基于最小二乘曲線擬合提取基頻分量

牛智銳，宋運忠

（河南理工大學 電氣工程與自動化學院，焦作 454003)

0 引言

輸電線路監測到的故障中80%是單相接地故障，而瞬時故障占其中的50%～90%[1]。瞬時故障是指在線路上僅持續幾個周期的暫時性故障。雖然瞬時故障能夠在一定延時后重合成功，產生的故障電弧熄滅后不會對電力系統和電氣設備造成重大損壞，但是這些故障通常是同一位置發生永久性故障的前兆[2，3]。瞬時故障造成電流巨大變化，電路中的電感會阻礙電流的變化，產生隨時間呈指數衰減的直流偏移分量。直流偏移分量對基頻相量的提取造成影響，導致故障定位產生較大的誤差。

如何快速消除直流偏移分量并準確地提取基頻分量，一直是國內外學者研究的熱點問題。采用全波和半波傅里葉算法提取故障信號的基頻分量，存在計算時間長、響應速度慢、無法完全濾除直流偏移分量的缺點[4～6]。使用同步相量估計算法[7，8]修正離散傅里葉變換（Discrete Fourier Transform，DFT）可以較好的消除直流偏移分量提取基頻分量，缺點是計算量較大。文獻[9]將Hilbert變換與DFT相結合計算基頻相量，該算法的計算過程非常復雜。文獻[10]先對輸入的電流信號進行積分，然后在每個采樣瞬間減去衰減的直流偏移分量獲得基頻相量。該算法將故障持續一個周期后的采樣數據用于計算，其難點在于必須能夠準確地檢測出故障的起始時間。文獻[11]需要2.25個周期的波形數據，將經驗模態分解與Hilbert變換相結合計算基頻相量。算法易受波形周期的限制，不適合應用于繼電保護。使用最小二乘算法[12]消除直流偏移分量提取基頻相量，算法的性能會隨著時間常數的減小而降低，難以滿足電力系統對于穩定性的要求。

針對上述方法存在數學模型較為復雜、運算量較大的缺點，本文構建新的數學模型提取基頻分量。利用均方根域-小波變換方法獲取完整的故障時間段數據，使用非線性最小二乘曲線擬合提取基頻分量。通過多個算例的仿真驗證和分析，算法能夠快速準確地提取基頻分量。將其應用于繼電保護裝置開展故障定位研究工作，可以很好的與行波法[13～16]相互補充，更好地保障輸電系統的安全、可靠運行。

1 構建故障信號數學模型

當輸電系統發生單相接地故障時，電流產生衰減的直流偏移分量。將故障電流信號看作由一個含有諧波的交流分量iAC和一個隨時間常數呈指數衰減的直流偏移分量iDC組成[17]：

式中，直流偏移分量初始時刻的大小取決于故障時刻的入射角θn，直流偏移分量的衰減時間常數取決于系統在故障點的比值X/R。

實際上，諧波成分比較復雜，系統發生單相接地故障，其幅值與基頻分量相比很小，諧波只會造成數據的離散并不能改變基頻信號的趨勢。基于最小二乘曲線擬合方法構建擬合函數，將故障電流信號表示為一個對稱的正弦基頻交流分量和一個隨時間常數呈指數衰減的直流偏移分量：

2 故障仿真實驗與基頻分量提取算法

本節在MATLAB/Simulink仿真環境下搭建如圖1所示的雙端電源系統輸電線路單相接地故障仿真模型，仿真模型參數為：兩端電源電壓EG=220∠30°kV、EH=220∠0°kV，系統頻率50Hz，輸電線路總長度300km，設置單相接地故障點F距G端150km，兩端電源內阻ZG=1.06+j44.92Ω、ZH=1.05+j43.18Ω，線路正序阻抗Z1=0.02083+j0.282Ω/km，線路零序阻抗Z0=0.1148+j0.7186Ω/km。仿真時間0.2s，采樣頻率為5kHz，即每個周波采樣100點。

