導(dǎo)數(shù)應(yīng)用中造成“無謂失分”的情況分析

劉 勇 鄭海寧

(山東省淄博市臨淄中學(xué))

導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的重要工具,在高考選擇題、填空題和解答題中均有涉及,學(xué)生在解題時(shí)由于對(duì)一些概念的理解不透徹,結(jié)論成立的條件不充分,解題細(xì)節(jié)不完善等原因,極易出現(xiàn)無謂失分的情況.本文結(jié)合教學(xué)中學(xué)生常出現(xiàn)的幾種失分情況,進(jìn)行舉例分析,幫助學(xué)生防微杜漸.

1 曲線“過某點(diǎn)”與“在某點(diǎn)”的切線分不清

曲線在某點(diǎn)的切線,該點(diǎn)即為切點(diǎn),在該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值即為切線的斜率.曲線過某點(diǎn)的切線,該點(diǎn)不一定為切點(diǎn),甚至該點(diǎn)不一定在曲線上.審題中由于未能有效區(qū)分“在”與“過”而造成錯(cuò)解.

例1曲線f(x)＝過點(diǎn)P(2,4)的切線方程為________.

錯(cuò)解經(jīng)檢驗(yàn)點(diǎn)P(2,4)在曲線f(x)上.求導(dǎo)得f′(x)＝x2,所以切線的斜率為f′(2)＝4,故切線方程為y－4＝4(x－2),即y＝4x－4.

剖析條件中所給的點(diǎn)P雖然在曲線上,但題目要求的是“過”點(diǎn)P的切線,則點(diǎn)P也可能不是切點(diǎn).

2 導(dǎo)數(shù)正負(fù)與函數(shù)增減的邏輯不清

導(dǎo)數(shù)是判斷函數(shù)單調(diào)性、求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的重要工具,若可導(dǎo)函數(shù)在給定區(qū)間內(nèi)其導(dǎo)數(shù)大于0(或小于0),則該函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增(或遞減);反之,若函數(shù)在給定區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增(或遞減),則其導(dǎo)函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)大于或等于0(小于或等于0).

例2 若函數(shù)f(x)＝x－sin2x＋asinx在R上單調(diào)遞增,則a的取值范圍是_________.

剖析錯(cuò)誤之處就是忽略了f′(x)＝0的情況.因?yàn)閷?dǎo)函數(shù)為0的點(diǎn),并不影響函數(shù)的單調(diào)性,常見的函數(shù)(如f(x)＝x3)在R 內(nèi)單調(diào)遞增,其導(dǎo)函數(shù)大于或等于0(如f(x)＝x3,f′(x)＝3x2≥0).故a的取值范圍為

3 極值點(diǎn)與導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)的關(guān)系不明

極值點(diǎn)與導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)的關(guān)系,嚴(yán)格上來說,既不充分也不必要.導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)是否為極值點(diǎn),要進(jìn)一步判斷其兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)值是否異號(hào).極值點(diǎn)是否為導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn),要看原函數(shù)在該點(diǎn)是否可導(dǎo).

例3已知x＝1是函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋(2b－3)x＋2b－a(a＜0)的一個(gè)極值點(diǎn),則2a＋2b的取值范圍為( ).

剖析上述解法看似合情合理,但卻忽視了導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)與極值點(diǎn)之間的關(guān)系,進(jìn)而忽略了a,b的范圍.

其判別式Δ＝4a2－4(2b－3).

因?yàn)閒′(1)＝1＋2a＋2b－3＝0,a＋b＝1,a＝1－b,但x＝－1時(shí),b＝2,f′(x)＝(x－1)2,不合題意,所以a≠－1,b≠2,所以

4 隱含條件的利用不充分

題目中的條件是我們解題的依據(jù),有些條件是直接給出的,有些條件是隱含的,隱含條件能否挖掘徹底、利用是否充分,往往是我們成功解題的關(guān)鍵.

例4已知函數(shù)f(x)＝(a∈R).

(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;

(2)是否存在滿足條件的a,使得f(x)在[0,＋∞)上存在最大值和最小值,若存在,求a的取值范圍;若不存在,說明理由.

(2)由(1)得a＝0時(shí)不合題意.

當(dāng)a＞0時(shí),f(x)在(0,)上單調(diào)遞增,在,＋∞)上單調(diào)遞減,所以f(x)在[0,＋∞)上存在最大值f)＝a2＞0,不存在最小值.

當(dāng)a＜0 時(shí),f(x)在(0,－a)上單調(diào)遞減,在(－a,＋∞)單調(diào)遞增,所以f(x)在[0,＋∞)上存在最小值f(－a)＝－1,不存在最大值.

