種情況下,隨機退化設備的壽命和剩余壽命PDF 為

其中,p(τ) 為變點發生時間的PDF.由于壽命與剩余壽命分布形式比較復雜,上述的積分難以得到具體解析表達式,故本文考慮采用數值積分方法求解.

3 模型參數估計與更新

3.1 潛在退化狀態估計

當前時間可定義為tk,而當前運行設備從時間t0～tk獲取的退化數據為x0:k={x0,x1,···,xk},如果此時變點未出現,即tk≤τ,也就是說退化設備仍處于第一階段且尚無第二階段退化數據,那么僅需根據收集的退化數據來更新第一階段模型參數;反之,若變點已經出現,即tk＞τ,那么僅需要更新第二階段模型參數.

根據建立的兩階段模型,可將漂移系數λ1和λ2視作 “隱含狀態”,因此基于實時監測數據x0:k,可以利用Kalman 濾波進行狀態估計.在此,定義λ1和λ2的均值和方差分別為=E(λ2|xτ+1:k)和P1k|k=var(λ1|x0:k)、P2k|k=var(λ2|xτ+1:k) .

類似地,若tk＞τ,可利用當前運行設備退化數據更新參數λ2,由于第一階段數據與第二階段模型無關,因此僅需要數據xτ:k={xτ+1,xτ+2,···,xk}用于更新.

當兩階段自適應Wiener 模型用于RUL 預測時,模型參數a10,a20,P10,P20,均是未知的.對此,本文采用EM 算法對參數自適應估計,使得估計的壽命更好地反映設備當前健康狀態.

3.2 基于EM 算法的自適應估計

假設對某個退化設備進行狀態監測,監測點為m個,即x={x1,x2,···,xm},其各自對應的監測時間為{t1,t2,···,tm}.同時,本文假設變點發生時間已知,即τ∈{t1,t2,···,tm},那么{x1,x2,···,xτ}表示設備第一階段的退化數據,{xτ+1,xτ+2,···,xm}表示設備第二階段的退化數據.

式中,p(x0:k|θ1) 為監測數據x0:k的聯合PDF.

然后,基于監測數據x0:k的似然函數,θ1的極大似然估計值可通過最大化似然函數得到,表示為

在本文中,由于漂移系數λ1被視作一個 “隱含狀態”.無法使未知參數θ1最大化.而EM 算法可通過最大化聯合似然函數p(λ1k,x0:k|θ1) 來估計逼近參數的極大似然估計,估計值可以通過迭代以下兩步實現.

通過不斷迭代E-步驟和M-步驟直到滿足某一收斂條件截止,由此得到對應的參數估計值,一般來說隨著迭代次數增加,得到的參數估計值會越來越好.

對于第一階段的隨機退化模型,EM 算法中的聯合對數似然函數可以表示為

第二階段參數估計方法同上,不再贅述.在退化實驗中,監測到的設備性能退化數據一般為離散值,變點τ的值通常未知.SIC 是Akaike 信息準則的改進,對變點檢測效果良好,下面通過SIC,確定變點τ的值[15].

3.3 變點檢測

SIC 是由Schwarz.于1978 年提出,可以判斷模型是否存在變點問題.其原理是如果待檢測序列存在變點,其樣本的熵要大于不存在變點的樣本的熵[25].利用SIC 來估計變點的個數和位置是較為簡單的,對變點的檢測效果良好.其定義為

原假設H0:各參數值相等,表示模型中不存在變點.

為了描述不同設備變點時間的個體差異性,本文假設變點時間τ服從隨機分布.相比于其他分布,Gamma 分布能包含其他常見分布,如指數分布等,并且形狀參數α越大,Gamma 分布越逼近正態分布,計算也較為容易.因此,本文假設變點時間τ服從Gamma 分布,且形狀參數為α、尺度參數為β.

通過SIC 方法,利用退化先驗信息可離線估計設備的變點發生時間,通過Gamma 分布的統計形式,進而得到變點時間τ的分布參數及概率分布函數p(τ) .

4 實例驗證

在本節,通過引入蒙特卡洛仿真,驗證本文基于自適應Wiener 過程所提出的模型優越性.然后,將所提出的模型應用于鋰電池容量退化數據中.

4.1 模擬仿真

為了驗證本文所提模型能夠解決現有兩階段模型不能刻畫測量間隔不均勻、測量頻率不一致的問題,在此考慮將所提出模型與Zhang 等[19]所提的兩階段模型作比較.

首先,在這里主要考慮漂移參數的隨機效應,利用兩種退化模型分別對仿真得到的數據進行退化建模,并利用第四節模型參數估計方法,可求得兩個階段模型參數估計值,最后得到兩種方法各自預測的RUL 結果.在此,本文增加一個仿真驗證的例子,設定仿真參數值為 (λ1,λ2,σ1,σ2,k1,k2)=(2,1,1,1,1,0.5),并且生成一組間隔為1、次數為200 的監測數據.為了證明本文所提模型比現有模型適用于測量間隔不均勻、測量頻率不一致情況,考慮將數據變為以下情況:存在測量間隔為1、2、4 的測量間隔不均勻的混合數據.其中,變點發生時間設為120,失效閾值為155.

