形式背景下的技能約簡與評估

周銀鳳，李進金

閩南師范大學 數學與統計學院，福建 漳州363000

知識空間理論（knowledge space theory，KST）是由美國數學心理學家Falmagne 和比利時數學心理學家Doignon 于1985 年首先提出的用數學的方法對學習者進行知識評價及學習指導的一種數學心理模型。目前KST 主要運用于輔助學習與自適應測評領域，在RATH（relational adaptive tutoring hypertext）和ALEKS（assessment and learning in knowledge spaces）等學習和評價系統中得到廣泛的應用。

形式概念分析（formal concept analysis，FCA）是由德國學者Wille 提出的一種從形式背景建立概念格來進行數據分析和規則提取的強有力工具。目前FCA 已被廣泛地研究，并應用到機器學習、軟件工程和信息獲取等領域。

1996 年Rusch 和Wille對知識空間理論與形式概念分析間的聯系進行了研究，提出了由形式背景構造知識空間的方法。這為形式概念分析在教育與心理學等領域的應用奠定了基礎。Spoto 等將知識空間理論與形式概念分析相結合，基于技能映射的合取模型，提出了由形式背景構造知識空間的方法。李進金等對形式背景與知識基的聯系進行了研究，提出了由形式背景構造知識空間的另一種方法。

知識結構主要運用于評估學習者的知識和指導未來的學習。如何構建學習者準確的知識狀態和知識結構是知識空間理論的重點研究問題。Doignon等通過技能映射建立了問題與技能之間的聯系，提出了由技能映射誘導知識狀態，構建知識結構的方法。知識空間理論中，問題與技能之間常見的關系主要有兩種，分別對應著兩種不同的模型，即“析取模型”與“合取模型”。技能映射在析取模型下所誘導的知識結構為知識空間，在合取模型下所誘導的知識結構為閉包空間。Spoto 等通過定義一個雙射，將給定的知識結構與技能映射聯系起來，對給定的知識空間或閉包空間，構建在相應模型下誘導它的技能映射。

Rusch 等將測試者視為對象，將用于測試的問題視為屬性，研究知識空間與形式背景間的聯系。測試者需要掌握某些技能或具有某項能力才能解決相應的問題。若測試者沒有掌握某些技能或不具備某項能力，則無法解決相應的問題。本文視技能為對象，問題為屬性。進一步研究知識空間理論與形式概念分析間的聯系。

學習者對技能的學習過程是一個特殊的概念認知學習過程。李金海等認為概念認知學習是通過具體的認知模型從給定線索中學習概念，以模擬人腦進行概念學習的行為。在知識空間理論中，技能代表潛在的能力，無法直接由測試得到?？梢愿鶕W習者對測試題的回答情況來確定其知識狀態，對其技能進行評估，判斷其技能掌握情況。不同的技能可能與同一問題的求解相關，于是掌握不同技能的學習者可能具有相同的知識狀態，即存在冗余技能。Doignon 在文獻[19]中提出了極小技能映射的概念。高純和Xu 等在文獻[20-21]中對極小技能集的概念和生成方法做了進一步的研究。

本文基于技能與問題之間的關系，提出技能背景的概念。首先通過建立技能背景的概念格，快速構建相應技能映射所誘導的知識空間和閉包空間。其次通過尋找所有問題的原子得到知識基，并討論保持知識基不變的技能約簡問題。隨后基于知識基，討論由知識空間和閉包空間得到技能背景的過程。最后基于技能背景，討論技能評估與學習路徑的選擇問題。

1 預備知識

1.1 形式概念分析概述

三元組(,,)稱為一個形式背景，其中={,,…,x}稱為對象集，={,,…,a}稱為屬性集。任意x∈(=1,2,…,)為一個對象，任意a∈(=1,2,…,)為一個屬性。?×是與之間的二元關系。若(,)∈，則稱對象具有屬性；若(,)?，則稱對象不具有屬性。

