實驗操作讓思維看得見，數字才能符號化

吳國慶

[摘 要]根據皮亞杰等人的研究，兒童直到具體運算階段后期（11-12歲）才會形成一定的逆向思維和平衡觀念，即代數思維要等到這個時候才能成熟。然而，通過設計數學實驗，可以將抽象的思維于操作流程中外顯，讓低年段學生也能夠運用數學視角思考問題，形成初級的代數思維。

[關鍵詞]代數思維;同化;思維可視化;符號化

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2022）02-0030-03

在一次家長開放日中，一位一年級的家長反映，自己的孩子對“20以內加減法”早已手到擒來，但是遇到變形算式“□=2+4”時，孩子居然束手無策。她的言下之意是，既然孩子會做“2+4=□”，那調換等號左右兩邊的內容后也應該會做。那么，“2+4=□”“□=2+4”這兩個式子真的一模一樣嗎？其實，雖然兩個式子的字符一樣，但是解題的思路卻是互逆的。對于“2+4=□”，就是將兩個數字通過加法合并成一個數，這是典型的加法運算，是順向思維;對于“□=2+4”，則是將一個未知數拆成兩個數的和的形式，運用的是加法的逆向思維，這對一年級學生來說是有難度的。

一、追根溯源，理論研究

等式左右平衡的觀念其實就是代數思想。學生從具體的算術思維跨度到抽象的代數思維困難重重。一方面，具體數字的表象根深蒂固;另一方面，代數思維的體驗和情境太少。代數思維的教學應從何時開始？按教材設計，學生要等到五年級學習用字母表示數時，為了順利學習方程才開始初步接觸代數思維。那么，可否在低年級學習數字運算時交織滲透代數思維？

路易斯·拉弗德研究發現，低年級學生可以部分理解以及表層接受非符號化的代數思維。可惜，他只提出這種可能性的設想，卻沒有找到可靠的措施去實現學生的代數思維的發展。國內學者張丹則從另一個角度給了我們提示：學生排斥代數思維的原因，主要在于他們習慣將等號看成是導出結果的流程性符號，而不是連接相等關系的連接符號。換言之，我們不妨從等式的意義著手來開發學生的代數思維。等號的意義究竟是什么？它具有什么功能？大多數學生覺得等號只是導出計算結果的流程性符號，如加、減、乘、除運算的結果都用等號導出。其實，等號的價值遠不止于此。首先，等號是沒有方向性的，既可以從左看到右，也可以從右看到左。其次，等號兩邊的性質都是一樣的，如方程里的等號、化學方程式里的等號都是等價的意思，也就是左右兩邊具有同等效應。但是這種觀念在學生心目中很難根植，學生一見到等號就會聯想到左邊是運算、右邊是結果，這樣一來，遇到分解數字的題目就束手無策了。另外，“2+4=□”“□=2+4”這兩個式子里的等號還涉及集合映射概念，如“2+4=□”，左邊的算式集合具有多個元素，右邊的數字集合只有一個元素，學生容易接受這樣多對一的聚合狀映射。反過來，如“□=2+4”，左邊的數字集合只有一個元素，右邊的算式集合有多個元素，一對多的離散狀映射呈現不確定性，學生接受起來有難度。

二、實驗過程

等式的理解對低年級學生來說是難點，教師的教學需要生動有趣，并以直觀的實驗探究為主。本校開發了《數學實驗》的校本課程，正好為本次研究帶來了契機。結合家長的反饋，本校數學教研組開展了“玩轉數字天平”的數學實驗課。

1.實驗前測

5+3=2+□? ? 1+□=6+3? ? ? ? □=5+5

7+2=□+4? ? 9=□+□+□? ? □+□=□+□

2.數學實驗課

時長：60分鐘。

實驗目的：滲透和培植等式的平衡意義。

實驗材料：模擬數字天平、若干金屬螺栓。

【實驗一】認識天平，記錄“平衡”。

（1）教師可以先隱去數字，從生活中的蹺蹺板引入，讓學生了解天平的功能和工作原理。教師出示實驗材料，并提問：“用2個相同的螺栓，怎么配置可以讓天平穩定在平衡狀態？”學生操作后得知，只要2個螺栓離支點距離相等，天平就能穩定在平衡狀態。學生根據總結出的規律，將螺栓數量用數字代替。教師再次引導提問：“這時天平怎樣可以穩定在平衡狀態呢？”學生經過數字推演，發現只要左右兩邊數字相等，天平就能達到平衡狀態。

