在“分數的意義”復習課中積累數學活動經驗

許明堅

[摘 要]在教學“分數的意義”的復習課時，教師應指引學生通過實踐操作、反思、研究討論等環節，不斷汲取必需的數學知識和技能，積累必備的數學思想方法和活動經驗。

[關鍵詞]分數;平均分;單位“1”

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2022）02-0075-03

課程標準中關于積累數學活動經驗的要求，不僅對新授課管用，對復習課也同樣有用。即便是在復習課中，教師也要將此要求堅決貫徹到底，不能打折扣。筆者仔細揣摩和研究了這個教學要求，結合復習課“梳理全局”“綜合應用”“延展提高”三部曲，以“分數的意義”復習課為例，論述數學復習課的三大策略。

一、連：梳理全局，前后貫通，夯實基本面

【片段一】

師：本學期我們進一步認識了分數，現在再度與分數相逢，你有哪些新的收獲？

（學生討論分數的意義、分數的分類、分數單位的區別、分數與小數的關系）

師：咱們先從分數的意義切入，請講一講分數的基本意義。

（教師板書：將單位“1”平均分成若干份，表示這樣的一份或幾份的數叫作分數）

師（出示課后練習第1題，見圖1）：分數不但可以用圖形的涂色部分來表示，還可以用數軸上的點來表示。你能將這些分數進行分類嗎？

生1：我將這些分數分別與單位“1”比較，將分數劃分為真分數和假分數兩大類。真分數就是分子小于分母的分數，其分數值小于1，反映到數軸上就排布在0和1之間，即真分數都比1小;假分數的分子大于或等于分母，假分數大于或等于1。

（教師板書：真分數<1≤假分數）

師（出示課本例題與課后練習第2題與數軸）：[15]處于數軸的什么位置呢？[23] 、[112] 、[54]呢？

生2：像[54]這樣的假分數，可以按照一定的方法將它化成整數或者帶分數，然后在數軸上找出它的位置。

師：這些分數的數值各不相同，那它們的分數單位是一致的嗎？請說一說它們的分數單位分別是什么。為何有的分數單位相同，有的不同？到底是什么決定了分數的分數單位？如果把單位“1”平均分成n份，那么無論取多少份，所得到的分數的分數單位都是[1n]。分數[52]還能用其他得到的數來表示嗎？

生3：可以，[52]=2.5。用分數的分子除以分母，計算出結果，就能得到相應的小數。

師：剛才你們運用除法將分數轉化成小數，那分數與除法之間有什么關系？[板書：[ab]=a[÷]b（b≠0）]現在，數軸上既有分數也有整數和小數，這些數都有自己的計數單位，請你們說一說1.25、2.5、3的計數單位分別是什么，并在數軸上標出它們的位置。（學生給出的答案見圖2）

師：數軸上的一個點，倘若用分數[15]刻畫，這個數的計數單位是什么？倘若用小數0.2刻畫，這個數的計數單位是什么？這個點用分數[66]刻畫時，這個數的計數單位是什么？用整數1刻畫時，這個數的計數單位又是什么？

生4：數軸上的同一個點，如果用不同形式的數表示，那么這個數的計數單位也不同。

【反思】

蘇教版數學教材的分數內容分為三大塊：第一塊是從認識物品開始，給出一個物品或圖形，通過切分一個物品或圖形，分出幾分之一和幾分之幾;第二塊是認識一些物品的集合體，也就是從一些物品中分出幾分之一和幾分之幾;第三塊是認識分數的算術意義，識別分數單位，區別真分數和假分數，以及理解和掌握分數和除法的運算關系，在此基礎上學會轉化分數和小數。筆者的教學設計遵循了這一編排邏輯，先引導學生獨立重構知識體系，再結合教材上的配套練習題，幫助學生鞏固有關分數的基礎知識。

分數具有多重意義，在不同的學習階段，學生需要掌握的分數意義是不同的。分數最原始的定義是對單位“1”的平均分，即便在這種定義下，學生對分數的書寫、表達還是有一些困惑，突出表現在對假分數的理解上。學生要想突破假分數這個難點，必須借助分數的第二重意義，即分數可以用來表示除法算式的商。在被除數大于除數的一般情況下，如果得不出整數商，就可以用一個假分數來表示：被除數作為分子，除數作為分母。從這個角度理解，假分數的存在是合情合理的。同時，對分數單位的梳理可以讓假分數獲得合理解釋。

二、練：綜合應用，查漏補缺，形成基本技能

【片段二】

師：前面我們從分數的意義、分數的計數單位、分數的分類、分數與除法的關系四個方面系統梳理了分數的有關知識，下面我們就學以致用。

練習1.物流顯示快件已經流轉了路線的[45]。[45]這個分數在這里作何解釋？

把（? ）看作單位“1”，將其平均分成（ ? ）份，（ ）占了（? ）份。[45]這個分數本身就暗含了一個除法運算的結果在里面，[45]=4÷5，如果將（? ）看作4份，那么（? ）就有5份。

練習2.大伯開車帶著陳鵬回家過年，在高速路上因超速受到處罰，大伯的平均車速是最高時速的[54]。這里的[54]有什么含義？

把（ ? ）看作單位“1”，將其平均分成（? ）份，（? ）占了（ ? ）份。改寫成除法算式就是5÷4=[54]，其中（? ）是5份，（? ）是4份。如果該路段限速80千米/時，那么大伯的駕車速度是多少呢？