定義2設(,,)為形式背景，在對象集?和屬性集?上分別定義運算：

其中，表示中所有對象共同具有的屬性集合，表示具有中所有屬性的對象集合。

特別地，記{}=，表示對象所具有的屬性集合；記{}=，表示具有屬性的對象集合。

若二元組(,)滿足=且=，則稱(,)為形式背景(,,)的一個形式概念（簡稱概念）。其中為形式概念的外延，為形式概念的內涵。

用(,,) 表示形式背景(,,) 的全體概念。對于(,),(,)∈(,,)，記：

則“≤”是(,,)上的偏序關系。且定義：

則(,,)對運算?和?是封閉的，從而(,,)是完備格，稱之為相應于形式背景(,,)的概念格。

1.2 知識空間理論概述

知識狀態是知識空間理論中的核心概念之一。知識狀態是指在非空問題集={,,…,q}中，學習者在理想狀態下所能正確解決的問題集合，記為。所謂理想狀態是指學習者在沒有受到外界壓力或情緒干擾的情況下，沒有由粗心導致的錯誤和由僥幸猜對的情況。

若K 是由非空問題集的子集構成的知識狀態集族，且K 至少包含?和，則稱(,K)為知識結構（knowledge structure）。

在問題集明確的情況下，有時可直接用K 表示知識結構。

若K 滿足并封閉，即對?K,K∈K，有K?K∈K,則稱(,K)為知識空間（knowledge space）；若K 滿足交封閉，即對?L,L∈K，有L?L∈K，則稱(,K)為閉包空間（closure spaces）。

定義4設G、G分別為兩個集族，若G包含G 中所有有限個元素的并組成的集合，則稱集族G是G 的張成（span），記為S(G)=G，或稱G 張成G。

顯然，由G的定義可知G是并封閉的。對知識空間(,K)，由知識空間的定義可知K 滿足并封閉。若B 是張成K 的最小子集族，則稱B 是K 的基（base），且約定??B。

李進金等稱知識空間的基為知識基。基張成知識空間，即基包含了知識空間的所有信息，是反映學習者能夠掌握的最基本的知識狀態的集族。若(,K) 是一個有限的知識空間,則K 有且僅有一個基。本文只討論知識空間有限的情形。

設F 為非空集族。對?∈?F，F 中含有的極小集合稱為的原子（atom）。若對∈?F，是的原子，則稱∈F 為一個原子。

某個問題的原子可能不唯一，且有限的知識結構中每個問題至少有一個原子。若知識空間K 的基為B，則B 是由K 的所有原子構成的集族。

定義6三元組(,,)稱為一個技能映射，其中為非空問題集，是與相對應的非空技能集，是從到2{?}的映射。對?∈，()?表示與問題的求解相關的技能集合。若?()，則技能與問題的求解無關。

技能映射具有多種模型，本文主要考察“合取模型”與“析取模型”?！昂先∧Ｐ汀北憩F為“與”的關系，即學習者需要掌握與問題的求解相關的所有技能，才能解決問題?！拔鋈∧Ｐ汀眲t表現為“或”的關系，即學習者只需掌握與問題的求解相關的某些技能便能解決問題。

對技能子集?，在析取模型下確定的知識狀態為={∈|()?≠?}。遍歷的子集所確定的知識狀態構成的集族K 稱為由技能映射(,,)通過析取模型誘導的知識結構。在合取模型下確定的知識狀態為={∈|()?}。遍歷的子集所確定的知識狀態構成的集族L 稱為由技能映射(,,)通過合取模型誘導的知識結構。

經數學心理學家Falmagne 等的研究發現，技能映射通過析取模型誘導的知識結構是一個知識空間，通過合取模型誘導的知識結構是一個閉包空間。對同一技能映射，通過析取模型與合取模型所誘導的知識結構互為對偶結構。

