巧構(gòu)函數(shù),妙用導(dǎo)數(shù)

孫桐江

(天津市靜海區(qū)第六中學(xué))

解決一些含有導(dǎo)函數(shù)的關(guān)系式(或不等式)問(wèn)題時(shí),經(jīng)常要合理構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)運(yùn)算以及導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)取值情況確定相應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性,再結(jié)合函數(shù)的基本性質(zhì)解決與之相關(guān)的函數(shù)問(wèn)題.在解決一些導(dǎo)數(shù)問(wèn)題中,若已知某個(gè)含f′(x)的關(guān)系式或不等式,往往可以將所求問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題,這時(shí)就需要根據(jù)關(guān)系式或不等式的形式,巧妙構(gòu)造函數(shù),再根據(jù)導(dǎo)數(shù)確定所構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性,并綜合其他相關(guān)知識(shí)順利求解問(wèn)題.本文總結(jié)題目類(lèi)型與解決策略,以期引領(lǐng)并指導(dǎo)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與復(fù)習(xí)備考.

1 構(gòu)造函數(shù)xf(x)或

若問(wèn)題條件中含有“xf′(x)＋f(x)”或“xf′(x)－f(x)”形式的關(guān)系式或不等式,可考慮構(gòu)造函數(shù)xf(x)或進(jìn)行求解.

例1(2015年全國(guó)Ⅱ卷理12)設(shè)函數(shù)f′(x)是奇函數(shù)f(x)(x∈R)的導(dǎo)函數(shù),f(－1)＝0,當(dāng)x＞0時(shí),xf′(x)－f(x)＜0,則使得f(x)＞0成立的x的取值范圍是( ).

B.(－1,0)∪(1,＋∞)

C.(－∞,－1)∪(－1,0)

D.(0,1)∪(1,＋∞)

分析根據(jù)題目條件中不等式含有“xf′(x)－f(x)”的形式,合理構(gòu)造對(duì)應(yīng)的函數(shù),通過(guò)求導(dǎo)處理,結(jié)合相關(guān)代數(shù)式的正負(fù)取值情況,利用函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性,以及函數(shù)的零點(diǎn)來(lái)解決相應(yīng)的抽象不等式問(wèn)題.

解 根據(jù)題意,構(gòu)造函數(shù)g(x)＝,求導(dǎo)可得g′(x)＝,由于當(dāng)x＞0時(shí),xf′(x)－f(x)＜0,所以當(dāng)x＞0時(shí),g′(x)＜0,即函數(shù)g(x)在(0,＋∞)上單調(diào)遞減.

又由于函數(shù)f(x)(x∈R)是奇函數(shù),則知函數(shù)g(x)是偶函數(shù),所以函數(shù)g(x)在(－∞,0)上單調(diào)遞增,且g(－1)＝g(1)＝0,所以當(dāng)0＜x＜1 時(shí),g(x)＞g(1)＝0,則f(x)＞0 成立;當(dāng)x＜－1 時(shí),g(x)＜g(－1)＝0,則f(x)＞0成立.

綜上,使得f(x)＞0 成立的x的取值范圍是(－∞,－1)∪(0,1),故選A.

2.公司層面與業(yè)務(wù)層面的共同點(diǎn)。公司層面與業(yè)務(wù)層面的共同點(diǎn)主要體現(xiàn)在三方面。一是控制遵循的原則基本一致。即都要遵循全面性原則、重要性原則、制衡性原則、適應(yīng)性原則、成本效益原則；二是控制實(shí)現(xiàn)的總體目標(biāo)是一致的。即都圍繞實(shí)現(xiàn)生產(chǎn)經(jīng)營(yíng)目標(biāo)、財(cái)務(wù)目標(biāo)和合規(guī)目標(biāo)而實(shí)施；三是防范的基本風(fēng)險(xiǎn)是一致。即主要為了經(jīng)營(yíng)風(fēng)險(xiǎn)、防范戰(zhàn)略風(fēng)險(xiǎn)、法律風(fēng)險(xiǎn)和財(cái)務(wù)風(fēng)險(xiǎn)。

本題先構(gòu)造與題目條件相吻合的復(fù)合抽象函數(shù),再通過(guò)求導(dǎo)并結(jié)合題目條件確定新構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性.根據(jù)題目條件聯(lián)想與之對(duì)應(yīng)的復(fù)合函數(shù)是求解問(wèn)題的關(guān)鍵.

2 構(gòu)造函數(shù)xf(nx)或

若問(wèn)題的條件中含有“nxf′(nx)＋f(nx)”或“xf′(x)－nf(x)”形式的關(guān)系式或不等式,可考慮構(gòu)造函數(shù)xf(nx)或進(jìn)行求解.

