隔膜分切機放卷張力混合串級控制系統設計

鄒浩然，王恒升,2*

（1.中南大學 機電工程學院，長沙 410083；（2.中南大學 高性能復雜制造國家重點實驗室，長沙 410083）

0 引言

隔膜分切機是鋰電池隔膜生產的關鍵設備之一，其功能是將大卷徑，大寬度的料卷分切為各種小卷徑，小寬度的料卷。隔膜分切機的結構可分為放卷系統、牽引系統和收卷系統三個部分：放卷系統將料卷展開送入牽引系統中；牽引系統使隔膜平穩傳輸并完成分切；收卷系統將分切后的隔膜重新卷繞。為滿足產品質量要求，保證隔膜在分切機中的傳輸效果至關重要。由于隔膜為柔性基材，若張力過大，材料易拉伸變形，使產品失效；若張力過小，材料松弛，就無法分切且極易發生褶皺。因此張力成為影響傳輸效果的重要因素，也成為了隔膜分切機控制的主要目標。其中，放卷張力為系統提供基準張力，因此放卷張力控制成為了重中之重。隔膜分切機的放卷系統是一種多軸卷繞系統，通過協調各輥的速度實現張力控制。由于系統是一個非線性、強耦合的機電系統，工作情況復雜，造成張力控制的難度很大。為滿足產品質量的要求，隔膜的張力控制精度要不斷提高，能夠處理不同工況和存在干擾的情況，這對控制系統的設計提出更高的要求。

針對隔膜分切機和其他多軸卷繞系統的控制，國內外學者在相關領域做了大量的研究。張力控制的難點和重點集中在系統建模和控制器設計方面。在建模方面，Pagilla等[1～3]考慮了由于卷材的減少造成的放卷輥慣量的變化，分析了放卷輥的受力變化情況，建立了較為準確的系統動力學方程。同時分析了卷材傳輸時的張力變化機理，建立了張力模型。陳建魁[4]分析了卷繞系統工作時的張力波動機理，并將系統劃分為若干個子系統，建立了動力學模型，并提出了分布式張力控制方法。相關學者研究了張力波動的影響因素以完善模型。Seki等[5]分析了制造或裝配等造成的周期性擾動對張力控制的影響，并設計了反饋補償器。Baumgart等[6]研究了一種卷繞過程中的空氣擾動模型，并仿真分析了空氣夾帶對張力波動的影響。Lin[7]考慮了摩擦力和慣量的不確定性對張力的影響，并由此設計了摩擦力和慣量補償的張力控制器。隨著科技水平的提高，各種先進的控制算法在張力控制中得到應用。李實永等[8]設計了模糊控制器，對傳統PID控制作了改進。Zhao等[9]設計了自適應滑模控制器，應用在消除擾動的張力控制中。

在以上的研究中，控制器大多為單回路結構，張力控制一般應用在特殊工況下，適應性不強。有些控制精度不高，達不到生產要求。串級控制一般是通過設計多個回路實現最終控制。其中，外環控制量是內環控制的輸入量[10]。串級控制能夠提高系統的穩定性，在非線性、強耦合的系統中有好的效果，在工業控制中應用廣泛[11]。本文針對隔膜分切機放卷系統，建立動力學模型，基于模型預測控制和反演控制設計了混合串級張力控制系統。控制系統提高了控制精度和響應速度以及張力控制的適應性，在工業中有更強的實際價值，在其他控制的研究中有一定的借鑒價值。

