弧面分度凸輪參數化設計與動力學仿真

趙海鳴，付 彪，趙 祥，趙 波

（1.中南大學 機電工程學院，長沙 410083；2.中南大學 高性能復雜制造國家重點實驗室，長沙 410083）

0 引言

隨著國內制造業自動化進程的推進，在一些自動化裝置中，弧面分度凸輪機構具有優越的動力學性能、傳動效率高、承載能力強等優點，并可通過中心距調整消除滾子與凸輪間的間隙及磨損補償，被廣泛運用于高速、高精度的間歇運動場合[1]。某包裝機構在180r/min的連續電機驅動下實現八工位間歇轉動、需嚴格控制動停比為5∶7以及特定中心距，市面上標準尺寸的弧面分度凸輪機構無法滿足此特定工況需求。本文根據此包裝機構功能要求，設計一組弧面分度凸輪機構用于解決此工程實際問題，實現該機構高精度間歇運動。

由于弧面分度凸輪的工作輪廓曲面為空間不可展開曲面，其設計無法通過將空間曲面展開成二維平面進行設計[2]，常用設計方法有包絡曲面法，旋轉變換張量法，等距曲線/曲面法和共扼曲面法[3]。國內外學者在弧面分度凸輪領域有過諸多研究，Yin G F、Tian G Y和Taylor D研究單參數曲線包絡理論用于空間凸輪輪廓面曲面方程，并推導出具有圓錐滾子從動件的弧面分度凸輪廓面方程[4]。加泰羅尼亞理工大學Cardona通過共扼曲面方法結合坐標轉換和反轉法建立等寬弧面凸輪的輪廓曲面方程[5]。張興鈺等將動力學分析理論與扭轉、變形等因素對弧面分度凸輪機構的影響相結合，建立了剛柔耦合動力學模型，驗證了不同因素對凸輪機構動力學性能的影響[6]。本文擬采用空間曲面共軛原理對凸輪工作曲面進行設計，通過Matlab、Solidworks軟件完成凸輪機構的三維建模，再基于虛擬樣機技術對設計的凸輪進行動力學仿真。

1 弧面分度凸輪設計原理與參數計算

1.1 弧面分度凸輪工作曲面設計基本原理

在弧面分度凸輪機構上建立四組笛卡爾坐標系：定坐標系S0(O0X0Y0Z0)與機架相連、輔助定坐標系S`0(O`0X`0Y`0Z`0)、與凸輪相連的動坐標系S1(O1X1Y1Z1)和與分度盤相連的動坐標系S2(O2X2Y2Z2)，如圖1所示。分度盤上滾子的圓柱形工作面共軛坐標點在動坐標系S2中的方程可表示為：

圖1 廓面計算的坐標系

式中ρ為圓柱滾子半徑，r、ψ為滾子工作面的曲面參數；

通過共軛接觸點在不同坐標系中的矢量間變換關系，在S1、S2中找任意一點根據“共軛接觸位置上兩曲面的共軛接觸點必須重合”，可得一組關系式。利用此關系式求導，得共軛接觸點之間在不同坐標系下的相對速度，根據“共軛接觸點處，兩曲面間的相對運動速度與其公法線垂直”，可得凸輪的通用共軛接觸方程式：

式中p為分度期廓線旋向；ω1為凸輪角速度；ω2為分度盤角速度；C為凸輪與分度盤中心距；φ為分度盤上滾子的位置角，取其軸線O2X2與O0X0間夾角。

其中位置角φ的計算式為：

優先采用貼碳纖維布補強方式，裂縫、滲水等缺陷處理采用環氧材料灌漿。基本處理包括：首先停水減載，然后對槽身細裂縫進行封縫處理，完成后再從縱向、橫向對結構復核不滿足的部位、對渡槽進行碳纖維加固處理，從而使渡糟槽身混凝土結構得到加固。

式中φ0為滾子起始位置角；φi為滾子的角位移，由凸輪機構的運動規律和分度期轉角共同決定，在式中取絕對值。

通過坐標變化和圓柱滾子工作面坐標可求解得任意點坐標可得弧面分度凸輪工作輪廓曲面方程：

式中θ為凸輪在任意時刻轉角，θ取[0，θf]是凸輪處于分度期；

1.2 弧面分度凸輪機構設計參數計算

1）運動參數計算

凸輪旋向取左旋（p=1），分度廓線為單頭（H=1），由于需實現八工位間歇運動，分度盤分度數I取8，則滾子數Z取8。根據弧面分度凸輪的工作情況，將其主要運動參數設定如下：