（2）教師提問：“天平平衡時，如何描述和記錄這個擺放情形？”學生嘗試用各種圖標、符號表示。果然如路易斯·拉弗德所說，低年級學生僅可以部分理解以及表層接受非符號化的代數思維。

（3）教師介紹“=”，用等號可以表示左右兩端的平衡關系，如1=1，2=2，3=3，…，10=10。

【實驗二】當天平左邊放置6個螺栓時，右邊怎么放螺栓，天平才會達到平衡狀態？

（1）教師邊操作邊引導：“若左邊放置6個螺栓，右邊放置2個螺栓，要使天平穩定在平衡狀態，接下來該怎么放？”實驗探究的長處展露無遺。如果僅僅紙上談兵讓學生思考6=□+□，學生容易淺嘗輒止，而實驗游戲就不同，學生可以不斷嘗試、反思和調整策略。實驗中，有學生這樣做，左邊放置6個螺栓，右邊已有2個螺栓，嘗試在右邊添加6個螺栓，發現天平向右傾斜，于是下調到5個、4個，直到平衡。在反復的操作、記錄、對比、推理、猜想和驗證中，學生發現了只要天平兩邊的螺栓總數相等，即都為6個，天平就能穩定在平衡狀態，可以用“=”連接。式子6=2+4，左邊的數字“6”和右邊的數字“2”“4”表示兩種承重意義，等號在此處表示達到左右平衡，而不是導出計算結果的作用。

（2）交流與反饋。通過交流與反饋，學生厘清了思緒，并找出了其他平衡狀態：6=1+5，6=2+4，6=3+3。

【實驗三】假設有20個螺栓，應該怎么放置，天平才會達到平衡狀態？

通過前兩輪實驗，學生漸漸摸出規律：只要天平左右兩邊的螺栓總數相等，天平就會平衡。現在一共有20個螺栓，怎么分配，天平才會平衡呢？這一輪實驗有附加要求：①先設想左右各放多少個螺栓，天平才會平衡;②把設計的數字分左右兩側記錄下來;③在模擬平衡實驗中，如果數字天平平衡，就在中間畫“=”。將20個螺栓放到天平兩端，可以形成多少個等式？這個實驗在三個班級試點，課堂氛圍超出預設。有學生在天平左邊放10個螺栓，右邊分兩堆放入（3+7）個、（4+6）個、（5+5）個;有學生在天平兩邊各放10個;還有學生在天平左邊分兩堆放入（3+7）個、（8+2）個，右邊分三堆放入（3+3+4）個、（3+5+2）個……60分鐘的實驗課結束，學生意猶未盡。

回歸本源，學生在理論和心理上難以接受等式的平衡性，那么就只能返璞歸真，從基本的平衡工具——天平的平衡實驗出發，讓學生直觀感受天平的平衡原理以及操作技巧：無論放置的是何種物品，無論是何種碼放形態，只要兩邊等重，就可以讓天平平衡。這就最大程度地揭示出等式的性質以及等號的真諦。特別是通過固定一端的物品，而不斷調整另一端的物品數量組合情況，甚至同時調整兩端的物品數量，讓天平從傾斜狀態逐漸調整到平衡狀態。在這個過程中，學生再次體會到，左右兩邊誰也不是主導，誰也不能主宰誰，誰也不是固定的“秤砣”，誰也不是誰的數值之和，二者在性質、身份、本質上均是平等的。類比到等式中，所有左右兩邊相等且用等號連接的式子都是等式，不論有沒有實際意義，如1=1，3+7=2×5，20÷5=2×2，9=3+6，這些都是合格的等式。只要學生嚴格遵循這一條，那么任何拆數分解的題就可以迎刃而解。

三、實驗反思

1.數據收集

隨后，我們開展后測，試題與前測相同。全班36人，前、后測數據對比如下。

數據顯示，通過實驗操作后，學生的認知水平直線上升。

2.反思分析

小學生和成人在思維上存在較大差別，反復講解并不利于學生接受和理解知識，原因是他們頭腦中的思維表象太少，可用的假想材料寥寥無幾。按照皮亞杰的理論，兒童的思維是在與周圍現實環境的互動中不斷積累的，外部世界直觀投射的映像塑造著學生的認知結構。兒童思維與環境映像的相互作用有兩大基本環節：同化與順應。