設(,,)為技能映射，若對?∈，在相同模型下，技能映射(,-{},τ)誘導的知識結構都異于(,,)誘導的知識結構，則稱(,,)為極小技能映射，為極小技能集。

定義8設和′是與問題集相對應的且不相等的非空技能集，若存在一一映射:→′，使得對?∈，有′()=(())={()|∈()}，則稱技能映射(,,)和(,′,′)同構。

顯然，在相同模型下，兩個同構的技能映射誘導相同的知識結構，但誘導相同知識結構的技能映射不一定同構。特別地，在相同模型下，誘導相同知識結構的極小技能映射同構。

2 技能映射與技能背景

Rusch 等視被測試者為對象，視問題為屬性，研究了知識空間理論和形式概念分析之間的聯系，提出了由知識背景構造知識空間的方法。Spoto 等將技能映射的概念運用到心理評估背景上，將內元素視為診斷標準而不是用于解決某一特定問題所需的技能?；诩寄苡成涞暮先∧Ｐ停琒poto 研究了知識空間理論與形式概念分析之間的聯系，提出了由形式背景構造知識結構的方法。

問題與技能之間存在著一定的聯系。學習者需要掌握一定的技能來解決相應的問題。

三元組(,,)稱為一個技能背景，其中為技能（對象）集，為問題（屬性）集。?s∈(=1,2,…,)為一個技能，?q∈(=1,2,…,)為一個問題。?×是與之間的二元關系。若(,)∈，則表示技能與問題的求解無關，若(,)?，則表示技能與問題的求解相關。

技能背景(,,)是一個特殊的形式背景，可以定義技能概念。

設(,,)為技能背景，在技能集?和問題集?上分別定義運算：

其中，表示與中所有技能都無關的問題集，表示與中所有問題的求解都無關的技能集。

特別地，記{}=，表示與技能無關的問題集；記{}=，表示與問題的求解無關的技能集。

若二元組(,)滿足=且=，則稱(,)為技能背景(,,)的一個技能概念（簡稱概念）。其中是概念的外延，是概念的內涵。

一個技能與哪些問題的求解相關，或者一個問題的求解與哪些技能相關，是由問題與技能之間的關系決定的。對于技能映射(,,)，()?表示與問題的求解相關的技能集。于是，由關系(,)∈??()可以確定與技能映射(,,)相對應的技能背景(,,)。相反地，由技能背景可以唯一地確定與之相對應的技能映射。技能背景中，用1 表示(,)∈，用0 表示(,)?。

給定技能映射(,,)，其中={,,,,}，={,,,}，()={,}，()={,,}，()={}，()={,}，()={}。

由(,)∈??()可以得到相對應的技能背景(,,)，如表1所示，其概念格(,,)如圖1所示。

表1 技能背景(S1,Q1,I1)Table 1 Skill context(S1,Q1,I1)

由圖1 可以看到，概念格(,,)的內涵有?,{},{},{,},{,,,},，外延有,{,,},{,,},{,},{},?。概念({,},{,,,})表示與技能,都無關的問題為,,,；且與問題,,,的求解都無關的技能恰好是,。

圖1 概念格L(S1,Q1,I1)Fig.1 Concept lattice L(S1,Q1,I1)

反過來，若給定技能背景(,,)，可根據關系(,)∈??()得到相對應的技能映射(,,)。

3 技能背景與知識結構

通過關系(,)∈??()可將技能映射轉換成技能背景。通過求解技能背景的概念格可以快速確定相應技能映射誘導的知識結構。不同的技能子集可能誘導相同的知識狀態，即存在冗余的技能。下文將在保持知識基不變的前提下，討論技能約簡的問題。另一方面，Falmagne 等指出，一個知識結構至少被一個技能映射所誘導，即對給定的知識結構，可以確定誘導它的技能映射。技能映射與技能背景之間可以相互轉換，從而對于給定的知識結構，可以確定相應的技能背景。

3.1 由技能背景構建知識結構

概念(,)中，內涵中問題的求解與中所有的技能都無關。外延中的技能與中所有問題的求解都無關。由于形式背景中所有概念內涵構成的集族是交封閉的，則所有概念內涵的補集構成的集族是并封閉的。于是可得如下結論。