基于實際自動化裝置360包/min的生產速度與雙通道設置，要求凸輪轉速n為180r/min，且為連續轉動。根據工藝過程分析，確定機構中存在3個加工工位，加工過程中弧面分度凸輪運動3個周期，歷時1秒，結合加工經驗要求弧面分度凸輪分度期轉角θf取150°，此時工件加工時長為7/12秒，加工質量高。其他運動參數如表1所示。

表1 運動參數表

弧面分度凸輪機構工作場合為高速，重載，因此從動件運動規律選擇工作行程中速度、加速度變化平緩、動力學性能優越的改進正弦加速度運動規律。

2）主要幾何參數計算

表2 主要幾何參數表

2 弧面分度凸輪工作曲面程序設計與三維建模

2.1 基于MATLAB的工作曲面設計

由于凸輪工作輪廓曲面計算過程繁復，采用MATLAB編程計算曲面點坐標，其程序編寫基本原理如圖2所示：

圖2 曲面設計程序編寫基本原理

2.2 工作曲面點坐標計算程序

1）分度期1L段曲面編程

編寫分度期1L段工作曲面的腳本程序，先給凸輪的相應參數進行賦值，角度統一用弧度制表示，方便進行三角函數計算。1L段曲面的滾子位置角φ0（用fei0表示）應取π/8，分度期內凸輪轉角取2°為一個步長，每一個凸輪轉角根據從動件運動規律求出相應分度盤角位移φi（用feii表示）及分度盤與凸輪角速比ω2/ω1（用w表示），程序編寫如圖3所示。

圖3 工作曲面1L設計程序段①

將求得的φi通過式(1)，計算出滾子位置角φ（用fei表示）。設定參數值r在特定區間內變化，取2mm為一個步長，可利用已確定參數通過式(2)計算出當前位置的滾子工作面曲面參數ψ（用psi表示），同一個參數值r會算得兩個ψ值，1L段曲面的參數值ψ應多加上π。將參數值ψ與滾子半徑Rr代入式(1)，得滾子的圓柱工作面的共軛接觸點的三維坐標，程序編寫如圖4所示。

圖4 工作曲面1L設計程序段②

利用前程序段的數據基礎，通過式(4)算得1L段工作曲面的三維坐標，1L段工作曲面編程完成，程序編寫如圖5。

圖5 工作曲面1L設計程序段③

2）分度期其余段曲面編程

分度期2R、2L、3R段曲面程序和1L段基本原理一致，區別在于滾子位置角初始位置φ0與其圓柱面的曲面參數ψ。關于位置角初始位置，其中2L與2R段曲面與2號滾子接觸，其初始位置角為（-pi/8），3R段曲面與3號滾子接觸，其初始位置角為（-3pi/8）。關于曲面參數ψ，與滾子右側接觸的工作曲面2R、3R其ψ值取銳角值，與滾子右側接觸的工作曲面2L則取銳角值加上π。因此，在1L工作曲面程序中，修改上述參數后即可完成其余分度期工作曲面段的程序編寫。

3）停歇期曲面編程

當凸輪工作曲面進入停歇期時，分度盤部分轉動停止，煙包在工位完成美容加工工序，此時分度盤的角位移與角速比均為零，因此曲面參數ψ只有0與π兩個取值，從而限制滾子的圓柱工作面的共軛接觸點坐標為定值。凸輪停歇期左側曲面初始位置角φ0為(-pi/8)，曲面參數ψ為0，右側曲面初始位置角φ0為(pi/8)，曲面參數ψ為π，分別編程，如圖6所示，凸輪工作曲面程序編寫結束。

圖6 凸輪停歇期左側曲面

2.3 基于Solidworks的凸輪機構三維建模

目前對于空間凸輪的建模方法主要有等距曲面法、直接建模法與“點-線-面-體”法，本文凸輪建模通過“點-線-面-體”的原理完成。在MATLAB中運行各個曲面程序，可得到該曲面上的一系列點坐標。以曲面1L為例，運行程序可得到16組坐標點，每組中有點76個，每組坐標點對應組成1L曲面的一條有76個點的曲線，將程序結果保存為.txt格式文件，分別運行其余分度期與停歇期程序并保存原始點坐標數據。利用plot3函數可直觀地看到各組坐標點構成的曲線段，利用surf函數可直觀地看到1L曲面的三維造型，如圖7分別為組成1L曲面的第一條曲線段、1L曲面中的16條曲線段、1L曲面三維圖與分度期4曲面圖。

