一道習(xí)題兩個答案的背后……

王永生

[摘 要]習(xí)題是訓(xùn)練學(xué)生思辨力的主陣地，能幫助學(xué)生提高數(shù)學(xué)閱讀能力。教師在指導(dǎo)學(xué)生解決問題的過程中，要事前作好規(guī)劃和決策，總攬全局，科學(xué)籌劃，培養(yǎng)學(xué)生的審題能力和分析能力，這樣才能提高學(xué)生解決問題的能力。

[關(guān)鍵詞]數(shù)學(xué);審題;計費;服務(wù);流量;追及;最少

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2022）02-0021-03

筆者在一篇文章中看到一道題目：

中國電信公司為了拓展5 G網(wǎng)絡(luò)業(yè)務(wù)，特推出兩種優(yōu)惠方案，具體預(yù)案如下表。

當天翼手機用戶每月上網(wǎng)流量最少是多少時，兩種方案收取的費用相等？

學(xué)生解答該題時，出現(xiàn)了兩種不同的思路和兩個答案。

一種思路是計算兩種方案保底消費的差價可支付多少超額流量：60-40=20（元），20÷0.2=100（G），100+60=160（G）。通過檢驗對比發(fā)現(xiàn)該思路的答案是正確的。

另一種思路則是采用設(shè)未知數(shù)列方程解應(yīng)用題的方法，直接設(shè)未知數(shù)，然后根據(jù)題干中兩種方案收取的網(wǎng)費相等作為等量關(guān)系來列方程：設(shè)每月上網(wǎng)流量最少為x G時兩種方案征收的流量服務(wù)費相等，因此，40+（x-60）×0.2=60+（x-200）×0.3，解得x=280。通過檢驗所列方程和所求解，發(fā)現(xiàn)居然也是正確的。

為何會出現(xiàn)兩個不同的答案？而且兩個不同的答案居然都正確。對于這道題來說，正確答案只會是其中之一，那么是哪個呢？

一、在對比檢驗中找出多解原因

原文作者引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)討論，通過方方面面的對比，最后找到了原因：發(fā)現(xiàn)未知數(shù)x是上網(wǎng)流量，這個流量可能大于200 G，也可能少于200 G，第二種思路是用方程法解，其列式默認流量比200 G多，因為兩邊都減去了保底消費固定流量，所以此處的實際使用流量默認大于200 G。而兩種方案都涉及分段收費，也就是月結(jié)算使用流量未超出保底流量時，統(tǒng)一收取定額費用，因此還存在介于兩個保底流量之間的使用量，其中一種方案按照保底消費收費，另一種按照分段計費，所以還應(yīng)該列出一個流量比200 G少但是比60 G多的方程，即設(shè)每月流量最少為x G（60

在這種情況下，即在流量達到160 G時，方案一使用了100 G的超標部分加收的流量費20元，再加上方案一的保底消費40元，共計60元，而這個實用額度160 G在方案二中屬于保底范圍，也就是說160 G還在每月固定流量200 G內(nèi)，需要繳納的流量費仍屬于保底消費60元，此時在方案二下是一個恒量，與未知數(shù)x的大小無關(guān)，況且題目問的是“當天翼手機用戶每月上網(wǎng)流量最少是多少G時，兩種方案征收的費用相等”。題中出現(xiàn)了“最少”，這是一個極易被忽略的關(guān)鍵詞。因為這個關(guān)鍵詞的存在，所以還要在兩個可行答案里做一番篩選，去掉較大的值，也就是280 G，而保留160 G作為最終答案。因此，該題的答案應(yīng)該是160 G。

此類問題，比過去單一的分段計費問題更加復(fù)雜，因為增加了另一種收費方式，兩種收費方式都是分段的，而且分段區(qū)間是錯開的，學(xué)生很難兼顧到兩種方式的動態(tài)變化。實際上，這類題的難點在于，未知數(shù)到達某個值時，其中起步價高一些的計費模式處于靜止定額狀態(tài)時，另一種模式已經(jīng)啟動加收程序。如方案二流量在200 G以內(nèi)費用固定為60元，而將這個60元作為方案一的收費，則會計算出一個新的流量數(shù)，此時，二者相等其實是固定方案二的起步價而等待方案一的追平。但是，在兩種方案同時達到60元額度、流量達到160 G后，方案二的費用還要維持60元一段時間，而此時，方案一已經(jīng)開始持續(xù)低速上升，方案二達到200 G保底額度后，才開始高速追趕，最后動態(tài)追平方案一的收費。轉(zhuǎn)換成統(tǒng)計圖如下：

