定軸轉動過程中珠子多體動力學研究

趙建策　李晨曦　齊景江　王耀浥　王珩　李文博

摘 要：為了研究在定軸轉動過程中珠子的動力學運動規律，本文通過珠子的拉格朗日學方程，建立了珠子的一般運動學方程。基于珠子的運動學方程提出了修正摩擦力并從能量角度出發分析了珠子的角速度隨角度的變化情況，同時分析了不同摩擦系數條件下珠子角速度與平衡位置的變化。本試驗設計了一套能夠滿足要求的裝置，結合試驗數據與理論公式分析了二者的符合程度。結論表明：通過多組試驗數據擬合，珠子的運動平衡情況基本與理論一致，珠子的角速度運動方程與試驗數據基本吻合。摩擦系數的改變能夠在較小范圍內引起角速度數值的變化，而珠子的平衡位置與摩擦系數的大小基本無關。

關鍵詞：多體動力學;定軸轉動;拉格朗日方程

中圖分類號：O41 ? ? 文獻標志碼：A ? ? 文章編號：1003-5168（2022）1-0033-04

DOI：10.19968/j.cnki.hnkj.1003-5168.2022.01.007

Study on Multi-Body Dynamics of Beads Based on Fixed Axis Rotation

ZHAO Jianze1 LI Chenxi2 QI Jingjiang1 WANG Yaoyi1 WANG Heng1 LI Wenbo1

（1. Shenyang University of Aeronautics and Astronautics， Shenyang 110136，China; 2. Beijing Normal University， Beijing 100875，China）

Abstract： In order to study the kinetic motion of the bead during the rotation of the fixed axis， the general kinematic equations of the bead are established by the Lagrangian equations of the bead. A modified friction force is proposed based on the kinematic equation of the bead and the variation of the angular velocity of the bead with the angle is analyzed from the energy point of view. The variation of the angular velocity of the bead with the equilibrium position under different conditions of friction coefficient is also analyzed. The experiment is designed to meet the requirements of a set of devices， combined with the experimental data and theoretical equations to analyze the degree of compliance between the two. The conclusion shows that the equilibrium of the beads' motion is basically consistent with the theory through the fitting of several sets of experimental data， and the equation of motion of the angular velocity of the beads is basically consistent with the experimental data. The change of friction coefficient can change the value of angular velocity in a small range， and the equilibrium position of the beads is independent of the friction coefficient.

Keywords： multi-body dynamics; fixed-axis rotation; lagrangian equation

0 引言

多體動力學是力學問題的一個重要分支。在各個領域都有較為深入的研究。近年來，人們對于多體運動學的研究更為深入。其中在多體運動學領域對于“珠子動力學”的研究引發專家關注。“珠子動力學”的工作原理為：將一珠子放入圓槽中，圓槽以恒定的角速度運轉。珠子通過與圓槽之間相互作用，從而沿著圓槽弧線向上/向下運動。Shovan Dutta[1]通過應用泰勒公式展開對珠子運動學模型進行分析。Ryn Seng，Michael Meeks[2]以理論力學角度深入分析了珠子的整個受力情況，進而給出了珠子運動模型的解釋。Lisandro A Raviola， Maximiliano E Véliz[3]設計了一個可以合理測量珠子運動高度的裝置，并合理分析了凹槽輪廓對于珠子的滾動約束影響并比較了角速度的差值。

首先建立了珠子的拉格朗日方程并得到珠子的穩定曲線，然后基于能量學方程建立了珠子的運動學方程，并提出了摩擦力修正項。研究在不同摩擦系數條情況下珠子的運動平衡情況變化。同時設計一套試驗裝置，分析了試驗數據與理論的貼合程度，進而驗證結論。

1 理論模型

1.1 珠子平衡模型

將一個質量為m、直徑為d的小球放入半徑為R的圓環內，圓環可以繞豎直軸以一定角速度ω旋轉（見圖1）。由于小球受到圓環的作用從而產生運動，在運動過程中的任意時刻，小球的高度距離底面高度為h，夾角為θ，則在上升過程中，珠子的動能Ek與勢能Ep公式為

因此，拉格朗日方程表達式為

由拉格朗日定義可知，

無摩擦條件下珠子的運動的一般方程為

由于實際過程中存在不可避免的摩擦力影響，加入摩擦力修正項[μθm]，

求解最終解得，

應用MATLAB繪制珠子平衡位置的理論圖像如圖2所示。

1.2 珠子角速度運動模型

在實際過程中，珠子自身的滾動動能部分由于較小，基本可以忽略不計。為了更好描述模型，珠子的整體受力情況[4]示意圖如圖3所示。

依據珠子的受力模型，珠子在上升的運動過程中，計算珠子做功的表達式為

式中：ω1為小球角速度，F1為離心力，Ff為滑動摩擦，r為珠子的半徑。其中，離心力F1與摩擦力Ff表達式為

將圓環與珠子作為一個系統，根據點的合成運動，珠子的絕對速度等于相對速度加上牽連速度矢量和。

va是絕對速度，也是鋼球相對于靜參考系運動的速度，其大小和方向都未知;ve是牽連速度，是圓環上與鋼球重合的那一點相對于靜參考系的運動速度;vr是牽連速度是珠子瞬時動系上與動點相重合之點的速度。牽連速度ve與相對速度vr表達式為