1 系統動力學模型

如圖1所示為隔膜分切機放卷系統示意圖。其中v表示放卷輥線速度，v1為牽引輥線速度，T表示隔膜張力，R為實時卷徑。

圖1 放卷系統結構簡圖

牽引電機帶動牽引輥使隔膜以一定的速度傳輸，同時由于牽引輥表面為橡膠，與隔膜摩擦力較大，對兩側的張力有隔離作用，是放卷系統和牽引系統的分界；惰輥保證了隔膜在張力傳感器上的包角，便于測量張力，同時使隔膜在長距離傳輸時保持平整；放卷輥在伺服電機的驅動下釋放隔膜，調節張力。由于惰輥和張力傳感器對張力的影響較小，本文將忽略其在張力控制中的影響，只考慮放卷輥和牽引輥的運動情況。由系統運行規律可知，張力的變化與兩輥運動的協調性相關。為簡化控制方法，牽引輥采用速度控制，放卷輥采用力矩控制。牽引輥的控制在控制器中易于實現且效果穩定，本文不再贅述。下文將對兩輥間的隔膜張力和放卷輥運動情況進行建模。

1.1 隔膜張力模型

假設隔膜與輥之間有足夠的摩擦力，即認為隔膜與輥之間是純滾動，隔膜的張力產生是發生了純彈性變形。忽略溫度等對隔膜材料變化的影響，由胡克定律可得：

式中，E表示隔膜的彈性模量(N/m2)，A表示隔膜的橫截面積(m2)，ε表示隔膜的形變率（應變），l0表示材料拉伸前長度，l表示材料拉伸后長度。

設隔膜拉伸前后線密度分別為ρ0，ρl(kg/m）。假設拉伸前后橫截面積不變，拉伸前后各處應變保持一致（均勻拉伸），根據質量守恒定律，有：

由質量守恒定律，拉伸后在dt時間內，兩輥間隔膜質量變化量等于進入的隔膜質量減去送出的隔膜質量。根據相關文獻[12，13]得到，在放卷輥和牽引輥之間的隔膜傳遞滿足式(4)所示關系：

其中ε`，ε"分別表示隔膜展開前后的應變。

整理得到隔膜張力的數學模型為：

式中T0表示放卷前初始張力。

1.2 放卷輥動力學模型

由圖1可知放卷輥受到了電機驅動力矩，張力力矩和摩擦力矩的作用，系統慣量隨著卷材的減少而發生變化，整個系統是非線性系統。由于電機與放卷軸之間的傳動比為1，由牛頓第二定律，得到：

在任意時刻，系統的轉動慣量主要有機械部分，料卷紙筒及隔膜三部分組成，即：

其中，Jm是機械部分轉動慣量，包括電機軸，輥軸等。Jt為紙筒的轉動慣量，Jd是隔膜卷轉動慣量。

由相關文獻[2]可知，隔膜卷轉動慣量可以描述為：

式中，ρ表示隔膜密度，H表示隔膜寬度，r表示隔膜卷內徑。R為卷外徑。

由于厚度很薄，在不考慮隔膜間間隙的情況下，根據質量守恒定律，傳輸過程中可以認為在dt時間內有，RdR所以：

式中，h表示隔膜厚度。

根據上述推論，整理式(10)可以得到放卷輥的動力學模型為：

根據式(9)和式(14)，考慮系統擾動，可以得到隔膜分切機放卷系統的動力學模型狀態空間方程描述如下：

2 控制器設計

根據式(8)可知，隔膜張力的變化取決于兩端輥的速度，張力滯后于速度，控制兩輥速度能實現張力控制。本系統中牽引輥決定了系統運行速度，放卷輥跟隨其運動。根據系統特性，本文提出混合串級控制策略：外環依據隔膜張力模型設計張力控制器，得到放卷輥期望速度；內環依據放卷輥模型實現速度跟蹤。外環使用模型預測控制，利用其滾動優化的特點，控制器能夠得到最優速度期望值；內環針對放卷輥的非線性特性，使用反演控制能提高控制精度和穩定性。相比于單回路控制器，上述混合串級控制系統能夠簡化控制模型，從張力產生機理出發，提高張力控制的準確性和快速性。針對系統存在的擾動因素，設計干擾觀測器，對內外兩環控制器進行補償，提高了控制系統的的穩定性和環境適應性。下文將針對干擾觀測器和內外兩環控制器設計進行說明。