圖1 輸電線路故障模型

過渡電阻為零時，在監測位置G記錄的三相電流和電壓波形如圖2所示。

圖2 記錄電壓和電流波形

2.1 檢測故障信號

系統發生單相接地故障，微機繼電保護裝置通過阻抗繼電器的視在阻抗或過流繼電器的均方根電流與預先設定好的阻抗域或繼電器吸合電流作比較來檢測故障。上述兩種方法將窗口時域波形轉換為阻抗復數平面[18]或均方根域，能夠成功地檢測故障發生和故障清除。

基于過流繼電器的工作原理，設定兩倍的均方根電流作為過流繼電器預先設定的均方根域。如圖3所示，故障電流信號首次超過均方根域時檢測到故障發生，對應的故障起始時刻為0.0612s；故障電流信號末次高于均方根域后故障清除，對應的故障清除時刻為0.1404s。

圖3 均方根域檢測故障電流

2.2 獲取完整的故障時間段數據

獲取完整的故障時間段數據應用于提取基頻分量有兩個優點：1）當故障持續時間較短、特別是小于一個周期時，因為故障數據點較少，所以使用完整的故障時間段數據提取基頻分量準確度更高。2）能夠最大限度地減少非故障期間數據點。

本文以均方根域檢測到的故障時刻為依據，將常見的時頻域分析工具小波變換應用于暫態電能質量分析中，能夠準確地檢測與定位故障信號的起止時刻與持續時間。當小波變換應用于電能質量檢測時，小波基的選取是一項重要的工作，文獻[19]和文獻[20]提出db小波是檢測電能質量擾動的一個很好的選擇。如圖4所示，當故障電流信號首次超過均方根域，檢測到故障發生。選擇小波系數能量集中的db4為小波基進行小波變換，平方小波變換系數最大值對應的0.0608s為校正后的故障起始時刻。當故障電流信號末次高于均方根域后，故障清除，采用同樣的方法得到校正后的故障清除時刻為0.1438s。

圖4 使用db4小波變換校正故障時間

故障持續時間為0.0830s，提取完整的故障發生時段電流信號如圖5所示。

圖5 獲取的故障電流信號

2.3 求解模型參數

根據計算機數值計算的需要，引出向量a=(β1，β2，β3，β4)表示模型參數，式(2)改寫為：

式中：β1=A1表示對稱的基頻交流分量幅值，單位A；β2=θ1表示對稱的基頻交流分量初相位，單位rad；β2=B表示指數衰減的直流偏移分量幅值，單位A；β4-1=-ω/(X/R)表示指數衰減的直流偏移衰減常數，單位s-1。

通過對故障信號電氣量特點的分析，將故障時刻ti對應的單相接地故障電流vi進行曲線擬合求解模型參數。式(4)定義有約束的最小二乘目標函數：使用信賴域反射法[21～23]求解式(4)，得到基頻分量β1cos(2πfti+β2)和直流偏移分量β3e-β4ti。

2.4 提取電氣量

本文針對以下四種典型的故障情況按照上述步驟進行分析：理想情況下的單相接地短路故障、含有諧波分量的單相接地故障、持續時間小于一個周期的單相接地短路故障和存在過渡電阻的單相接地故障。

2.4.1 單相接地短路故障

理想情況下的單相接地短路故障曲線擬合結果如圖6所示，基頻分量提取結果如表1所示。

圖6 分解故障電流

2.4.2 含有諧波分量的單相接地短路故障

電網中由于正弦電壓加壓于非線性負載，導致電流發生畸變產生諧波，一般以3，6n±1次諧波較為常見。其中，3次諧波是主要成分之一且幅值最大，對繼電保護和設備的沖擊最強，對電網的影響也最為嚴重。

在故障信號中分別添加不同類型的諧波分量，其幅值為基波幅值的10%，基頻分量參數提取結果如表1所示。

表1 含有不同諧波分量的計算結果

將3，5，7，11，13，17，19次諧波同時添加至故障電流信號，改變諧波幅值，基頻分量參數提取結果如表2所示。

表2 不同幅值時的計算結果

當諧波幅值為基波幅值的30%，曲線擬合結果如圖7所示。

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圖7 分解含有諧波分量的故障電流

由表1可知，當故障信號只含有5次諧波時，基頻分量幅值的誤差最大；隨著諧波次數增大，誤差逐漸減小。當故障信號只含有3次諧波時，基頻分量初相位的誤差最大；隨著諧波次數的增大，誤差減小。由表2可知，當故障信號中含有多個諧波分量時，隨著諧波幅值的逐漸增大，提取的基頻分量幅值和初相位的誤差也逐漸增大。