當兒童能用現有思維同化異質信息時，就是內外平衡的狀態（同化）;反之則代表內外平衡被打破，此時就需要建立新思維構架來容納外部刺激，以達到新的平衡（順應）。兒童的思維水平就是在不斷同化和順應的良性循環中逐步建立的。那么，實驗中如何催動思維的順應與同化呢？無疑，數學實驗是首選。在實驗操作中，學生會不斷讓實驗結果朝著自己的固有認知方向發展（同化），假如實驗結果出人意料，學生就會調整思維，重新預設結果（順應），直到結果符合自己的構想為止。

在實驗中，學生的第一層意識是“同數即等式”，如1=1，2=2，3=3……一般常見的天平是等臂杠桿，只需在天平左右兩邊各放一堆物品，就能達到“一對一”平衡。而上面的實驗，物品是分堆放置的，需重新建立“一對二”“二對二”“二對三”形式的平衡。用天平做這個實驗有兩個優勢：一是維持總量持平;二是非常直觀，左右兩邊誰也不是誰的結果，它們只是一種對等關系。平衡的狀態可以用等式表示，直觀現象直接數字化。

學生的第二層意識是“等量即等式”。當天平左邊放置一堆6個螺栓，右邊的兩堆螺栓各設置多少個，天平才會平衡呢？原先“放同一個數”的固有認知被打破，學生嘗試實驗，先確定一堆有5個，另一堆通過調試：4→3→2→1，天平的傾斜角度逐漸縮小，直到放置1個時，天平平衡了！學生記下第一個等式：6=5+1。在實驗中，學生通過觀察、預估、思考和操作，成功記錄第一個等式。整個過程，由于不斷調整思路與修改操作，抽象思維外顯為操作步驟，認知過程的同化與順應不斷交迭，學生的思維能力得到了內化。

學生的第三層意識是突破“總和相等即等式”。當實驗增加到用20個螺栓時，要求兩邊均不少于一堆，怎么放天平才會平衡呢？新的異質信息出現，學生的潛能被激發出來。有學生在左邊放兩堆，在右邊也放兩堆，如2+8=4+6，1+9=3+7;有學生在左邊放兩堆，在右邊放三堆，如2+8=1+3+6，3+7=2+5+3，等等。學生發現只要左右兩邊螺栓的總數相等，天平就會平衡，其結果就能數字化為等式。在這樣的數學實驗課中，學生意識到每個數字都可以自由變動，結果不是唯一的，只要兩邊各堆加起來的和相等即可，數值并不重要，它只是一個抽象的符號，要淡化數字的“絕對值”，突顯其“符號化”。

實驗操作永遠是掌握真知的康莊大道，但是，如果僅僅通過單調的操作，就對新知識、新規律、新概念進行直觀演示與赤裸披露，這樣對學生產生的沖擊力過大、過猛。學生接受暴風雨式的洗禮，一時難以適應，導致新知進入原有認知結構產生排異反應，這就是所謂的異質結構。學生習慣將等號看成是計算結果的導出標志，如果突然來個180°大轉彎，不由分說地證明等號是平衡的標志，學生在遇到相關題目后，不知如何是好，就會產生激烈的思想沖突，說不定原有的偏執會報復性反彈，他們會更加頑固地認定，等號就是計算結果的導出標志，只是算式和得數調換了位置。只有在學生原有的認知結構中找到同質成分，將外來觀念一步步同化，才能被學生順利接受，且毫無違和感。要做到這種理想的同化吸收，還得依靠天平的演示類比，只不過此時的操作已經不是彼時的操作，而是帶有理性思考的求證性操作。

這樣的數學實驗課叫好又叫座。教師不用多費唇舌，可以放手讓學生嘗試。只有在實驗中才有同化與順應的機會，思維才能得到發展與提升。實驗的優勢在于操作步驟可以直觀反映思維過程，操作有直觀、確定、權威的結果，而操作的結果又可以反饋給思維，得到檢驗，如此不斷循環往復，思維層層攀升，把兒童代數思維的發展變得切實可行。

[ 參 考 文 獻 ]

[1] 梁春梅.數學實驗“數學化”途徑探索[J].基礎教育研究，2021（05）.

[2] 陳燕.淺談小學數學實驗工具的開發和利用[J].小學教學研究，2021（10）.

[3] 糜紅玲.淺談小學數學實驗材料的開發和應用[J].新教育，2021（23）.

[4] 李國敏.數學實驗教學在小學數學課堂中的應用[J].天津教育，2021（27）.

[5] 劉怡.數學實驗助力小學數學課堂教學[J].新教育，2021（29）.

（責編 李琪琦）