典型螺栓連接件的隨機振動多模型靈敏度分析

袁修開 趙超帆 鄭振軒 孔沖沖

摘要：為分析組合模型輸出響應不確定性的來源及其影響，本文提出多模型合并下的方差靈敏度和矩獨立靈敏度指標及其分析求解方法。模型方差靈敏度量化了各單模型對組合模型輸出響應方差的影響。模型矩獨立靈敏度則量化了各模型對組合模型輸出響應的概率密度函數的影響。同時，本文還給出了兩種模型靈敏度的求解方法。最后，以航空典型螺栓連接件為例，分析了連接件隨機振動響應模型合并預測的靈敏度。結果表明，影響組合模型靈敏度的主要因素為組合模型的權重值以及各單模型本身的不確定性（模型內部參數引起）。

關鍵詞：靈敏度分析；組合模型；不確定性；隨機振動

中圖分類號：TH113.1文獻標識碼：ADOI：10.19452/j.issn1007-5453.2022.01.014

基金項目：航空科學基金（20170968002）；中央高校基本科研業務費專項資金資助項目（XMU20720180072）

螺栓連接在航空工程結構中被廣泛應用。在仿真建模中，螺栓結構由于機理復雜而常被簡化處理，而簡化或者假設不同，所建立的模型也會有所不同。那么從一組不同的模型形式中進行選擇就伴隨著不確定性，這種稱為多模型下的模型形式不確定性[1]。模型形式不確定性來源于人們對問題認識的不足，導致所建立的模型不能完全反映出現實問題，而模型的合并預測可以很好地彌補不同單模型預測所帶來的局限性。

多模型的組合預測有著單模型不可比擬的優勢。1963年，Barnard[2]首次提到模型合并；之后，Bates等[3]首次提出合并預測方法可以綜合各單模型預測模型的有效信息，避免單模型在復雜情況下對現實結果預測的局限性；隨后，合并預測受到越來越多學者的關注[4]，各種合并預測方法被學者提出，如最小方差合并預測方法[5]、貝葉斯統計方法[6-7]、變權重方法[8]等。1997年，Buckland[5]提出了最小方差法合并預測方法；2014年，Park等[6]提出貝葉斯統計方法量化模型形式不確定性和模型合并預測方法，使得合并預測方法在工程結構領域開始得到應用。

隨著合并預測開始在工程上得到應用，探究組合模型響應的不確定性來源[9-10]，使合并預測有著更為穩健、可靠的預測結果，對合并預測的模型形式進行靈敏度分析顯得尤為重要。目前，對參數靈敏度的研究較為成熟。全局靈敏度分析方法主要有基本效應法[11-12]、導數法[13-14]、方差靈敏度分析法[15-17]、矩獨立靈敏度分析法[18-21]等。基本效應法最初是由Morris[11]提出，通過輸入變量的變化對輸出響應的平均影響，其計算量隨著輸入變量的維數增加而線性增加；導數法最初是由Sobol等[13]提出，通過模型輸出響應對輸入變量偏導數平方的期望來衡量輸入變量的重要性，由于要求偏導數，故其對于非線性程度較高的模型計算效率低；方差靈敏度分析法最初也是由Saltelli等[15]提出的，通過輸入變量對輸出響應方差的影響程度來衡量輸入變量的重要程度；由于方差只是一個統計特征，在很多情況下反映出的信息不全面，故Borgonovo[19]提出了矩獨立靈敏度分析法，其通過輸入變量對輸出響應概率密度函數的影響來衡量輸入變量的重要度，后來Liu等[21]又提出了基于累計分布函數的矩獨立指標，這是通過描述輸入變量對輸出響應的累積分布函數的影響來衡量輸入變量的重要度。此外，靈敏度分析在航空領域也得到了應用，如可用于結構及氣動的分析與設計中[22-24]。由上可以看出，對參數的靈敏度分析已經日趨完善，但是鮮有文獻對模型形式不確定的靈敏度進行研究。