將（10）式代入（9）式矢量加和最終可得絕對速度的公式為

代入（7）式最終求得小球角速度的表達式為：

理論曲線為在圓環角速度為3.0 r/s條件下進行，曲線中珠子的角速度先隨著角度增加而增大，然后隨著角度增加角速度減小。在垂線處為珠子的平衡位置點。理論曲線基本驗證了珠子角速度與珠子上升高度關系，同時在角速度與角度的圖像上能夠找到珠子的運動平衡點。由于平衡情況，珠子是相對圓環靜止的，珠子相對于圓環速度為0。珠子的相對速度等效珠子的角速度。因此，珠子角速度為0的點即珠子運動平衡位置。圖4進一步解釋公式（1）忽略珠子角速度動能的原因，由于珠子的轉動動能遠小于珠子的動能，因而可以忽略。公式（12）（13）為珠子的角速度運動學模型理論，珠子的角速度變化與摩擦力、轉過角度以及環半徑有關。

本節內容主要建立珠子的平衡方程以及珠子的角速度運動學模型，并通過MATLAB軟件繪制圖像分析珠子的運動情況。

2 試驗設計與操作

2.1 試驗儀器設計

將質量約為10 g的小球放入圓槽半徑為250 mm的圓環，通過步進電機驅動。步進電機由伺服控制器控制，角速度由步進電機調速器調整[6～8]。試驗設備具體如圖5所示。

為了滿足試驗過程的參數需要，針對需要物理量如數值、材質等進行相關參數說明，如表1、表2所示。

將珠子放在一定高度無初速度釋放，通過攝像頭拍攝視頻，幀率為35幀。測量珠子與軌道之間的滑動摩擦系數，測量過程中無外界干擾保證滑動摩擦系數測量過程中的穩定性與準確性。摩擦系數測量結果如圖6所示。

阻尼正弦波（Damped Sine Wave）是振幅會隨時間增長而趨向零的正弦波函數。珠子由一定高度自由釋放隨時間變化，最終振幅趨于0符合阻尼正弦波。因此，擬合應用阻尼正弦波計算珠子的阻尼系數。珠子最終摩擦系數為0.08～0.30。

至此，為了實現研究的目標，珠子相關參數與物理量基本設計完成。

2.2 試驗測量

在文獻[1]中為了測量珠子的平衡高度，通過攝像頭拍攝試驗視頻，幀數為30。但針對于文獻[1]攝像頭在上方，采取俯視圖讀數不利于角度的讀取，在讀數上誤差較大。本試驗設計思路與文獻[3]類似，采取正視圖讀取數據，這樣能夠避免人為讀數誤差，且更加直觀。進行多次試驗減小誤差并應用tracker軟件對試驗視頻進行數據處理。通過tracker軟件對試驗過程中珠子進行定標處理。

通過多組試驗進行平衡數據采集，同時試驗過程排除外界因素干擾。理論曲線與實際曲線變化趨勢基本符合（見圖7），但在一定程度上減小了誤差。試驗過程中由于受拍攝視頻幀數的誤差影響，模型較為精確，基本驗證了公式（5）（6）。

通過公式（12）（13）改變摩擦系數研究對于珠子的角速度、珠子平衡位置的影響，如圖8所示。結果表明，對于珠子的角速度產生了較小的變化，且對于珠子的平衡位置幾乎沒有影響。

3 結論

研究定軸轉動過程中珠子的動力學運動規律，建立了珠子的平衡方程以及角速度方程。同時，對于平衡方程提出了摩擦力修正項。從珠子的拉格朗日學方程分析了珠子的平衡變化趨勢。應用阻尼正弦波擬合計算無初速度在一定高度釋放的摩擦系數。基于能量方程分析了珠子角速度的變化。結合多組試驗數據分析，珠子的運動平衡情況基本與理論一致，珠子的角速度運動方程與試驗數據基本吻合。同時，分析了不同摩擦系數與平衡位置的關系，摩擦系數的改變能夠在較小范圍內改變角速度的數值，珠子的平衡位置與摩擦系數無關。

參考文獻：

[1] DUTTA S，RAY S. Bead on a rotating circular hoop： a simple yet feature-rich dynamical system[J]. physics， 2011.

[2] SENG R，MEEKS M. A Bead on a Rotating hoop.ResearchGate：Find and share research[Z].2008.

[3]LISANDRO A R， MAXIMILIANO E V，HORACIO D S. The bead on a rotating hoop revisited： an unexpected resonance[J].IOPscience， 2017.

[4] 哈爾濱工業大學理論力學教研室.理論力學（I）[M].8版.北京：高等教育出版社，2016.

[5] 王燕玲.多體動力學在機械工程領域的應用[J].江西電力職業技術學院學，2021，34（1）：12-14.

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[7] 溫國偉.多體運動學在機械工程領域的應用分析[J].科技視界，2017（13）：89.

[8] 李道力，于珈懿，高粼澤，等.多體動力學在機械工程領域的應用[J].湖北農機化，2019（12）：33.

收稿日期：2021-11-05

基金項目：國家自然基金項目“基于消除光柵衰減的高性能光致聚合全息存儲材料研究”（No.11604223）;遼寧省教育廳科研項目“適于體全息存儲的新型光致聚合物材料研制及其光動力學研究”（No.JYT19047）;遼寧省自然科學基金項目“高性能光致聚合信息存儲材料應用研究”（No.2019-ZD-0222）;國家級大學生創新創業訓練計劃項目“基于Ansys有限元分析無人機結構設計與分析”（No.202110143007）。

作者簡介：趙建策（2002—），男，本科生，研究方向：飛行器設計。

通信作者：王珩（1982—），男，博士，副教授，研究方向：材料。

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