設(,,)為技能背景，(,,)為其概念格。對?(,)∈(,,)，技能子集在合取模型下確定的知識狀態為內涵，外延在析取模型下確定的知識狀態為。

概念(,)中，外延表示與中所有問題的求解都無關的技能集，對?∈，?∈，有(,)∈，即?()。于是對?∈()，∈，即對?∈，有()?，故為在合取模型下確定的知識狀態。

另一方面，內涵表示與中所有技能都無關的問題集。則表示與中某些技能相關的問題集，即對?∈，存在∈，使得∈()。于是對?∈，()?≠?，故即為在析取模型下確定的知識狀態。

設(,,)為技能背景，(,,)為其概念格。L 是其所有概念內涵構成的集族，K 是其所有概念內涵的補集構成的集族，即K={|∈L}。則L為閉包空間，K 為知識空間，且L與K 互為對偶結構。

通過關系(,)∈??()可得到與技能背景相對應的技能映射(,,)。由于形式背景中所有概念內涵滿足交封閉，從而所有概念內涵的補集滿足并封閉。容易得到，L即為相應技能映射在合取模型下誘導的閉包空間。K 即為相應技能映射在析取模型下誘導的知識空間。

本文分別稱L、K 是由技能背景(,,)通過合取模型、析取模型確定的閉包空間和知識空間。

對技能背景(,,)，由圖1 和定理2 得技能背景(,,)所有概念內涵構成的集族為L={?,{},{},{,},{,,,},}，所有概念內涵補集構成的集族為K={?,{},{,,},{,,,},{,,,},}。于是技能背景(,,)通過合取模型確定的閉包空間為L，通過析取模型確定的知識空間為K。

知識狀態是學習者在理想狀態下能夠解決的問題子集。特別地，在析取模型下，若學習者僅僅掌握了技能，則該學習者的知識狀態即為與技能相關的問題集合。于是可得如下結論。

設(,,)為技能背景。在析取模型下技能子集{}確定的知識狀態為=。

設(,,)是與(,,)相對應的技能映射，則在析取模型下，技能子集{}誘導的知識狀態為：

即技能子集{}誘導的知識狀態為=。

例1 中，根據推論1 可知技能子集{}通過析取模型誘導的知識狀態為{}?？梢园l現技能子集{}通過析取模型誘導的知識狀態也是{}，即在構建知識結構的過程中存在冗余的技能。下文將討論技能的約簡問題。

3.2 知識基與技能約簡

技能背景通過合取模型與析取模型確定的知識結構對偶。下文將基于析取模型討論技能的約簡問題。技能約簡是保持知識結構不變的前提下，刪除冗余技能的過程。在析取模型下，技能背景確定的知識結構為知識空間。有限的知識空間必有一個基，知識空間可由基唯一確定。于是可以討論保持知識空間基不變的前提下，技能的約簡問題。保持知識空間基不變，從而保持知識結構不變。

本文將技能背景通過析取模型確定的知識空間的基稱為技能背景的知識基。保持知識基不變的技能約簡，不必求出技能映射誘導的知識結構，從而降低了時間復雜度。

知識空間K 的基是由K 的所有原子構成的集族。問題的原子是指包含問題的極小知識狀態，給出如下定義。

設(,,)為技能背景。↙表示是不包含問題的極大集。

由定義11 可知若↙，則是包含問題的極小集，且由推論1 可知是一個知識狀態，于是是問題的原子。用()表示問題的所有原子，則可以通過運算“ ↙”由技能背景中找出所有問題的原子，從而得到知識空間的基。于是可得如下結論。

推論2 中知識空間K 的基B 即為技能背景(,,)的知識基。

給定技能映射(,,)，其中={1,2,3,4,5}，={,,,,,}，(1)={,,,}，(2)={,,}，(3)={,}，(4)={,,,}，(5)={,} 。其對應的技能背景為(,,)，則有：