練習3.如果把武漢到中轉站杭州的一條線路平均分成4份，把始發站武漢到終點站合肥的一段路平均分成5份，你能用[45]、[54]來編一道題嗎？

【反思】

綜合練習板塊，筆者設計了一個題組，密切結合生活情境，始終圍繞[45]和[54]這兩個互為倒數的分數。先引導學生理解真分數[45]，再引導學生理解和吃透假分數[54]的含義，最后通過對比，交叉滲透理解兩個分數，達到辯證統一的目標，使學生更加深刻、全面地掌握分數的意義，以及真分數和假分數在分數意義下的統一性，修補學生對分數與除法關系的認識漏洞。這樣的教學設計不但達到了檢修知識體系的目的，而且還讓學生學會了應用，幫助學生真正掌握有關分數的知識。

分數的意義的多重性常常會讓學生混淆，但是如果對分數的意義運用得當，也能起到互相促進、互利互惠的教學作用。讓學生在不同的含義之間來回穿梭，取長補短、揚長避短，如對[45]和[54]的理解，既可以根據現實情境，從分數的意義來理解（將一個整體平均分成5份，取其中4份），也可以從除法的角度理解（將4平均分成5份，每份是多少），還可以將兩個互為倒數的分數編進一個情境里，利用分數的第三重意義，即一個量占另一個量的幾分之幾，讓學生進一步感受分數的意義。誰占誰的幾分之幾，其實就是一個除法運算的比例問題，可以從基本意義的角度理解，一般將后者看成單位“1”，分成與實際數量相等的份數，1份1個，前者與之進行一一對應，對上了幾個，就是幾分之幾，只要將兩個數顛倒，就可以生成互為倒數的兩個分數，這樣不但讓學生加深了對分數內涵的認識，而且織牢、織密了分數各意義之間的交互關系。

三、煉：延展提高，錘煉思維，積累活動經驗

【片段三】

師（同時出示三組☆圖案）：畫一畫，使○的個數分別是每組☆的[23]。

（學生展示畫法）

師：為何大家畫的○的個數不一？

生1：因為每組☆的個數不一，也就意味著單位“1”的量各不相同，所以在平均分的份數相等的情況下，每一份的量也不一樣，因此對應的○的個數也不一樣。

師（出示面積為1平方米的長方形）：請在圖中表示出[34]平方米。

（學生在長方形上涂色，表示出[34]平方米，并展示交流：把面積為1平方米的長方形平均分成4個小長方形，其中3份就是[34]平方米，實際上就是選取1平方米的[34]）

師（出示一個面積為3平方米的正方形）：請在圖中表示出[34]平方米。

（學生自由發揮）

師（展示學生的兩種方法：第一種是把正方形平均分成4份，給其中1份涂色，第二種是把正方形平均分成4份，給其中3份涂色）：哪種方法是對的呢？

生2：第二種。可以借助分數和除法的關系來理解，[34]寫成除法算式是3÷4，根據除法運算的意義，就是把3平方米平均分成4份，進行等分除，除法運算的結果就表示每份數，也就是其中1份的量，這種方法得到的[34]平方米就表示3平方米的[14]。

師：通過以上作圖，我們認識到，[34]平方米可以是1平方米的[34]，也可以是3平方米的[14]，兩種理解方法都行得通。通過這次對比，你獲得了什么啟發？另外，對于[74]這個假分數，你有什么全新的理解？將你的想法寫下來，與大家交流。

【反思】

延展提高部分分為兩大環節，畫圓練習可以進一步滲透分數的原始意義，通過不同的畫法得出同一個分數，彰顯“殊途同歸”，使學生認識到同一個分數，如果參照的單位“1”的量不同，那么即便選取相同份數，每份數的量也不同。畫面積，重在貫通不同分數的意義與理解方式，構筑較為完備的分數認知體系，為寫分數打下基礎。寫分數的練習重在檢測學生對分數的理解情況。

分數如果僅僅作為一種新的數出場，其實不管其意義多么豐富、用途多么廣泛、內涵多么深刻、靈活性多么強，學生都可以通過教師的講解和自主練習熟練掌握，但是分數一旦與生活中的事物掛鉤，學生就會面臨理解上的一道鴻溝。學生平常理解整數的單位量就因為缺乏量感而倍感吃力，現在冒出一個分數，更是難以理解，因為分數的意義的特殊性、相對性和機變性在很多場合和情境下會產生歧義，給學生帶來理解障礙。如題：（1）一根繩子長5米，用去[13]米，還剩多少米？（2）一根繩子長5米，用去[13]，還剩幾米？“用去[13]米”和“用去[13]”一字之差，分數的意義就發生翻天覆地的變化，前者表示一個數值，后者表示一個比值。再如，1米的[34]和3米的[14]，意義不同，說法不同，但是最終的結果卻一致，恰是因為數據的巧合，這個用切分分析法理解很困難，而用分數的乘法運算機制則可以解釋清楚：1×[34]=3×[14]。

綜上所述，分數的意義和分數計算雖然豐富多彩、復雜多變，但是其基本意義不變，分數計算的算理是建立在兩個對比量（部分和整體或者具有對應關系的同類量）的比率和倍率運算上的，萬變不離其宗，只要在復雜多變的形式中堅持用單位“1”來連接、貫通分數的多重意義，就能靈活處理分數問題。

（責編 黃 露）