然而，即使使用含有多個諧波分量且諧波幅值為基波幅值30%的故障信號提取基頻分量參數，基頻分量幅值和初相位的誤差也僅為-0.2521%、0.2088%。擬合出的基頻分量參數與無諧波時相比誤差很小，證明本文建立的最小二乘函數模型能夠較好的抑制諧波分量，基頻分量提取精度較高。

2.4.3 持續時間小于一個周期的單相接地短路故障

微機繼電保護裝置使用傅里葉濾波器提取基頻相量需要一個周期的波形數據。如圖8(a)所示，當故障持續時間小于一個周期，故障期間和故障結束后的數據點都將應用于傅里葉濾波器，導致提取的基頻分量精度降低、故障定位誤差增大。曲線擬合結果如圖8(b)所示，電氣量提取結果如表3所示。

圖8 故障持續時間不足一個周期

2.4.4 存在過渡電阻的單相接地故障

當單相接地故障存在過渡電阻時，隨著過渡電阻阻值增大，系統中出現直流偏移分量的可能性逐漸減小。由于阻值的增加降低了故障期間的X/R值，所以產生的直流偏移分量衰減速度快。

設定過渡電阻為50Ω時系統發生單相接地故障，故障仿真信號如圖9(a)所示，曲線擬合結果如圖9(b)所示，電氣量提取結果如表3所示。

圖9 存在過渡電阻的單相接地故障

表3 不同情況的計算結果

3 算法驗證分析

微機繼電保護裝置基于阻抗法的Takagi方法計算從監測點到故障位置的距離：

式中，U表示母線電壓降，I表示故障電流，Iper表示故障前的電流，I0表示零序電流，Z1為線路正序阻抗，Z0為線路零序阻抗，*表示共軛復數。

同時，故障定位結果誤差定義如下：

本節通過故障定位結果，驗證在上述四種典型的故障情況下提取基頻分量的準確性。

3.1 含有諧波分量的單相接地短路故障

由表4可知，含有諧波分量的單相接地短路故障的故障定位誤差很小，說明提取的基頻分量魯棒性強、準確度高，能夠很好的消除單相接地故障產生的直流偏移分量。

3.2 故障持續時間小于一個周期的單相接地短路

經計算，與單相接地短路故障相比誤差增大。主要原因有兩點：1）采樣點數據較少會導致基頻相量計算結果誤差增大。2）故障數據中參雜了非故障期間的數據點。

3.3 存在過渡電阻的單相接地故障

由表4可知，單相接地故障存在過渡電阻時，與單相接地短路故障相比誤差增大。此時，誤差源自Takagi方法假設系統是均勻的，故障點兩端的故障電流分量相位角一致[24]。然而，在仿真環境下系統是非均勻的，違反假設導致誤差增大。但是算法可以避免提取基頻相量時造成額外誤差的情況，基頻分量提取結果準確度較高。

表4 故障距離和誤差

4 結語

本文構建的故障信號數學模型能夠快速消除單相接地故障產生的直流偏移分量、準確提取故障信號基頻分量，故障定位結果精度較高。數學模型具有以下四個優點：

1）運用函數逼近原理，把故障信號看作基頻交流分量和直流偏移分量相疊加，使用數學表達式直接消除直流偏移分量，提取基頻分量更加簡單。

2）數學模型通常在10～200次迭代后提取基頻分量，算法擁有快速高效的計算效率。

3）諧波分量對現有數學模型擬合出的基頻相量影響很小，對諧波分量有較好的抑制作用。

4）可以計算任意時長瞬時故障信號包含的基頻相量，算法不受波形周期的限制，準確度較高。