2.1 干擾觀測器設計

根據式(15)，將狀態空間方程表示為：

設計干擾觀測器如式(17)所示[14]，

由式(17)可知，

由上式可知，系統最終穩定狀態ed=0，達到了干擾觀測的目的。

2.2 模型預測控制器設計

模型預測控制是一種被廣泛應用的先進控制算法，其基本思想是根據控制目標優化得到最優的控制量，有模型預測、滾動優化和反饋矯正的特征，有效的克服被控對象的不確定性，時變性等特點[16]，使系統具有較好的魯棒性和穩定性。

在模型預測控制中，需要一個能預測系統未來動態的模型，可以是狀態空間模型，傳遞函數模型，神經網絡模型等。本節利用隔膜張力的數學模型作為預測模型進行控制器設計。由式(9)得到系統的狀態空間方程為：

式中，x(t)為狀態量，u(t)為控制量，w(t)為環境量，y(t)為觀測值，d2(t)通過干擾觀測器得到。其中，x=T，u=·θ，w=v1，A(t)=-v1/L，B(t)=(T0-EA)R/L，D(t)=EA/L，c=1。

由狀態方程可知，此系統為線性時變系統。針對此連續狀態方程，可以采用一階差商的方法進行離散化，得到離散后的狀態空間方程為：

式中Ad=I+TsA，Bd=TsB，Dd=TsD，Ts，為采樣周期。

引入新的的狀態變量形式：

將式(21)改寫成如下形式：

預測模型表示為增量模型，引入積分能夠減小或消除靜態誤差[17]。根據模型預測控制的基本原理，設控制時域NP，預測時域為Nm，且Nm≤NP。為了推導預測方程，有兩個基本假設，即：

1）控制時域之外，控制量不變。

2）預測時域之內，擾動量不變。

根據k時刻測量值，得到一系列輸出預測值：

控制時域內的控制量輸入表示為：

預測時域內的環境量變化為：

由式(20)可知，環境量為牽引輥的速度，設其加速度為a1，由于預測時域有限，假設在該段時間內加速度不變，則某一時刻的環境量w(k+N)=v1(k)+a1(Np-1)·Ts

因此，在k時刻得到的預測方程可以表示為：

根據滾動優化的原則，為了得到最優控制量，根據控制目標設計目標函數如式(28)所示：

式中，Q1表示輸出誤差的權重系數矩陣，Q2表示控制量的權重系數矩陣。

將式(27)代入，可以發現目標函數J是關于控制量ΔU的函數。求ΔU最優解，即求minJ的解。根據，求得最優控制量增量：

式中，E(k+1)=Yd(k+1)-Sxψ(k)-Sww(k)-Sdd2(k)，Yd(k+1)表示期望值矩陣。即：

將所求最優控制增量矩陣的第一個元素作為下一時刻控制信號增量。最終，模型預測控制器的控制量為：

進入下一時刻，重復上述過程，最終可以達到控制要求。最優控制量即為期望的放卷輥角速度·θd。為達到這樣的速度條件，需要進行下一步設計。

2.3 反演控制器設計

反演控制是一種常用的非線性控制方法，其基本思想是將復雜的非線性系統分解成多個低階子系統[18]。它的每一步通過李雅普諾夫函數推導出使系統穩定的虛擬控制律，最終得到真實的控制器，實現整個系統的控制。本節根據放卷輥動力學模型設計速度跟蹤控制器，將通過設計位置跟蹤控制器方式，實現速度跟蹤，同時能提高速度控制的準確性。