于是由定義11可以得到技能背景(,,)如表2所示，其中用“×”表示(,)∈。

由表2 和推論2 可得(1)={}={{1}}，同理有(2)={{2,3},{1,2,4}}，(3)={{2,3}}，(4)={{1,2,4},{4,5}}，(5)={{4,5}}。于是技能背景(,,) 的知識基為B={{1},{2,3},{4,5},{1,2,4}}。

表2 技能背景(S2,Q2,I2)Table 2 Skill context(S2,Q2,I2)

由推論2 可以知道，技能背景(,,)的知識基只需由滿足↙(∈,∈)的技能來描述。于是可以對技能背景進行約簡，約去不存在“ ↙”的行。此外，若技能背景中存在具有“ ↙”且完全相同的兩行，設對應的技能分別為，，則=，說明由這兩個技能誘導的知識狀態相同，可選擇性地約去其中一個技能。

若對?∈，技能都不滿足↙，則稱技能為不必要技能。若對技能,∈，存在∈，使得↙，↙且=，則稱技能，為相對必要技能。若對技能∈，存在∈，使得↙，且對?∈-{}，都有≠，則稱技能為核心技能。

對技能背景進行技能約簡，最后得到每行都具有“ ↙”且每行都各不相同的技能背景。約簡后與約簡前的技能背景具有相同的知識基，從而通過析取模型確定的知識空間相同。此時，所有的行對應的技能構成的集合即為極小技能集。

設(,,I)是由(,,)通過技能約簡得到的每行都具有“ ↙”，且每行都各不相同的技能背景，則為極小技能集，(,,)為極小技能映射。其中是從到2{?}的映射。

由于存在相對必要技能，于是極小技能集和極小技能映射不一定唯一。

對技能背景(,,)進行技能約簡，約去不具有“ ↙”的行，得到每行都各不相同的技能背景(,,I)，如表3 所示。

表3 技能背景(X,Q2,IX)Table 3 Skill context(X,Q2,IX)

可以發現=，于是,為相對必要技能，此處將技能約去。由定義11 顯然可以知道是不包含問題的極大集，于是有↙。同理有↙，↙，↙，↙，↙，↙。因此可以得到約簡后的技能背景(,,I)，如表4 所示。

表4 技能背景(T,Q1,IT)Table 4 Skill context(T,Q1,IT)

由表4 可以得到，={,,}為極小技能集，此時極小技能集不唯一，對應的極小技能映射也不唯一。

有限的知識空間中，每個問題至少有一個原子，于是在技能背景(,,)中，對?∈，存在∈，使↙成立，于是可得如下結論。

設?為極小技能集，則技能背景(,,I)和(,,)的知識基相同，且都為B={|?∈}。

(,,)與(,,I)通過析取模型確定的知識空間相同，設為K 。顯然(,,I)和(,,)的知識基相同。對?∈，存在∈，使↙成立，即是的原子。而對?∈，存在∈，使↙成立，于是K 的原子都可以表示為(∈) 的形式。故技能背景(,,I)的知識基為B={|?∈}。

由例4 可知，技能背景(,,)的極小技能集為={,,,}。由推論4 可知，技能背景(,,)的知識基為B={{1},{2,3},{4,5},{1,2,4}}。這與例3 中未進行技能約簡時所求結果一致。

3.3 由知識結構構建技能背景

對于給定的知識結構，若其滿足并封閉，則為知識空間。有限的知識空間必存在基，而存在基的知識空間必由某極小技能映射所誘導，且極小技能集的基數等于基中元素的個數。于是有限的知識空間必由某極小技能映射所誘導。