二、類比遷移到“追及問題”的缺陷

之后原文作者又借題發(fā)揮，類比遷移到“追及問題”中，把該問題比擬成追及問題：兩名跑步選手本身就拉開了一段距離，快者在前，慢者在后，一開始行進速度快者原地不動，行進速度慢者追上行進速度快者（類比160 G），行進速度快者還是沒動，行進速度慢者繼續(xù)往前跑，等行進速度慢者跑了一段時間，到了行進速度快者起程的時間，行進速度快者才開始追趕進速度慢者，經(jīng)過一段時間（類比280 G），行進速度快者追上了行進速度慢者，再之后行進速度快者和行進速度慢者都在跑，行進速度慢者就永遠追不上行進速度快者了，也就沒有第三次追及了。

筆者認為原文作者的遷移能力和聯(lián)想能力非常高超，但是解題思路及決策路線存在瑕疵。

眾所周知，在解決應(yīng)用題時，首要任務(wù)就是審題，將題干中涉及的信息一字一字讀清楚，不漏放任何一個細節(jié)和任何一個邏輯關(guān)鍵詞。就本題而言，由于原文作者和學(xué)生在列方程時本身就審題不到位，忽略了題干中能夠影響和左右解題思路和問題走向的關(guān)鍵詞“最少”，這是一個邏輯關(guān)聯(lián)詞，限定了答案的范圍，但是可惜被無視了。于是原文作者和學(xué)生就稀里糊涂得出兩個答案，而且作了一番驗算后，發(fā)現(xiàn)兩個答案都是正確的，而且無懈可擊、無法駁倒。他們沒有用發(fā)展變化聯(lián)系的眼光來看待兩個答案，把它們看成是孤立存在的，從而引發(fā)了為什么會有不同但是都正確的答案的疑惑。

實際上，從該題“當用戶每月上網(wǎng)流量最少是多少G時，兩種方案征收的費用相等”中，就可以敏銳判斷出無線流量服務(wù)費相等的流量節(jié)點至少有兩個，否則邏輯關(guān)聯(lián)詞“最少”就是廢話。而數(shù)學(xué)語言的凝練簡潔告訴我們，這種決定問題走向影響解題大勢的邏輯關(guān)聯(lián)詞是不會輕易出現(xiàn)的，事出必有因，所以當學(xué)生求得流量達到160 G時流量費相等，教師就應(yīng)該敏銳覺察到此時的流量節(jié)點超過了方案一的固定流量，而沒有達到方案二的固定流量。也就是說，方案一加收超額流量費后，方案二還是保底消費，也就是方案一的超額收費追平方案二的定額收費，而在前期雙方都未達到節(jié)點時，發(fā)現(xiàn)方案一的收費無論如何都不可能與方案二的收費相等（40<60），此時就應(yīng)該推斷出160 G是首次追平的流量節(jié)點，那么還存在第二次追平，就是月使用流量超過方案二的固定流量（200 G）后，方案二的收費就會逆勢上漲（因為0.3元>0.2元）。教師引導(dǎo)學(xué)生尋求流量費用相等的另外一個流量節(jié)點，這個流量節(jié)點預(yù)判出現(xiàn)在200 G后，再通過比較得出最少的流量節(jié)點，而不是在學(xué)生誤打誤撞得出答案后討論為什么會有不同但是都正確的答案。這個問題本身就很幼稚，也容易誤導(dǎo)學(xué)生，出現(xiàn)“一問兩答”的尷尬局面。

由此可見，原文作者在指導(dǎo)學(xué)生解決問題時審題嚴重不過關(guān)且敷衍。如果按原文作者的做法，那么在學(xué)生獨立解決該問題時，當求出一個流量費用相等的流量節(jié)點后就不可能再分析是否有流量費用相等的其他的流量節(jié)點，因為根據(jù)答案的唯一性，求出一個流量節(jié)點就算大功告成。毫無疑問，這不僅會讓學(xué)生養(yǎng)成麻痹大意的習(xí)慣，還容易制造錯解。

因為意外出現(xiàn)了兩個答案，才引起教師的重視，去深入探究這個問題，但是這種探究其實是沒有必要的，甚至將簡單問題復(fù)雜化，這種復(fù)雜的雙線變化問題，明顯已經(jīng)超綱，而且也不符合分段收費教學(xué)的真正目標定位。造成這種被動局面的原因是審題不嚴，教師沒有把握好這類題目的關(guān)鍵命門。題中說到的“最少”其實已經(jīng)指明了方向，學(xué)生只要對比分析出：方案一收費模式的基礎(chǔ)額度低于方案二的，起步價也低于方案二的，而且增速也低于方案二的。如此一來，在方案一收費模式的增長階段和方案二收費模式的停滯階段，也就是60 G和200 G之間，必有一個交匯點，這個交匯點就是最小值，因為此時方案二是保底收費，只能是方案一去追平方案二的收費，而方案二的收費無法降至與方案一收費相等。