綜上,滿足條件的a不存在.

同理,當(dāng)a＜0時(shí),f(x)在(0,－a)上單調(diào)遞減,在(－a,＋∞)上單調(diào)遞增,所以f(x)在[0,＋∞)上存在最小值f(－a)＝－1.

若f(x)在[0,＋∞)上存在最大值,必有f(0)≥0,解得a≤－1.

綜上,a的取值范圍是(－∞,－1]∪(0,1].

5 解題細(xì)節(jié)不完善、不規(guī)范

細(xì)節(jié)決定成敗,學(xué)生在考試中常常由于不注意解題細(xì)節(jié),出現(xiàn)解題過程不完善、表述不規(guī)范等現(xiàn)象,從而出現(xiàn)失分.

例5設(shè)f(x)＝[ax2－(4a＋1)x＋4a＋3]ex.

(1)若曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線與x軸平行,求a;

(2)求f(x)的單調(diào)區(qū)間及極值.

錯(cuò)解對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得

(1)由題設(shè)可得f′(1)＝(1－a)e＝0,a＝1.

(2)當(dāng)a＝0 時(shí),f′(x)＝(2－x)ex,在區(qū)間(－∞,2)上,f′(x)＞0,f(x)單調(diào)遞增;在區(qū)間(2,＋∞)上,f′(x)＜0,f(x)單調(diào)遞減,所以

剖析錯(cuò)解中不完善、不規(guī)范之處如下.

1)在第(1)問中得出a＝1后,未檢驗(yàn)此時(shí)的切線是否與x軸重合,當(dāng)a＝1時(shí),可得f(1)＝3e≠0,說明切點(diǎn)(1,f(1))不在x軸上,滿足題意.

2)題目要求的是極值,既包括極大值,也包括極小值.在函數(shù)僅存在極大值時(shí),要注明不存在極小值.

3)函數(shù)在某些區(qū)間上單調(diào)與函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,本質(zhì)是不同的,因此當(dāng)函數(shù)有多個(gè)單調(diào)區(qū)間時(shí),要用“,”或“和”連接,不能用并集符號(hào).

6 求解方法不恰當(dāng)

數(shù)學(xué)解答題的基本要求就是必須要有完整的系統(tǒng)理論、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬯P(guān)系、詳細(xì)的數(shù)學(xué)語言、文字和符號(hào)說明.學(xué)生在處理問題時(shí),常出現(xiàn)的一種誤區(qū)就是以圖代證.

例6 已知f(x)＝ex,若f(x)≥a(x＋1)恒成立,求a的取值范圍.

錯(cuò)解令g(x)＝ex,ex≥a(x＋1)恒成立,即函數(shù)g(x)＝ex的圖像恒在直線y＝a(x＋1)的上方,而此直線過定點(diǎn)(－1,0),故可通過求y＝ex過點(diǎn)(－1,0)的切線斜率來尋找不等式ex≥a(x＋1)成立的條件(如圖1).

圖1

設(shè)切點(diǎn)為(x0,ex0),g′(x)＝ex,故切線的斜率為k＝g(x0)＝ex0.又k＝,故ex0＝,解得x0＝0,k＝1.所以當(dāng)0≤a≤1,不等式ex≥a(x＋1)恒成立;當(dāng)a＞1或a＜0時(shí),ex≥a(x＋1)不恒成立.故滿足條件的a∈[0,1].

剖析上述解法的求解原理是沒有問題的,但作為解答題而言,不能用圖像來代替解析過程.正確的求解過程如下.

移項(xiàng)作差構(gòu)造函數(shù)g(x)＝ex－a(x＋1),則gmin(x)≥0.

當(dāng)a＝0時(shí),g(x)＝ex＞0,滿足條件.

當(dāng)a＞0時(shí),g′(x)＝ex－a,令g′(x)＝0,得x＝lna.

在(－∞,lna)上,g′(x)＜0,g(x)單調(diào)遞減;在(lna,＋∞)上,g′(x)＞0,g(x)單調(diào)遞增.

故gmin(x)＝g(lna)＝a－a(1＋lna)＝－alna.由－alna≥0,解得0＜a≤1.

綜上,滿足條件的a∈[0,1].

除了上述幾類典型的易錯(cuò)問題以外,常見的還有忽視函數(shù)的定義域,把一些結(jié)論視為性質(zhì)、定理,未經(jīng)證明直接應(yīng)用等.總之,學(xué)習(xí)中要認(rèn)真總結(jié),明確易錯(cuò)問題的類型,弄清致錯(cuò)根源,防患于未然.

(完)