對于確定的知識空間，可以通過尋找知識空間的基，進而尋找誘導該知識空間的極小技能映射。

定理3設知識空間K 的基為B，給定集合，使得:→B 為一個雙射，則技能映射()={∈|∈()}通過析取模型誘導的空間為K。

設知識空間K 的基為B={{},{,},{,}}，且={,,}，則必存在誘導知識空間K 的極小技能映射。令={1,2,3}，定義雙射:→B 使得(1)={}，(2)={,}，(3)={,}。則()={1,2}，()={2,3}，()={3}。于是技能映射(,,)通過析取模型誘導的知識空間為K，且(,,)是誘導K 的極小技能映射。

對于給定的知識空間，可以確定誘導它的極小技能映射。技能映射(,,)與技能背景(,,)之間可以互相轉換。于是對給定的知識空間K，可以構建通過析取模型確定K 的技能背景。從而有如下結論。

設知識空間K 的基為B，為問題集，令B′={|∈B}。給定集合，使得:→B′是一個雙射，?×是與之間的二元關系，且(,)∈?∈()，則技能背景(,,)所有概念內涵的補集構成K。

令:→B，則()=()(?∈)。由定理3可得技能映射()={∈|∈()}在析取模型下誘導的知識空間為K，且∈()?∈()。在析取模型下，由技能子集?誘導的知識狀態={∈|()?≠?}，當為單點集時，設={}，則：

遍歷的所有單點集得到基B，即技能背景(,,)的知識基為B 。于是(,,)的所有概念內涵的補集構成的集族即為K。

給定知識空間K={?,{1,3},{2,4},{3,4},{1,3,4},{2,3,4},}，K 的基為B={{1,3},{2,4},{3,4}}。則根據B′={|∈B}得到B′={{2,4},{1,3},{1,2}}。令={,,}，定義雙射:→B′使得()={2,4}，()={1,3}，()={1,2}。于是根據(,)∈?∈()可以得到通過析取模型確定知識空間K 的技能背景(,,)，如表5 所示。

表5 技能背景(S,Q,I)Table 5 Skill context(S,Q,I)

若給定的知識結構L滿足交封閉，則其對偶結構K 滿足并封閉，即K 為知識空間。于是可以根據定理4 構建通過析取模型確定K 的技能背景。從而得到通過合取模型確定L的技能背景。對給定的閉包空間L，通過合取模型確定L的技能背景的構建過程如下：

（1）計算出閉包空間L的對偶結構K；

（2）求出知識空間K 的基B ；

（3）根據B′={|∈B}計算出B′；

（4）定義技能集，使得:→B′是一個雙射；

（5）根據(,)∈?∈()得到技能背景(,,)。

對于閉包空間L={?,{1},{2},{1,2},{1,3},{2,4},}，要構建通過合取模型確定L的技能背景。先計算出其對偶結構K={?,{1,3},{2,4},{3,4},{1,3,4},{2,3,4},}，再計算K 的基B。從而根據定理4 構建出技能背景(,,)如表5 所示。

4 技能評估與學習路徑選擇

李金海等在文獻[22]中對概念的漸進式認知理論與方法進行了研究，認為概念的漸進式認知能夠實現階段性認知，并根據階段性認知來及時指導下一步的行動，從而逐漸實現完全認知。不同的技能可能與相同問題的求解相關，即掌握了不同技能的學習者可能具有相同的知識狀態。在已知學習者知識狀態的情形下，對學習者進行技能評估，并選擇學習可以促使知識狀態發生改變的技能顯得尤為重要。與概念的漸進式認知理論不同的是下文將在已知學習者知識狀態的情形下，通過技能評估得到學習者對技能的掌握情況，并據此指導下一步的技能學習。

由知識結構K 的定義可知，K 必包含?和。知識狀態為?的學習者需要學習相應的技能才能達到狀態。屬性拓撲表示法是形式背景的一種新型的可視化表示法。與屬性拓撲表示不同的是下文將以知識狀態為結點，在析取模型與合取模型下，對學習者的學習過程進行可視化表示，以便選擇最佳的學習路徑。尋找適合自己的學習路徑，可以降低學習中的時間成本和精神成本，提高學習效率，優化學習效果。