本文針對組合模型方法下的靈敏度問題，提出模型靈敏度指標及其分析求解方法。首先提出兩種模型靈敏度指標：模型方差靈敏度及模型矩獨立靈敏度。同時給出對應的分析方法。然后，以典型螺栓連接件的隨機振動多模型合并預測為例，分析計算其中各個單模型的模型方差靈敏度指標和矩獨立靈敏度指標，由靈敏度指標值可得出組合模型中相對重要的模型，為組合模型預測的進一步提升提供更多信息。

1模型合并中的模型靈敏度指標及其求解

1.1基于模型合并的預測

2實例：典型螺栓連接件的隨機振動組合模型靈敏度分析

典型螺栓連接框架結構示意圖如圖3所示，該結構借鑒于參考文獻[25]。針對螺栓連接不同的假設處理，分別建立了三個不同的框架結構有限元模型。如圖4所示，其中圖4（a）為h1板殼單元模型，該模型中將圖3中的螺栓連接Bolt1～Bolt8都進行細化單獨建模；圖4（b）為h2實體單元模型，在該模型中連接Bolt7與Bolt8的不做細化建模；圖4（c）為h3板梁單元模型，該模型中連接Bolt1～Bolt8均未細化建模，等效入上下橫梁與側柱的直接連接中去。本文的模型合并將在該三個模型的基礎上進行。

該結構中的隨機變量包括E=[E1，E2，E3，E4，E5，E6，E7，E8，Eb，Ec]，其中Ei（i = 1，…，8）為第i個螺栓連接的彈性模量，Eb，Ec分別為上下橫梁及兩側側柱的彈性模量，還包括結構阻尼比ξ。各變量的分布信息見表1，其中正態分布的參數1和2分別為均值和標準差，均勻分布的參數1和2分別為上限和下限。

2.1固定頻率點下的模型靈敏度分析

首先進行某一典型頻率點下的靈敏度分析。依據模型中隨機變量彈性模量和阻尼比的分布抽樣N=1000組樣本值，使用限元軟件Nastran計算得到每一個模型在對應參數樣本下的響應——功率譜密度（PSD）曲線，如圖5所示。

鑒于162Hz為PSD響應圖的第二個波峰附近，故先取各模型在固定頻率點162Hz下的響應，求解各單模型在該處響應下的方差靈敏度和矩獨立靈敏度指標，結果見表2。由表2可以看出，無論是矩獨立靈敏度指標還是方差靈敏度指標上看，模型h1對于組合模型的影響是最大的。由結合式（15）可看出，模型h1的權重值是最大的，模型h2次之，模型h3最小。因此可以說明，權重值是影響組合模型靈敏度指標的一個因素，但靈敏度指標還受到模型中包含變量的影響，具體在下面的分析中體現出來。

2.2隨機振動的模型靈敏度分析

在2.1節中，只考慮了在某一固定頻率點下的靈敏度分析，在這一節，將分析框架結構的隨機振動功率譜密度（PSD）在各個頻率下的靈敏度。隨機振動的PSD為一曲線，這里對每一個頻率點均進行靈敏度分析，最后得到方差和矩獨立靈敏度指標隨頻率變化的結果，分別如圖6～圖8所示。從圖6～圖8中可看出，在大部分的頻率點下模型h1對于組合模型的貢獻度是最大的，這主要是由于模型h1的權重值是最大的。但是在有些頻率點下出現交錯現象，例如，圖6中，在50～70Hz、160～180Hz和270～300Hz頻率段，模型h3與模型h2的貢獻度互相交錯。這是由于在某些頻率段下各模型輸出響應的分布類型以及分布參數的不同。因此，影響模型靈敏度的指標因素為：一個是分配到每個模型的權重值，一個是模型本身的隨機性（模型中的參數）。

