基于等效源法插值的聲場重放方法

杜博凱，曾向陽，洪 汐

(西北工業大學航海學院，陜西 西安 710072)

0 引 言

聲場重放(Sound Field Reproduction)旨在重現一個完整的聲學環境或者合成一個期望的聲學場景。空間聲場重放技術是一種通過耳機或者揚聲器陣列為聽者提供空間立體聲體驗的方法。使用揚聲器陣列的重放，可以構建較大區域的聲學環境以及構建相對較廣的聽音區域，近年來受到了廣泛的關注。

目前主流的揚聲器聲場重放方法為波場合成[1-3](Wave Field Synthesis, WFS)與高階高保真立體聲重放[4-6](Higher Order Ambisonics, HOA)。WFS 基于的是惠更斯原理(Huygens principle)以及 Kirchhoff-Helmholtz積分方程，即如果已知封閉曲面上聲壓和法向質點振速分布，那么可以在其表面布置一系列單極子和偶極子點聲源或平面波模型推導聲源的驅動函數。但是為了避免空間混疊，WFS通常需要幾十到幾千個揚聲器來實現聲場的重放，實用性與可操作性低，目前沒有商業性大規模推廣。HOA是另外一種常見的聲場重放方法，即將聲場在球坐標系下分解成一組球諧函數(基函數)的疊加，利用初級聲場和重放聲場之間的球諧函數模態進行匹配求解出次級聲源的驅動函數。但是 HOA技術也存在一些缺陷，為了提高重放聲場的精度，需要使用大量傳聲器采集聲場，且重放揚聲器需要特殊的排列形狀如球形或圓形等，實用性受到了一定的限制。

由于WFS與HOA系統在信號錄制與重放過程中的限制，一些研究也關注基于聲壓匹配法[7-8]的聲場重放方法。不同于WFS與HOA是基于潛在的空間連續物理問題的解析方法，聲壓匹配法(Pressure Matching, PM)是基于空間離散策略的方法。通常選取位于重放目標區域周圍或在該區域內的控制點，設計揚聲器驅動函數使得在這些點上盡可能準確地合成目標聲源的聲壓場。但是為了提高重放精度，需要大量的測量，此方法也存在一定限制。

等效源法最早是在聲場再現(Sound field reconstruction)的近場聲全息(Nearfield Acoustic Holography, NAH)中應用的[9]，其基本思想是利用一定形式的傳聲器陣列在距離聲源很近的表面采集聲場信息，然后通過空間聲場變換計算聲源和整個聲場的聲壓、質點振速及聲強等分布。1989年Koopmann等[10]提出了波疊加法，即等效源法，該方法將單極子或偶極子等簡單源作為等效源配置在振動體內，通過近場測量求解等效源的源強，再現整個聲場分布。該方法適用于任意形狀的聲場，且不存在邊界元法(Boundary Element Method, BEM)的缺陷。其團隊隨后[11-12]研究了等效源的位置、數目等對聲場再現精度的影響。在之前的工作中，我們利用多層等效源再現封閉空間聲場，在600 Hz以上比等效源法獲得更低的再現誤差[13]。隨后，文獻[14]利用等效源方法進行了多區域聲場重放問題的研究，相對于傳統的聲壓匹配法保持了重放精度的同時實現了更安靜的暗區。然而，作者之前的工作對于等效源的數目選取，位置確定以及混響條件對方法性能影響等關鍵內容缺乏明確的討論。同時，相對于傳統的聲壓匹配法，也未提升在重放區域內的重放精度。

本文基于之前的工作，提出一種基于等效源法插值的聲場重放方法。此方法可以有效降低傳聲器采樣工作量，同時在目標區域內實現較低誤差的聲場重放。首先給出等效源法插值聲場重放的理論推導。作為進一步討論，本文對等效源數目、等效源距離以及不同混響條件下的重放誤差進行了詳細的比較與分析。最后分別對比了低采樣與高采樣聲壓匹配法與本文提出方法的重放誤差。

