復數情境設置,數學問題創新

陳 峰

(福建省福安市第六中學)

復數是高中數學的一個基礎知識點,高考對相關知識的理解與掌握層面上的要求偏低一些,一般以選擇題或填空題的形式出現,難度中等偏下.復數知識自身的諸多特點與文化背景使之一直備受命題者青睞,創設合理情境,巧妙創新應用.

1 復數的幾何意義

復數的幾何意義合理構建起了點Z(a,b)、向量＝(a,b)與復數的代數式z＝a＋bi(a,b∈R)三者之間的一一對應關系,為解決相關問題提供更便捷的方法.

例118世紀末,挪威測量學家維塞爾首次利用坐標平面上的點來表示復數,使復數及其運算具有了幾何意義,例如|z|＝|OZ|,也即復數z的模的幾何意義為z對應的點Z到原點的距離.已知復數z滿足|z|＝1,i為虛數單位,則|z－3－4i|的最小值為_____.

設z＝x＋yi(x,y∈R),由題意|z|＝1,可知x2＋y2＝1,即為圓心為O(0,0),半徑為r＝1的圓,由于|z－3－4i|的幾何意義是圓O上的點到定點P(3,4)的距離,而|OP|＝＝5,故|z－3－4i|的最小值為|OP|－r＝5－1＝4.

具體的復數、復數的模、復數的運算等都具有各自對應的幾何意義,充分挖掘這些相關要素的幾何意義,可以將相應的問題巧妙轉化,從不同的思維視角、不同的知識層面來分析、處理與解決問題,實現問題的突破.

2 復數的運算應用

復數的運算往往包括復數的四則運算、復數的三角形式運算以及復數的指數形式運算(后兩者作為選學與提升內容,往往以創新定義的形式出現)等,通過數學文化情境的創設以及創新定義等形式來命題.

例2歐拉公式是指以歐拉命名的諸多公式,有拓撲學中的歐拉多面體公式、初等數論中的歐拉數論公式等,其中最著名的是復變函數中的歐拉幅角公式——把復數、指數函數與三角函數聯系起來(eiθ＝cosθ＋isinθ,自然對數的底數e≈2.71828,虛數單位為i).若復數z滿足z＝,則的虛部為( ).

由eiθ＝cosθ＋isinθ,則有

又i2021＝i4×505＋1＝i,則有

復數的運算應用問題中通?？疾閺蛿档乃膭t運算,有時也考查復數的三角形式運算或指數形式運算.

3 復數的方程應用

復數的方程應用經常以高次(三次及以上)方程為問題背景,通過復數的基本運算以及相關條件來創新設置,實現情境創設與創新應用.

例3在代數史上,代數基本定理是數學中最重要的定理之一,它說的是任何一元n次復系數多項式f(x)在復數域中有n個復數根(重根按重數計).那么f(x)＝x3－1 在復平面內使f(x)＝0 除了1 和這兩個根外,還有一個復數根為( ).

本題以代數基本定理的數學文化為情境,以復數的方程為背景,巧妙融入復數的基本運算、方程的根等相關知識.

4 復數的綜合應用

復數的綜合應用是創新與綜合的一個主要場所,可以將復數的基本概念、基本運算、幾何意義等知識加以綜合,巧妙考查相關的數學基礎知識與數學思想方法等.

例4(多選題)瑞士數學家歐拉是史上最偉大的數學家之一,他發現了被人們稱為“世界上最完美的公式”——歐拉公式:eiθ＝cosθ＋isinθ(其中i是虛數單位,e是自然對數的底數),它也滿足實數范圍內指數的運算性質,下列結論正確的是( ).

對選項A,|4e5i|＝|4(cos5＋isin5)|＝＝4,故A 正確.

對選項B,i2020＋2021i＝i2020·i2021i＝ii＝,故B正確.

綜上,選A,B.

本題以復數為主干知識,將復數、函數與方程、平面幾何、解析幾何、三角函數等眾多的知識加以合理“串聯”與構建,實現知識的多重組合與融會貫通.

借助復數知識的巧妙入題,創設創新情境與文化氛圍,結合復數的定義、幾何意義、運算、方程等,合理融入其他相關數學基礎知識、數學思想方法和數學能力等,綜合考查復數及其綜合應用.

(完)