為了更為直觀地了解每一個模型的重要度，對靈敏度指標求其均方根值，得到如表3所示的數據。可以看出來，在貝葉斯方法下的組合模型，對組合模型的重要度排序為h1> h3> h2，且兩種指標獲得了一致的重要度排序結果。

3結論

本文分析探討了以模型作為不確定性輸入對組合模型輸出響應方差以及概率密度函數的影響，類比隨機變量靈敏度指標，提出了兩種模型靈敏度指標。一是基于方差的模型靈敏度指標Si和STi，一是基于矩獨立的模型靈敏度指標δi，來分別量化各單模型對組合模型的影響程度。

對航空典型螺栓連接件的隨機振動組合模型進行了靈敏度分析，計算了不同的螺栓連接模型的方差靈敏度和矩獨立靈敏度。從得到的指標值可以看出各模型在組合模型預測中的影響程度。從靈敏度函數結果看出，影響模型靈敏度的因素包括組合模型中各單模型的權重值和各單模型響應本身的不確定性（內部的不確定參數引起）。

參考文獻

[1]Park I，Amarchinta H K，Grandhi R V. A Bayesian approach forquantificationofmodeluncertainty[J].Reliability Engineering System Safety，2010，95（7）：777-785.

[2]Barnard G A. New methods of quality control[J]. Journal of the Royal Statistical Society，1963，126（2）：255-258.

[3]Bates J M，Granger C W J. The combination of forecasts[J]. Journal of the Operational Research Society，1969，20（4）：451-468.

[4]Clemen R T. Combining forecasts：A review and annotated bibliography[J]. International Journal of Forecasting，1989，5（4）：559-583.

[5]Buckland S T. Model selection：An integral part of inference[J]. Biometrics，1997，53（2）：603-618.

[6]Park I，Grandhi R V. A Bayesian statistical method for quantifyingmodelformuncertaintyandtwomodel combination methods[J]. Reliability Engineering & System Safety，2014，129：46-56.

[7]袁修開，劉文杰.飛機結構疲勞可靠度貝葉斯組合預測[J].國防科技大學學報，2018，40（4）：100-105. Yuan Xiukai，Liu Wenjie. Bayesian combination forecasting for fatigue reliability of aircraft structures[J]. Journal of National University of Defense Technology，2018，40（4）：100-105. （in Chinese）

[8]袁修開，陳斌. Bootstrap與變權重相結合的多模型綜合預測方法[J].機械科學與技術，2018（9）：1465-1471. Yuan Xiukai，Chen Bin.Multi-model comprehensive forecasting method combined with bootstrap and variable weight[J]. MechanicalScienceandTechnologyforAerospace Engineering，2018（9）：1465-1471. （in Chinese）

[9]肖思男，呂震宙，王薇.不確定性結構全局靈敏度分析方法概述[J].中國科學：物理學力學天文學，2018，48：014601. Xiao Sinan，Lyu Zhenzhou，Wang Wei. A review of global sensitivity analysis for uncertainty structure[J]. Scientia Sinica Physica， Mechanica，Astronomica，2018，48：014601 （in Chinese）

[10]呂震宙，李璐祎，宋述芳，等.不確定性結構系統的重要性分析理論與求解方法[M].北京：科學出版社，2015. Lyu Zhenzhou，Li Luyi，Song Shufang，et al. Importance analysis theory and solution method of uncertain structural system[M]. Beijing： Science Press，2015. （in Chinese）

[11]Morris M D. Factorial sampling plans for preliminary computational experiments[J]. Technometrics，1991，33（2）：161-174.

[12]Campolongo F，Cariboni J，Saltelli A. An effective screening design for sensitivity analysis of large models[J]. Environmental Modelling Software，2007，22（10）：1509-1518.

[13]Sobol I M，Kucherenko S. Derivative based global sensitivity measures and their link with global sensitivity indices[J]. Math Comp Simul，2009，79：3009-3017.