1 理論方法

1.1 聲壓匹配法

假設目標聲場由一個傳聲器陣列采樣，傳聲器測得的聲壓為：

其中，M為傳聲器的數量。揚聲器到重放區域中的傳聲器位置處的聲傳遞函數表示為

1.2 等效源法插值聲場重放

傳聲器點處的聲壓一般為實際聲場景中的測量的聲壓或期望合成聲場的聲壓，為已知量。當等效源的位置與傳聲器的位置固定時，聲傳遞函數矩陣G確定。通過求解式(7)可以得到等效源的權重q。通常情況下，設置的等效聲源的數量大于傳聲器的測量數量，則求解過程具有不適定性，需要借助正則化方法來消除矩陣中較小的奇異值引起的不穩定擾動。通常使用的正則化方法為截斷奇異值分解(Truncated Singular Value Decompositon, TSVD)與Tikhonov正則化等。對于上述問題，等效源權重q的求解可以等效為2范數優化問題：

其中，λ為正則化過程中的超參數。通常選取參數的方法包括L曲線法、廣義交叉驗證法(Generalized Cross Validation, GCV)法等[12]。

1.3 方法流程圖

為清晰描述本方法，圖1為聲壓匹配法與等效源法插值聲場重放方法的流程。首先，揚聲器播放的聲信號通過傳聲器陣列采樣。對于聲壓匹配法，可以通過直接計算得到揚聲器的驅動函數。對于等效源法插值聲場重放，需要先計算揚聲器至重放區域內虛擬點的聲傳遞函數插值，得到插值后的聲場，從而計算揚聲器驅動函數。

圖1 聲壓匹配法與等效源法插值聲場重放方法流程圖Fig.1 The flowchart of the pressure matching method and the equivalent source reproduction method

2 方法驗證

2.1 仿真模型說明

為驗證所提出的等效源(Equivalent Source Method, ESM)插值重放方法，以3D矩形封閉混響房間內的平面聲場重放為例進行研究。如圖 2所示，房間的三維尺寸為4 m×4 m×3 m。坐標原點為揚聲器陣列、傳聲器陣列以及等效聲源的中心點。目標聲源的位置為rs(0,2,0)。揚聲器陣列為一個均勻分布、L=32個揚聲器組成的圓陣，其中揚聲器都為單極子聲源。重放區域在揚聲器陣列內部，為0.5 m×0.5 m 的正方形區域，其中傳聲器采樣點共M=16個，且均勻分布在重放區域的邊界處。傳聲器陣列測量的聲信號為Pmic。重放區域內部設置100個均勻分布的虛擬點。揚聲器外圍設置 N=48個等效源，呈圓形均勻分布。鑒于揚聲器陣列的空間奈奎斯特(Nyquist)頻率為876 Hz，本文所關注的聲場重放頻率為100～1 000 Hz。自由場中聲傳遞函數由自由場格林(Green)函數給出，混響環境下的聲傳遞函數則由鏡像源方法(Image Source Method,ISM)[15]給出。另外，傳聲器的測量聲壓添加信噪比為30 dB的高斯白噪聲。

圖2 揚聲器、傳聲器、等效聲源和目標聲源位置圖Fig.2 The positions of loudspeakers, microphones, equivalent sources and the target sound source

2.2 數值仿真結果

其中：S為聲場重放區域的面積；pre為重放聲壓；pdes為目標重放聲壓；E( f)的單位為dB。

在計算等效源法插值聲場重放的過程中，等效源的數目、等效源的距離以及聲場內部虛擬點的數目與距離，均對重放結果產生影響。在傳聲器采樣位置、數量，目標聲場內部虛擬點以及等效源的距離均相等時，增加等效源的數量，對于不同頻率下的重放結果都有所提升，如圖3所示。

圖3 不同頻率下等效源數目對重放誤差的影響Fig.3 Effect of the number of equivalent sources on reproduction errors at different frequencies

對于300 Hz，當等效源數目增加到14時，重放誤差降低，而后，隨著等效源的數目增加，重放誤差趨于穩定。而對于800 Hz，當等效源數目低于26時，重放誤差存在波動，當等效源數目多于 26時，重放誤差趨于穩定。對于不同的頻率，在保證重放效果穩定的前提下，所需的最小等效源數目是不一定的。在本文中，對于所關注的頻率區間，選取的等效源數目48個。