圖7 工作曲面MATLAB程序造型圖

在SolidWorks中按前文所求得幾何尺寸建立弧面分度凸輪基體三維模型，通過xyz點坐標的方式插入曲線，導入保存MATLAB中點坐標的txt文檔，將分度期與停歇期曲面程序所得96條曲線全部導入后，如圖8所示。

圖8 凸輪基體與工作曲面曲線

為保證凸輪工作曲面的連續性和完整性，先將三個曲面上的曲線利用“組合曲線”命令進行組合，并利用“放樣曲面”命令，將組合后曲線放樣成兩個完整曲面，在凸輪基體端面處建立兩基準面并利用曲面剪裁命令對工作曲面多余的部分進行裁剪去除。最后通過“平面區域”命令和放樣生成工作曲面的其余兩個面，利用曲面縫合生成凸輪工作曲面實體，得凸輪最終三維模型如圖9。

圖9 凸輪三維模型

按計算所得幾何參數建立分度盤及滾子模型，最后在SolidWorks中完成凸輪機構裝配，并進行干涉檢查，如圖10所示。

圖10 凸輪機構裝配體

3 基于Adams的弧面分度凸輪機構動力學仿真

3.1 動力學仿真虛擬樣機建立與基本設置

針對本文所設計的弧面分度凸輪機構，需對其進行動力學仿真以驗證機構設計的正確性及其工作性能。為模擬凸輪機構在實際自動化裝置中的工作環境，按機構要求設計用于放置工件的專用載荷盤，以降低工件質量對凸輪機構運動狀態的影響，通過輸出軸將在載荷盤與凸輪分度盤相連，基于SolidWorks模擬其實際工況建立仿真簡化模型，保存為parasolid格式，導入Adams軟件建立弧面分度凸輪機構的多剛體動力學模型，模型如圖11中所示。

在Adams/view中設置重力方向為Y軸負方向，凸輪材料設置為20CrMnTi，滾子材料設置為GCr15，其余構件材料設置為45號鋼[7]。添加滾子與分度盤、分度盤與輸出軸、載荷盤與輸出軸間的固定副軸，凸輪與地面、分度盤與地面間的旋轉副，按運動要求設置凸輪旋轉副驅動為1080d*time。為實現分度盤轉動，需在滾子與凸輪工作曲面接觸處設置接觸力，分別完成8組接觸力設置[8]。為模擬載荷盤處載荷，在輸出軸端添加200N的作用力，仿真時長設置為0.34s，步數設置為6000步，至此完成動力學分析虛擬樣機設置如圖11所示。

圖11 弧面分度凸輪機構動力學模型

3.2 動力學仿真結果分析

對上述模型進行動力學仿真，以載荷盤角位移、質心角速度和質心角加速度為測量對象，仿真完成后進入后處理模塊postprocessor中對其結果進行圖像輸出與分析，如圖12～圖14所示。

圖12 載荷盤角位移曲線

圖13 載荷盤質心角速度曲線

圖14 載荷盤質心角加速度曲線

將圖12仿真結果與凸輪曲線設計所選運動規律曲線對照可知，一個分度周期內載荷盤角位移為45°，與設計理論值完全吻合，此凸輪機構可驅動換向機構使煙包精確停止在指定工位，滿足設計需求。

由圖13可知，載荷盤角速度與理論曲線（拋物線）相比存在小幅度波動，較好地吻合理論曲線趨勢，且未存在明顯突變，峰值處取值與理論值誤差在5%以內，運動學性能良好。

由圖14可知，載荷盤角加速度曲線與理論曲線（正弦曲線）相比存在較大波動，但均吻合曲線基本趨勢。分析原因為建模過程采用“點—線—面”法時編程軟件和三維造型軟件的連接存在計算誤差[9]、理論值為考慮凸輪工作過程中滾子與工作曲面間的摩擦、接觸剛度等非線性參數的影響以及載荷盤與承載對凸輪運動的影響等，仿真分析結果表明凸輪機構在設定工況下的運動情況滿足設計預期要求，后續可通過凸輪工作曲面優化減弱角加速度波動。

4 結語

從工程實際問題出發，針對某包裝機構所需間歇運動控制機構的特殊性，設計特定參數弧面分度凸輪機構。基于MATLAB軟件編程對弧面分度凸輪工作曲面坐標進行求解，并利用SolidWorks軟件創建了弧面分度凸輪三維模型、裝配體及其多剛體動力學簡化模型。基于Adams軟件對其進行動力學仿真，得到凸輪機構在特定工況下的角位移、角速度和角加速度曲線，結果表明凸輪機構運動情況符合設計預期要求，設計合理，并為后續優化設計研究指明了方向。