把脈方程與不等式問題中的易錯點

文／張田田

方程與不等式是刻畫現實世界數量關系的有效模型，反映的是數學中“相等”與“不等”兩種基本的數量關系，是解決數學問題和生活實際問題的有力工具，是中考考查的重要內容。在做題的過程中，不少同學覺得，有的題明明會做，可還是錯了；有的題看著挺眼熟，可就是不知如何下手……接下來，本文從中考中尋找易錯的題型，抓住考查的要點，揭秘方程與不等式易錯題背后的錯因。

例1解方程：x（x-7）=8（7-x）。

【典型錯誤】方程兩邊同時除以（x-7），得x=-8。

【錯因分析】運用等式的基本性質，等式兩邊同除以一個不為零的數或式子，但除以（x-7）時未考慮x-7=0的情況，所以方程“失”去了一個根。

【正解】x（x-7）-8（7-x）=0，

（x-7）（x+8）=0，

x-7=0或x+8=0，

所以x1=7，x2=-8。

【點評】解一元二次方程時，若方程有實數根，一定有兩個（相等或不相等）實數根。如遇到x（x-7）=8（7-x）這種形式的方程時，不能兩邊同除以（x-7），而應先移項、再提公因式，一邊因式分解為兩個一次因式的乘積，另一邊是0，謹防失根的情況出現。

例2解方程

【典型錯誤1】方程兩邊同時乘（x+1）·（x-1），得2（x-1）+1=x（x+1）。

方程無解。

【典型錯誤2】方程兩邊同時乘（x+1）（x-1），得2（x-1）+（x+1）（x-1）=x·（x+1）。

解得x=3。

【錯因分析】根據等式的基本性質，方程兩邊同時乘最簡公分母（x+1）（x-1），應乘方程的每一項，而“典型錯誤1”中的常數項1沒有乘（x+1）（x-1），與原方程不是同解方程。“典型錯誤2”是沒有將求出來的根進行檢驗，不確定其是否為增根，這樣解出的根可能導致分母為0。

【正解】方程兩邊同時乘（x+1）·（x-1），

得2（x-1）+（x+1）（x-1）=x（x+1）。

解得x=3。

檢驗：當x=3時，（x+1）（x-1）≠0。

所以，原方程的解為x=3。

【點評】由于解分式方程需要去分母，轉化為整式方程求解，所以可能會產生增根，因此需要進行檢驗。同時，應用等式基本性質時，不要漏乘。碰到類似題目時，一是不要圖快而遺漏，二是一定要記得檢驗。

例3以下是圓圓解不等式組的解答過程：

解：由①，得2+x＞-1，所以x＞-3。

由②，得1-x＞2，所以-x＞1，

所以x＞-1。

所以原不等式組的解是x＞-1。

圓圓的解答過程是否有錯誤？如果有錯誤，請寫出正確的解答過程。

【錯因分析】在去括號的過程中，需要與括號里的每一項相乘，所以解不等式①不對；不等式兩邊同時除以-1時，不等號的方向要改變，所以解不等式②不對。

【正解】圓圓的解答過程有錯誤。

正確過程如下：由①，得2+2x＞-1，

∴2x＞-3，

由②，得1-x＜2，

∴-x＜1，∴x＞-1。

∴不等式組的解集為x＞-1。

【點評】解不等式時，兩邊同乘負數，不等號的方向要改變；不等式組的解集可以借助“同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小無處找”，也可以畫數軸求解。

例4已知關于x的一元二次方程x2-mnx+m+n=0，其中m、n在數軸上的對應點如圖所示，則這個方程的根的情況是（ ）。

A.有兩個不相等的實數根

B.有兩個相等的實數根

C.沒有實數根

D.無法確定

【典型錯誤】C或D。

【錯因分析】雖然根據數軸可以判斷m、n的符號，但是不一定聯想到m+n、mn的符號，從而不能判斷根的判別式。也有同學直接去求方程的根，但隨后卻無從下手。

【正解】由數軸，得m＞0，n＜0，m+n＜0，

∴mn＜0，

∴b2-4ac=（-mn）2-4（m+n）＞0，

∴方程有兩個不相等的實數根。故選A。

【點評】判斷一元二次方程根的情況，我們首先想到根的判別式，然后根據題目所給條件進行判斷。