三、折線統(tǒng)計圖的啟用

筆者佩服原文作者豐富的想象力，在確定是否還有其他流量費用相等的流量節(jié)點時，腦洞大開地把該問題類比遷移成“追及問題”模型，從而讓學(xué)生在直觀的行程問題中類推揣摩，明白除了上面兩個答案，絕無第三個答案的可能。

但是這種遷移類比是要以學(xué)生對追及問題爛熟于心為前提的，而教材沒有單設(shè)這一內(nèi)容，教材中只有行程問題中的相遇問題，鮮有提及追及問題，追及問題只是課后的拓展內(nèi)容。如果學(xué)生對“追及問題”本身就一知半解，或者印象模糊，那么也就不可能想象出追及問題的情境。更何況課外教輔中追及問題的變形變式很多，很多編者將追及問題中的追及過程編寫得曲折離奇，其過程復(fù)雜多樣，所以筆者認為讓學(xué)生通過追及問題來對照理解只有兩個流量費用相等的流量節(jié)點還是有困難的。那么如何讓學(xué)生明白流量費用相等的流量節(jié)點只有這兩個呢？筆者認為折線圖是首選。

觀察分析折線圖可以直觀地發(fā)現(xiàn)：表示方案一的折線與表示方案二的折線在160 G和280 G這兩個坐標處匯合。對照縱坐標可以看出，這兩種方案在160 G和280 G時流量費用相等，第一次是60元，第二次高于60元。流量超過280 G后，兩條折線的差距越拉越大，從趨勢上看漸行漸遠，不可能再交匯，所以流量費用相等的流量節(jié)點只有兩個。

通過復(fù)式折線圖還容易看出流量少于160 G時，方案一的流量費用一直少于方案二的;流量處于160 G和280 G之間時，方案一的流量費用反超方案二的流量費用;流量多于280 G時，方案一的流量費用又處于劣勢，方案二的流量費用逆勢而上。兩種方案費用的對比“反轉(zhuǎn)再反轉(zhuǎn)”，所以作為天翼手機用戶，如果每月流量少于160 G或多于280 G，選擇方案一比較劃算，而流量恰在160 G與280 G之間，那么選擇方案二比較劃算，這樣不僅保留原有情境，還讓學(xué)生在回顧和起用舊知復(fù)式折線統(tǒng)計圖的同時，進一步體驗到復(fù)式折線統(tǒng)計圖能反映多組數(shù)據(jù)對比高低和變化趨勢的特性，逐漸形成分類討論和分段計費思想以及數(shù)形結(jié)合的思想。

將收費問題轉(zhuǎn)化成追及問題，似乎只有通過折線統(tǒng)計圖才能展現(xiàn)出來，這種直觀的手段可以很好地揭示出兩個變量的對應(yīng)關(guān)系，但是如果從問題本身的角度出發(fā)，這種做法似乎又增加了思考難度，因為學(xué)生必須清楚地理解數(shù)量關(guān)系才能成功繪制出復(fù)式折線統(tǒng)計圖。而繪制復(fù)式折線統(tǒng)計圖的難點在于學(xué)生要相對準確地把握各個量的大致差距以及增長性收費的增長率，也就是折線的斜率，這些都需要學(xué)生對數(shù)據(jù)變化有敏銳的洞察力和判斷力，而如果學(xué)生真有這種分析力，那么脫離折線統(tǒng)計圖同樣也能找到正解。

綜上所述，習(xí)題是訓(xùn)練學(xué)生思辨力的主陣地，教師在指導(dǎo)學(xué)生解決問題的過程中，要事前作好規(guī)劃和決策，培養(yǎng)學(xué)生的審題能力和分析能力，總攬全局，科學(xué)籌劃，這樣才能提高學(xué)生對問題的解決能力。

[ 參 考 文 獻 ]

[1] 鄭保華.小學(xué)數(shù)學(xué)“問題解決”教學(xué)的優(yōu)化策略[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2021（04）.

[2] 劉春風.優(yōu)化小學(xué)數(shù)學(xué)解決問題的教學(xué)策略[J].基礎(chǔ)教育研究，2019（06）.

[3] 苗培林.小學(xué)數(shù)學(xué)問題解決的優(yōu)化策略[J].教書育人，2017（28）.

（責編 吳美玲）