導(dǎo)數(shù)中的不等式證明策略研究

吳艷麗

(黑龍江省大慶市第二中學(xué))

導(dǎo)數(shù)中不等式的證明問(wèn)題,歷來(lái)出現(xiàn)在高考命題的壓軸題中,由于不等式證明方法靈活性很強(qiáng),因此這類問(wèn)題具有很高的研究?jī)r(jià)值.基于此,本文結(jié)合具體問(wèn)題,闡述幾種常見(jiàn)的解題方法,以期拋磚引玉.

1 構(gòu)造函數(shù)法

將不等式的證明問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用問(wèn)題進(jìn)行求解,這是這類問(wèn)題最常用的方法,這種方法體現(xiàn)了函數(shù)、方程、不等式三者之間的內(nèi)在聯(lián)系.運(yùn)用這種方法一般分為三個(gè)步驟:1)合理構(gòu)造函數(shù);2)利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)的單調(diào)性;3)利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式.

例1若函數(shù)f(x)＝1－,點(diǎn)A(1,1)是曲線y＝f(x)與y＝g(x)的公共點(diǎn),且它們?cè)邳c(diǎn)A處的兩條切線互相垂直.

(1)求a,b的值;

(2)證明:當(dāng)x≥1時(shí),f(x)＋g(x)≥

(1)a＝b＝－1(具體求解過(guò)程略).

當(dāng)需要證明的不等式兩邊都含有同一個(gè)變量時(shí),我們通常可以直接構(gòu)造“左減右”的函數(shù),再應(yīng)用它的導(dǎo)函數(shù)來(lái)探究它的單調(diào)性.

2 放縮法

當(dāng)所證不等式的不等號(hào)中不含等號(hào)時(shí),可考慮用放縮法證明,在證明過(guò)程中將某部分函數(shù)式用另一個(gè)函數(shù)值比較大(或者比較小)的函數(shù)替換,從而構(gòu)造新的函數(shù),再利用函數(shù)的單調(diào)性加以證明.

例2已知函數(shù)f(x)＝

(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;

(2)證明:當(dāng)x＞0時(shí),都有

(1)函數(shù)f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,在(1,＋∞)上單調(diào)遞減(求解過(guò)程略).

易證lnx≤x－1,當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時(shí)等號(hào)成立(證明過(guò)程略),所以0＜ln(x＋1)＜x(x＞0).

綜上,當(dāng)x＞0時(shí),f′(x)ln(x＋1)＜

含有l(wèi)nx或ex的函數(shù)是超越函數(shù),在解決具體問(wèn)題時(shí)應(yīng)根據(jù)這兩類函數(shù)的特點(diǎn)及結(jié)構(gòu)特征,對(duì)不等式實(shí)施靈活變形,并注意重要不等式lnx≤x－1?ex≥x＋1的合理代換.

3 切線法

所謂切線法,就是證明某曲線的圖像恒位于某一點(diǎn)切線處的上方或下方,本質(zhì)上看就是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)圖像的分布,這種方法體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想.

例3已知函數(shù)f(x)＝ex－x2.

(1)求曲線f(x)在x＝1處的切線方程;

(1)曲線f(x)在x＝1處的切線方程為y＝(e－2)x＋1(具體求解過(guò)程略).

(2)令g(x)＝f′(x),則g′(x)＝ex－2,當(dāng)x＜ln2時(shí),g′(x)＜0,當(dāng)x＞ln2時(shí),g′(x)＞0,故函數(shù)f′(x)在(－∞,ln2)上單調(diào)遞減,在(ln2,＋∞)上單調(diào)遞增.又gmin(x)＝g(ln2)＝f′(ln2)＝2－2ln2＞0,故函數(shù)f(x)在(0,＋∞)上單調(diào)遞增.由(1)知曲線f(x)在x＝1處的切線是y＝(e－2)x＋1.

又f(1)＝e－1,于是可以猜想函數(shù)f(x)的圖像位于切線y＝(e－2)x＋1的上方.

我們先來(lái)證明當(dāng)x＞0時(shí),f(x)≥(e－2)x＋1.

設(shè)h(x)＝f(x)－(e－2)x－1(x＞0),則

當(dāng)0＜x＜ln2時(shí),h″(x)＜0,當(dāng)x＞ln2時(shí),h″(x)＞0,故h′(x)在(0,ln2)上單調(diào)遞減,在(ln2,＋∞)上單調(diào)遞增.由h′(0)＝3－e＞0,h′(1)＝0,0＜ln2＜1,則h′(ln2)＜0,故存在x0∈(0,ln2),使得h′(x0)＝0,故當(dāng)x∈(0,x0)∪(1,＋∞)時(shí),h′(x)＞0,當(dāng)x∈(x0,1)時(shí),h′(x)＜0,故h(x)在(0,x0)和(1,＋∞)上單調(diào)遞增,在(x0,1)上單調(diào)遞減.

又因?yàn)閔(0)＝h(1)＝0,故h(x)≥0,即f(x)≥(e－2)x＋1,當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時(shí)等號(hào)成立,故當(dāng)x＞0時(shí),ex－x2≥(e－2)x＋1,即≥x,又因?yàn)閤≥lnx＋1,當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時(shí)等號(hào)成立(證明過(guò)程略),所以≥lnx＋1,當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時(shí)等號(hào)成立.

利用切線法證明這類不等式時(shí),往往還要用到放縮法,這種方法靈活性強(qiáng).當(dāng)然這種方法的出現(xiàn)往往不是憑空產(chǎn)生的,當(dāng)問(wèn)題的第(1)問(wèn)要求我們求曲線在某一點(diǎn)處的切線方程時(shí),我們往往要考慮能否運(yùn)用切線放縮法來(lái)證明不等式.

4 應(yīng)用函數(shù)的凹凸性

在不等式恒成立問(wèn)題中,有些試題往往以曲線與切線靜態(tài)或者動(dòng)態(tài)的位置關(guān)系為幾何背景,這時(shí)我們可以著眼于曲線的凹凸性,從而獲得清晰自然的思路.

例4已知函數(shù)f(x)＝(x＋1)lnx,曲線y＝f(x)在x＝1處的切線方程為y＝ax＋b.

(1)求證:x＞1時(shí),f(x)＞ax＋b;

(1)當(dāng)x＞1 時(shí),f(x)＞2(x－1)(證明過(guò)程略).

(2)由(1)知當(dāng)x＞1時(shí),有(x＋1)lnx＞2(x－1).令x＝n2－2＞1(n≥2,n∈N*),則

本題中f(x)的一階導(dǎo)函數(shù)為f′(x)＝lnx＋二階導(dǎo)函數(shù)為f″(x)＝＞0,這說(shuō)明原函數(shù)f(x)是凹函數(shù),故不等式(x＋1)lnx＞2(x－1)恒成立.

導(dǎo)數(shù)中不等式的證明問(wèn)題是一個(gè)永恒的話題,也是一個(gè)永遠(yuǎn)值得研究的課題,這類問(wèn)題的解決沒(méi)有相對(duì)固定的思路與方法,面對(duì)具體問(wèn)題,我們必須從問(wèn)題的實(shí)際情況出發(fā)制訂解題方案.因此解答這類問(wèn)題不可故步自封,不可按部就班,應(yīng)大開腦洞,打破常規(guī),不斷探索,善于從數(shù)學(xué)的基本思想與方法的角度去分析問(wèn)題,才有可能找到解決這類不等式證明問(wèn)題的最佳思路與方法.

(完)