[14]Kucherenko S，Rodriguez-Fernandez M，Pantelides C，et al. Monte Carlo evaluation of derivative-based global sensitivity measures[J]. Reliability Eng Syst Safety，2009，94（7）：1135-1148.

[15]Saltelli A，Sobol I M. Sensitivity analysis for nonlinear mathematical models：numerical experience[J]. Institute for Mathematical Modelling，1995，7（11）：16-28.

[16]SobolIM.Globalsensitivityindicesfornonlinear mathematical models and their Monte Carlo estimates[J]. Mathematics and Computers in Simulation，2001，55（1-3）：271-280.

[17]Saltelli A，Annoni P，Azzini I，et al. Variance based sensitivity analysis of model output. Design and estimator for the total sensitivity index[J]. Computer Physics Communications，2010，181（2）：259-270.

[18]Chun M H，Han S J，Tak N I. An uncertainty importance measure using a distance metric for the change in a cumulative distributionfunction[J].ReliabilityEngineeringSystem Safety，2000，70（3）：313-321.

[19]Borgonovo E. A new uncertainty importance measure[J]. Reliability Engineering and System Safety，2007，92（6）：771-784.

[20]Liu Q，Homma T. A new computational method of a momentindependent uncertainty importance measure[J]. Reliability Engineering and System Safety，2009，94（7）：1205-1211.

[21]Liu Q，Homma T. A new importance measure for sensitivity analysis[J]. Journal of Nuclear Science and Technology，2010，47（1）：53-61.

[22]尹俊杰，常飛，李曙林，等.基于Sobol法的整體翼梁損傷容限設計參數靈敏度分析[J].空軍工程大學學報（自然科學版），2013， 21（6）： 9-12. Yin Junjie， Chang Fei， Li Shulin， et al. Analysis of parameter sensitivity on damage tolerance design of overall beam based on Sobol method[J]. Journal of Air Force Engineering University （Natural Science Edition）， 2013， 21（6）： 9-12.（in Chinese）

[23]夏露，楊梅花，李朗，等.基于全局靈敏度分析方法的氣動設計研究[J].西北工業大學學報，2018， 36（1）： 49-56. Xia Lu， Yang Meihua， Li Lang， et al. Aerodynamic design based on global sensitivity analysis method[J]. Journal of Northwestern Polytechnical University， 2018， 36（1）： 49-56.（in Chinese）

[24]畢富國，何廣平.微型撲翼飛行器動力學模型參數的靈敏度分析[J].兵器裝備工程學報，2019，40（8）： 94-99. Bi Fuguo， He Guangping. Sensitivity analysis of dynamic model parameters of flapping-wing micro air vehicles[J]. Journal of Ordnance Equipment Engineering， 2019， 40（8）： 94-99.（in Chinese）

[25]Van Buren K L，Hall T M，Gonzales L M，et al. A case study toquantifypredictionboundscausedbymodel-form uncertainty of a portal frame[J]. Mechanical Systems and Signal Processing，2015，50：11-26.

Sensitivity Analysis of Multiply Random Vibration Models for Typical Bolt Connection

Yuan Xiukai，Zhao Chaofan，Zheng Zhenxuan，Kong Chongchong Xiamen University，Xiamen 361005，China

Abstract： In order to analyze the sources and impacts of uncertainties on combined model output， the variance sensitivity and moment-independent sensitivity for the combined models are proposed； also， the sensitivity analysis methods are presented. Model variance sensitivity is to quantify the influence of each model on the variance of the combined model output response. Model moment-independent sensitivity is to quantify the influence of each model on the probability density function of the combined model output response. Finally， based on a typical bolt connection combination forecast， the model sensitivity of structural random vibration combination forecast model is analyzed. The result shows that two factors affect the model sensitivity： the weight value of the combined model and the uncertainty of every single model itself （caused by internal parameters）.

Key Words： sensitivity analysis； combined model； uncertainty； random vibration

3816500338202