圖1 為本文所提模型和Zhang 等所提的兩階段模型在不均勻退化數據下的RUL 結果.從圖中,可以看到RUL 預測的PDF 隨著時間逐漸變窄,表明預測的不確定性越來越小.對于測量間隔不均勻的數據,所提模型的PDF 曲線更加窄而尖銳,說明在壽命預測方面可以取得更好的預測結果.

圖1 兩種模型RUL 預測結果Fig.1 RUL prediction results of the two models

為了進一步量化測量間隔不均勻條件下兩種模型的預測結果,本文采用可靠性領域常用的性能指標:絕對誤差(Absolute error,AE)和相對誤差(Relative error,RE)指標.

從圖2和表1 中,可以看出隨著退化數據的逐漸累積,兩種模型各自預測的誤差值也在隨之下降.總體上看,本文所提模型的預測準確度要優于Zhang 等所提的模型.當退化數據呈不均勻分布時,相比較Zhang 等所提的兩階段模型,本文所提模型能較好解決這種情況帶來的影響,更為準確地估計參數,進而提高預測準確度.

圖2 兩種模型RUL 預測絕對誤差Fig.2 Absolute error of RUL prediction of the two models

表1 不同監測點相對誤差的比較結果Table 1 Comparison results of relative error at different monitoring points

綜上,本文基于自適應Wiener 過程所建立的模型相比于Zhang 等[19]的兩階段退化模型,可以克服測量間隔不均勻、測量頻率不一致問題,較為準確預測設備RUL.

4.2 鋰電池實例驗證

本節中,基于馬里蘭大學Pecht[26]課題組的鋰電池容量退化數據進行實例驗證.該數據是在室溫條件下通過充放電實驗得到的,記錄了電池狀態信息(包括容量)隨充放電次數的變化.由于復雜的化學反應,鋰電池容量開始時經歷一個平穩退化期,隨著充放電的進行,由于固體電解質層在電極上的生長以及副反應導致的活性材料的損失,導致鋰電池容量在后一階段迅速降低[9].編號為CS2-35、CS2-36、CS2-37、CS2-38 四組電池容量退化數據如圖3所示,圖中退化過程呈現出明顯的兩階段特性,這里采用CS2-37 鋰電池數據進行RUL 預測驗證,其余三組(即CS2-35、CS2-36和CS2-38)用作變點時間離線參數估計.

圖3 鋰電池容量退化Fig.3 Lithium battery capacity degradation

首先,對CS2-37 鋰電池利用SIC 進行變點檢測,確定變點所在時刻.根據SIC,分別計算相應的SIC 值,對應的SIC 值變化趨勢如圖4 所示.

圖4 CS2-37 鋰電池SIC 值Fig.4 SIC value of CS2-37 lithium battery

從圖中可以觀測到,第96 監測點數值最小,由于本文采用兩階段隨機退化建模,從起始退化到第96 監測點,監測時間較短不適宜作為變點,因而,對于此情況忽略不計.此時,SIC(1 006)=-16 735＞SIC(736),且S IC(736)=-26 891 最小,所以CS2-37 鋰電池退化中存在變點,且變點發生在第736 監測點.同理,其余三組電池數據辨識到的變點分別為623、681和753.由于變點時間τ服從Gamma分布,可利用辨識得到的數據進行擬合,可求得形狀參數和尺度參數分別為α=106、β=7.98 .將變點引入到參數估計中,再結合退化數據,可得兩個階段漂移系數的均值和方差估計值分別為ua=8.056×10-4、σa=2.94×10-5、ub=0.00221、σb=7.41×10-5.利用上述估計值,結合CS2-37 鋰電池數據和卡爾曼濾波技術實現漂移系數在線更新.圖5、圖6 展示了隱含狀態即漂移系數的在線更新過程.結果表明,兩個階段容量的退化率相差較大,如果只用單一階段的退化過程進行退化建模,誤差將會比較大.由于變點發生時刻在第736 監測點,因此第一階段模型參數在變點出現后不再更新,第二階段模型參數在變點之前不進行更新.

圖5 第一階段模型參數更新Fig.5 The first stage of model parameter updating

圖6 第二階段模型參數更新Fig.6 The second stage of model parameter updating

為了驗證所提模型的有效性,用建立模型對CS2-37 鋰電池退化數據進行擬合.圖7 為符合Wiener 過程的鋰電池容量退化預測情況,從圖中可以看出所建立的模型能較好地反映鋰電池退化過程.

圖7 CS2-37 模型擬合效果Fig.7 Fitting effect of CS2-37 model

由于變點在第736 監測點,而一般電池容量的失效閾值定義為電容量損失到初始容量的百分比.在本文中設定失效閾值為初始電容量的45 %.為了說明本文方法的有效性和合理性,將估計的模型參數代入到式(8)中,可得到RUL 的PDF和預測值,如圖8 所示.