例2已知偶函數(shù)f(x)(x≠0)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x),且滿足f(－1)＝0,當(dāng)x＞0 時(shí),2f(x)＞xf′(x),則使得f(x)＞0成立的x的取值范圍是_________.

分析本題先根據(jù)題目條件中的不等式“xf′(x)＜2f(x)”合理構(gòu)造函數(shù)F(x)＝,并結(jié)合條件確定函數(shù)F(x)的單調(diào)區(qū)間,最后由函數(shù)的圖像直觀確定相應(yīng)不等式的解集.

解根據(jù)題意,構(gòu)造函數(shù)F(x)＝,求導(dǎo)可得F′(x)＝,由于當(dāng)x＞0 時(shí),xf′(x)－2f(x)＜0,所以當(dāng)x＞0時(shí),F′(x)＜0,故函數(shù)F(x)在(0,＋∞)上單調(diào)遞減,而函數(shù)f(x)為偶函數(shù),則知F(x)＝為偶函數(shù),所以F(x)在(－∞,0)上單調(diào)遞增.

由f(－1)＝0,可得F(1)＝F(－1)＝f(－1)＝0,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性可得f(x)函數(shù)的大致圖像,如圖1所示,根據(jù)圖像可知f(x)＞0的解集為(－1,0)∪(0,1).

圖1

題目條件中的不等式為合理構(gòu)造函數(shù)提供了條件.對(duì)于這類(lèi)問(wèn)題,經(jīng)常借助題目條件中的關(guān)系式,合理變形與構(gòu)造較為常見(jiàn)的函數(shù),這也是構(gòu)造函數(shù)解題的基礎(chǔ).

3 構(gòu)造函數(shù)

若問(wèn)題條件中含有“f′(x)－f(x)”形式的關(guān)系式或不等式,可考慮構(gòu)造函數(shù)輔助解題.

例3若函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)镽,?x∈R,f′(x)＜f(x),且f(x＋1)為偶函數(shù),f(2)＝1,則不等式f(x)＜ex的解集為_(kāi)________.

分析根據(jù)題目條件中的不等式“f′(x)＜f(x)”合理構(gòu)造函數(shù)F(x)＝,再通過(guò)求導(dǎo)、結(jié)合不等式恒成立的條件確定函數(shù)F(x)的單調(diào)性.

解構(gòu)造函數(shù)F(x)＝,求導(dǎo)可得

由?x∈R,f′(x)＜f(x),可得

則函數(shù)F(x)在R上單調(diào)遞減.

又由于f(x＋1)為偶函數(shù),則有f(x＋1)＝f(－x＋1),結(jié)合f(2)＝1,令x＝1,可得

那么F(0)＝1,由f(x)＜ex,得＜1,即F(x)＜F(0),根據(jù)函數(shù)F(x)是R 上的單調(diào)遞減函數(shù),可得x＞0.

函數(shù)y＝ex的導(dǎo)數(shù)特征為進(jìn)一步構(gòu)造與之對(duì)應(yīng)的函數(shù)提供了條件.若所求題目條件中涉及含ex的關(guān)系式,通常構(gòu)造與這類(lèi)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)進(jìn)行求解.

4 構(gòu)造函數(shù)

若問(wèn)題條件中含有“f′(x)sinx－f(x)cosx”形式的關(guān)系式或不等式,可考慮構(gòu)造函數(shù)進(jìn)行求解.

例4已知定義在(0,)上的函數(shù)f(x),f′(x)是它的導(dǎo)函數(shù),且恒有f(x)＜f′(x)tanx成立,則( ).

分析根據(jù)題目條件中的不等式“f′(x)tanx＞f(x)”構(gòu)造函數(shù)g(x)＝,通過(guò)求導(dǎo)確定函數(shù)的單調(diào)性,再結(jié)合不同的函數(shù)值比較大小.

本題通過(guò)關(guān)系式的變形與轉(zhuǎn)化,合理構(gòu)造與三角函數(shù)相關(guān)的復(fù)合函數(shù)輔助求解.對(duì)含三角函數(shù)的關(guān)系進(jìn)行恒等變形時(shí),根據(jù)條件確定與之對(duì)應(yīng)的復(fù)合函數(shù),是解決問(wèn)題的先決條件.

其實(shí),需要根據(jù)題目條件中的不同關(guān)系式(或不等式)的形式構(gòu)造與之相吻合的函數(shù)問(wèn)題,除以上幾種類(lèi)型外,還有其他類(lèi)型,例如,通常利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性來(lái)處理一些與函數(shù)的單調(diào)性、極值或最值有關(guān)的問(wèn)題.在平時(shí)的學(xué)習(xí)中,要善于利用化歸與轉(zhuǎn)化思想解決相應(yīng)的數(shù)學(xué)問(wèn)題,這對(duì)全面提升導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,培養(yǎng)自身的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)大有幫助.

(完)