圖4所示為不同等效源距離下的重放誤差。隨著等效源距離的增加，聲場的重放誤差降低，尤其是在500 Hz以下的低頻段部分。但是，當等效源距離為揚聲器陣列距離的兩倍即2 m時，對于頻率在500 Hz以下的部分，重放效果最好，500 Hz以上部分，重放誤差與等效源距離2.3 m的重放誤差接近，而等效源距離為2.3 m時，低于500 Hz頻率的重放誤差比等效源距離2.0 m稍高。本文中，對于之后的仿真驗證，均選擇等效源距離為2.0 m。

圖4 不同等效源距離下的重放誤差對比Fig.4 Comparison of reproduction errors fort different equivalent source distances

在封閉空間中的聲場重放過程，會受到房間壁面反射聲的影響，從而降低重放效果。圖5對比了自由場條件下與封閉空間混響條件下的重放效果。圖5中封閉空間的吸聲系數為0.6。在200～300 Hz這一頻率段，封閉空間混響條件下的重放誤差較大，在部分頻點處超過了-15 dB。在600 Hz以下頻段處，自由場中的重放效果穩定，波動小，而封閉空間混響條件下的重放效果波動大。結果表明，對于低頻部分，房間壁面的反射更易影響聲場重放效果。在600 Hz以上頻率部分，混響條件下的重放誤差與自由場下的誤差走勢基本相同，重放誤差大。封閉空間中，不同的吸聲系數，對于聲場重放的效果也有不同的影響。圖6對比了不同吸聲系數下的聲場重放效果。在 4 m×4 m×3 m的矩形房間中，0.2、0.4、0.6和0.8的吸聲系數對應的混響時間分別為0.48、0.24、0.16和0.12 s。由圖6中的結果可知，吸聲系數越大，混響時間越短，重放效果越好。但是，混響存在的環境中，對于不同的吸聲系數，除了個別頻點，重放誤差相互之間的差距在10 dB內。即使對于吸聲系數為0.8的情況，重放效果整體仍比自由場條件下的聲場重放效果差。但是對于整個頻率區間，不同混響環境下的重放誤差均低于-10 dB在可以接受的重放誤差區間內。

圖5 不同聲學環境中重放誤差對比Fig.5 Comparison of reproduction errors under different acoustic conditions

圖6 不同混響條件下重放誤差對比Fig.6 Comparison of reproduction errors under different reverberant conditions

為對比驗證所提出的等效源法插值的聲場重放方法，分別計算了聲壓匹配法在低采樣與高采樣情況下的重放誤差，同時對比了本文提出的等效源法插值方法，結果如圖7所示。圖7中低采樣為目標聲場由 16個傳聲器測量的聲場信號，高采樣為在低采樣測量聲場的基礎上，目標聲場增加100個測量點獲得的聲場信號。由結果可以得出，在低采樣的情況下，重放誤差較大，部分頻率處的重放誤差超過-10 dB。在500 Hz以下，高采樣的聲壓匹配法與本文提出的等效源法插值方法得到的重放誤差幾乎相等。這意味著使用本文提出的方法可以大大降低聲傳遞函數測量的工作量同時獲得良好的重放效果。在500 Hz以上的頻率，等效源法插值方法得到的重放誤差大于高采樣的聲壓匹配法的重放誤差。這是因為隨著頻率的升高，在虛擬點的插值聲壓存在誤差，然而相對于僅采用低采樣的聲壓匹配法的結果，本文提出的方法仍然獲得了更好的重放效果。

圖7 PM法低采樣、高采樣和ESM插值聲場重放誤差對比Fig.7 Comparison of reproduction errors for the PM method of low and high sampling and the interpolation method

3 結 論

本文提出了一種等效源法插值聲場重放方法。相對于傳統的聲壓匹配法，在傳聲器低采樣的條件下，利用等效源法對揚聲器陣列聲傳遞函數進行插值，提升了重放效果。在傳聲器陣列、揚聲器陣列不變的條件下，通過仿真實驗，選擇合適的等效源數目與等效源距離，對比了本文提出的方法與傳統聲壓匹配法的重放效果。結果表明，本文提出的方法比聲壓匹配法的重放誤差小，提升了重放效果。并且對比了自由場與封閉空間混響條件下的重放誤差。由于受到封閉空間內壁面的聲反射影響，重放效果降低，尤其是對600 Hz以下低頻段，在進一步的研究中，會針對封閉空間的房間補償進行了展開，降低混響條件下的重放誤差。