圖8 CS2-37 的RUL 預測結果Fig.8 RUL prediction results of CS2-37

從圖8 中可以看出,對于鋰電池退化數據的RUL 預測,所提模型與單一階段線性模型相比較,前者更為準確.與Zhang 等提出的兩階段模型相比,本文的方法能取得更好的結果,且隨著監測數據的增加,RUL 預測結果不確定性越來越小,精度越來越高.為了更加直觀說明本文方法有效性,給出幾種方法的RUL 預測絕對誤差和α-β性能指標對預測結果進行驗證.

從圖9、圖10 中可以看出,與單一階段線性模型相比,本文方法考慮變點前后呈現兩階段特征,即變點前后的退化速率存在明顯差異進行建模,且考慮同批產品個體差異性的影響,其模型更符合實際退化情況.與Zhang 等所提的兩階段模型相比,本文方法考慮Wiener 過程模型存在測量間隔不均勻、測量頻率不一致以及在RUL 預測中忽略了自適應漂移的可變性等三點不足,結果表明在監測前期退化數據較少時,所提模型能取得較好的預測結果.其原因是本文所提模型與Zhang 等所提模型相比,噪聲項增加了一個自適應漂移項它是一個隨時間變化的過程.在設備監測初期,剩余壽命lk值比較大,無法忽略自適應漂移可變性的影響,因此所提模型預測結果優于現有模型.隨著電池充放電循環在壽命將盡時,自適應漂移項的影響降到最低,此時兩種退化模型結構相似,進而提供近似的預測結果.

圖9 RUL 預測絕對誤差Fig.9 Absolute error of RUL prediction

圖10 α-β 性能圖Fig.10 α-β performance chart

此外,通過引入相對誤差指標進一步量化預測準確度,在壽命的35 %、55 %、75 %和95 %分位點給出兩種方法相對誤差的比較結果.

從表2 可以看出,本文方法可以有效減小RUL預測的RE,進而提高預測精度,尤其在95 %分位點處,RUL 預測的RE 僅為0.66 %.綜上,本文所提出的兩階段自適應Wiener 過程模型和方法,預測精度高,并且具有一定的適用性,可為后續設備的備件訂購、最優替換等維護決策提供依據.

表2 不同壽命分位點相對誤差的比較結果Table 2 Comparison results of relative error at different life quantiles

5 結論

本文針對工程實際中存在階段性退化特征的一類設備,建立了兩階段自適應Wiener 過程退化模型進行RUL 預測,重點闡述了模型參數估計和隱含狀態更新方法,最后通過鋰電池退化數據驗證所提模型的可靠性和有效性.具體結論如下:

1)建立自適應Wiener 過程模型,克服了一般Wiener 過程模型存在的測量間隔不均勻、測量頻率不一致以及在RUL 預測中沒有利用實時監測數據自適應更新漂移系數三點不足,提出一種新的考慮個體差異性兩階段預測模型.

2) 在首達時間意義下,推導出兩階段自適應Wiener 過程模型壽命和剩余壽命PDF 的解析表達式,實現RUL 的實時估計.

3)基于Kalman 濾波算法和EM 算法進行參數估計和自適應更新,實現設備的實時可靠性評估,為維護決策提供依據.最后通過鋰電池實例驗證了本文所提方法的有效性.

本文主要適用于退化數據呈兩階段隨機退化設備研究,但對于大型復雜設備,由于環境以及工作任務變換的影響,可能存在多個工況或狀態切換的現象,進而導致多階段情況發生.下一步可深入拓展多狀態多階段復雜隨機系統的退化建模、RUL 預測與維護決策的問題研究.

附錄A

A.1 兩階段自適應Wiener 過程壽命PDF

A.1.1 變點處退化量已知

A.1.2 變點處退化量未知

實際上,在變點時間發生前,變點處退化量的值Xτ通常未知.因此,為了得到壽命估計值,首先要得到首達意義下Xτ的分布形式,即在Xτ＜D條件下經過時間τ,退化量從0 到Xτ的轉移概率gτ(Xτ) .

將式(A3)擴展到兩階段模型.當壽命滿足t＜τ時,僅受隨機參數λ1影響,此時壽命分布的PDF 為

A.2 兩階段自適應Wiener 過程剩余壽命PDF

令當前時刻tk的退化狀態xk,用lk表示設備剩余壽命,fL(lk) 表示設備RUL 分布的PDF,在隨機退化速率λ1和λ2的影響下,可獲得首達意義下兩階段自適應Wiener 過程模型RUL 的PDF.

情況1.當前時刻tk位于變點前,即tk＜τ,此時隨機設備退化失效又存在兩種情況:

1) 失效閾值位于變點前,即lk+tk≤τ,在此種情況下僅受隨機參數λ1影響,RUL 分布的PDF 為

2) 失效閾值位于變點后,即lk+tk＞τ,此時可以看作受兩個隨機參數的影響,即λ2和Xτ,RUL 的PDF 可以用兩重積分表示