4.1 析取模型下的技能評估與學習路徑選擇

設(,,)為技能背景，,∈，若?，即?，則與技能相關的問題也與技能相關，記作?。

當誘導知識狀態的技能子集都同時包含有技能,，且,都是核心技能并滿足?時，處于該知識狀態的學習者必定掌握了技能，且無法判斷其是否掌握了技能。

例如在技能背景(,,) 中，核心技能集為={,,,}。由定義12 得?，顯然技能子集{,,}和{,}在析取模型下確定的知識狀態都是{1,2,4,5}。若學習者的知識狀態為{1,2,4,5}，則其必定掌握的技能為,，而無法判斷其是否掌握了技能。

對給定的技能背景(,,)，設其概念格為(,,)，核心技能集為，所有概念內涵的補集構成的知識空間為K。對任意概念(,)∈(,,)，技能集在析取模型下確定的知識狀態為∈K。于是有如下結論。

設(,,)為技能背景，為其核心技能集，(,) 為其任一概念。若學習者的知識狀態為=，則該學習者需掌握的核心技能有(?){|,∈(?),?}。

析取模型下，不必要技能所誘導的知識狀態可由其他技能誘導的狀態的并來表示，且相對必要技能之間可以相互代替，于是只需判斷學習者需掌握的核心技能。對誘導狀態的技能集，若存在,∈?，使得?。即與技能相關的問題也與技能相關，故技能,中，學習者需掌握技能，而技能可掌握也可不掌握。故該學習者需掌握的核心技能有(?){|,∈(?),?}。

對于給定的技能背景(,,)，可以通過計算得到其概念格(,,)。根據概念格上的偏序關系，可以找到由概念(?,)到概念(,?)的路徑，從而學習者可以選擇適合自己的學習路徑。若中存在相對必要技能，則學習者可以根據自身情況，選擇學習適合自己的相對必要技能。下面分兩種情況進行討論。

第一種情況是不存在相對必要技能時，對于學習路徑?→→→…→。設處于知識狀態K的學習者需掌握的核心技能有T，處于知識狀態K的學習者需掌握的核心技能有T。則處于狀態K的學習者需要學習T中異于T中的技能來達到狀態K。

第二種情況是存在相對必要技能時，對于學習路徑?→→→…→。設處于知識狀態K的學習者需掌握的核心技能有T，處于知識狀態K的學習者需掌握的核心技能有T。若T=T，則處于狀態K的學習者可根據自身情況選擇相對必要技能進行學習達到狀態K。若T≠T，則處于狀態K的學習者需學習T中異于T中的技能來達到狀態K。

設(,K)為知識結構，K 有條學習路徑。其中，由?到經過的知識狀態的個數最少的學習路徑稱為關鍵學習路徑。

由?到的關鍵學習路徑可能不唯一，學習者可以根據自身對技能的掌握情況，選擇最適合自己的學習路徑，以提高學習效率。

表1 的技能背景(,,) 中，={,,,}，={,}，={}，={,,,}。其核心技能集為={,}。概念格(,,)如圖1 所示。所有概念內涵的補集構成的集族為K={?,{},{,,},{,,,},{,,,},}。

對于概念({,,},{})∈(,,)，技能子集{,,}在析取模型下確定的知識狀態為{}={,,,}。若學習者的知識狀態為{,,,}，則其需掌握的核心技能為{,,}?={}，同理可得處于K中狀態的學習者的技能掌握情況如表6 所示。

表6 K1 中知識狀態的技能掌握情況Table 6 Skill mastery of knowledge state in K1

由圖1 可以發現有3 條由概念(?,) 到概念(,?)的路徑，則在析取模型下，知識狀態由?到的學習路徑有3 條。結合表6 可將學習路徑以圖2 所示形式表示出來。

圖2 K1 的學習路徑Fig.2 Learning path in K1

根據圖2，學習者可以根據目前所處的知識狀態來選擇下一步將要學習的技能，從而提高學習效率。

圖3 概念格L(S2,Q2,I2)Fig.3 Concept lattice L(S2,Q2,I2)