由式(14)、式(15)，得到干擾條件下的放卷輥動力學模型如下：

步驟一：根據Lyapunov穩定性理論，首先設計李雅普諾夫函數為：

由于e1=θ-θd，所以有，所以得到：

設虛擬控制量e2，使，其中k1＞0，將其代入式(35)中有：

顯然，當e2=0時，，系統達到穩定狀態。為達到最終控制目的，需要進行第二步設計。

步驟二：再次構造李雅普諾夫函數

所以：

當控制量滿足：

所以，反演控制的控制律為：

式中，

3 仿真研究

根據系統狀態方程(15)，選取系統模型各參數如表1所示。

表1 模型參數表

利用MATLAB/Simulink仿真平臺，搭建控制仿真系統。采用四階Runge-Kutta方法求解，采樣周期取Ts=0.005。仿真調試時發現控制器中各參數對結果有影響。為達到最好的控制效果，要對參數進行選擇。預測控制中一般預測步數增多精度會提高，但也增加了求解難度，本文中取預測時域與控制時域分別取Np=10，Nm=4；權重矩陣取Q1=diag{10，10…10}，Q2=diag{1，1…1}，能夠提高控制精度；反演控制中k1和k2選擇改變了系統動態特性，增大k1對提高控制精度有幫助，增大k2能夠加速系統穩定，但同時增大了超調量。根據本系統特性，反演控制器增益取k1=100，k2=0.01。干擾觀測器增益參數p1=100，p2=100。

3.1 張力控制測試

仿真初始條件系統速度為零，張力為零。仿真開始后系統加速度（牽引輥）為0.5m/s2，加速0.5s后系統勻速運行。設期望張力為5N，張力響應如圖2(a)所示；系統速度、模型預測控制產生的期望速度和反演速度跟蹤的關系如圖2(b)所示。控制力矩如圖2(c)所示由圖可知，在控制器的作用下，系統的張力的階躍響應快速，在0.1秒左右達到期望值，穩態誤差很小。從速度響應圖來看，控制器根據系統的速度（牽引輥速度）能夠及時得出放卷輥期望速度且跟蹤精度較高，從而使系統張力控制效果較好。同時控制力矩變化平穩。

圖2 張力串級控制的仿真圖

如圖3、圖4所示分別為階躍期望張力和正弦張力下的張力響應（仿真條件不變）。其中階躍期望張力分別為2N，5N，3N；正弦期望張力Td=5+sin(πt)N。由圖可知，在期望張力改變的情況下，張力能夠較好的跟蹤，證明了控制器能夠應對期望張力變化的工作情況。

圖3 階躍期望張力下張力響應圖

圖4 正弦期望張力下張力響應圖

改變仿真條件，保持加速時間(0.5秒)不變，分別設置加速度為0.5m/s2，1m/s2和2m/s2，最終系統穩定運行速度為0.25m/s，0.5m/s和1m/s。期望張力為5N時的張力響應如圖5(a)所示。速度響應如圖5(b)所示。由圖可知，系統在不同的運行情況下張力的控制效果良好，速度響應及時。在不同加速度下，張力響應曲線基本重合，體現了混合串級控制器的優勢，外環控制器能夠更快的得到最優速度期望值，提高了響應速度和環境變化時的應對能力。

圖5 系統在不同加速度情況下的控制仿真圖

3.2 抗干擾性能測試

由于模型誤差等因素造成的干擾在實際系統中經常存在。控制器中引入干擾觀測器能夠有效的對干擾進行觀測和補償。在仿真中分別設置了模型參數誤差和存在外部力矩擾動的系統運行條件。圖(6)是模型參數誤差下的張力響應圖。系統模型中粘性摩擦系數b=0.056，控制器中參數設置為b=0.01。圖7是干擾力矩下的張力響應圖。在系統中加入了大小在0.1～0.2N·m的干擾力矩。由兩圖中可知，控制器在處理干擾情況下效果明顯。干擾觀測器及時補償了擾動造成的控制量偏差，使張力控制值達到期望值。

圖6 模型參數誤差下的張力響應圖

圖7 干擾力矩下的張力響應圖

4 結語

本文研究了鋰電池隔膜分切機放卷系統的系統建模和張力控制問題。提出了以張力控制為外環，速度控制為內環的混合串級控制策略，并使用模型預測控制和反演控制設計了控制系統，同時設計干擾觀測器對控制器進行補償。仿真結果表明，控制系統在張力控制的穩定性和準確性方面有不錯的效果，適用于多種工況。外環能夠根據系統速度及時得到期望放卷速度，內環速度跟蹤精度高，證明了控制策略的有效性。控制系統的效果有待于在實際系統中進一步驗證。