由圖3 可知技能背景(,,)所有概念內涵補集構成的集族為K={?,,{1},{2,3},{4,5},{1,2,3},{1,2,4},{1,4,5},{1,2,3,4},{1,2,4,5},{2,3,4,5}}。由定理5 可以得到處于K中狀態的學習者的技能掌握情況如表7所示。

表7 K2 中知識狀態的技能掌握情況Table 7 Skill mastery of knowledge state in K2

由圖3 可以發現有8 條由概念(?,) 到概念(,?)的路徑，則在析取模型下，知識狀態由?到的學習路徑有8 條。結合表7 可將學習路徑以圖4所示形式表示出來。

圖4 K2 的學習路徑Fig.4 Learning path in K2

4.2 合取模型下的技能評估與學習路徑選擇

對于給定的技能背景(,,)，設其概念格為(,,)。所有概念內涵構成的閉包空間為L。對任意概念(,)∈(,,)，技能集在合取模型下誘導的知識狀態為∈L。于是有如下結論。

設(,,)為技能背景，(,)為其任一概念。若學習者的知識狀態為∈L，則該學習者必定掌握的技能為。

學習者的知識狀態為=，說明該學習者掌握了與中問題的求解相關的所有技能。因為表示與中所有問題的求解都無關的技能集，于是學習者必定掌握的技能即為。又因為=，所以該學習者必定掌握的技能為。

對于給定的技能背景(,,)，可以通過計算得到其概念格(,,)，根據概念格的偏序關系，可以找到由概念(,?)到概念(?,)的路徑，從而學習者可以根據自身情況選擇適合自己的學習路徑。

對于學習路徑?→→→…→，設處于知識狀態K的學習者必定掌握的技能為T，處于知識狀態K的學習者必定掌握的技能為T。則處于狀態K的學習者需要學習T中異于T中的技能來達到狀態K。

技能背景(,,)中，其所有概念內涵構成的閉包空間為L={?,{},{},{,},{,,,},}。對于概念({,,},{})∈(,,)，技能子集{,,}={}在合取模型下誘導的知識狀態為{}。若學習者的知識狀態為{}，則其必定掌握的技能為{}，同理可得處于L中狀態的學習者的技能掌握情況如表8 所示。

表8 L1 中知識狀態的技能掌握情況Table 8 Skill mastery of knowledge state in L1

由圖1 可以發現有3 條由概念(,?)到概念(?,)的路徑，則在合取模型下，知識狀態由?到的學習路徑有3 條。結合表8 可將學習路徑以圖5 所示形式表示出來。

圖5 L1 的學習路徑Fig.5 Learning path in L1

根據圖5，學習者可以根據目前所處的知識狀態來選擇下一步將要學習的技能，從而提高學習效率。

5 結束語

基于技能與問題間的關系，本文將技能映射與形式概念分析相結合，提出了技能背景的概念。首先對知識結構與技能背景間的聯系進行了研究，討論了知識結構與技能背景的互相轉換問題。運用求解概念格的方法可以快速得到由相應技能映射誘導的知識結構。其次討論了知識基的尋找方法以及保持知識基不變的技能約簡問題。最后討論了技能評估與學習路徑的選擇問題，學習者可以通過技能評估選擇適合自己的學習路徑，從而提高學習效率。

通過研究發現，當問題集與技能集較大時，需要借助算法來計算概念格，從而得到學習路徑，并對學習路徑進行可視化，以便對學習路徑的選擇。在今后的研究中將進一步考慮大樣本情況下，學習路徑的選擇與可視化問題。此外，本文主要對技能映射的析取模型與合取模型進行研究，且未對概念認知學習過程進行詳細的介紹。在今后的研究中，將進一步考慮技能多映射的能力模型與形式概念分析間的聯系，并與概念認知學習過程進行結合，進一步考慮技能評估與技能選擇過程，且對學習代價以及學習成本等問題進行研究。