導數應用中造成“無謂失分”的情況分析

劉 勇 鄭海寧

(山東省淄博市臨淄中學)

導數是研究函數的重要工具,在高考選擇題、填空題和解答題中均有涉及,學生在解題時由于對一些概念的理解不透徹,結論成立的條件不充分,解題細節不完善等原因,極易出現無謂失分的情況.本文結合教學中學生常出現的幾種失分情況,進行舉例分析,幫助學生防微杜漸.

1 曲線“過某點”與“在某點”的切線分不清

曲線在某點的切線,該點即為切點,在該點的導數值即為切線的斜率.曲線過某點的切線,該點不一定為切點,甚至該點不一定在曲線上.審題中由于未能有效區分“在”與“過”而造成錯解.

例1曲線f(x)＝過點P(2,4)的切線方程為________.

錯解經檢驗點P(2,4)在曲線f(x)上.求導得f′(x)＝x2,所以切線的斜率為f′(2)＝4,故切線方程為y－4＝4(x－2),即y＝4x－4.

剖析條件中所給的點P雖然在曲線上,但題目要求的是“過”點P的切線,則點P也可能不是切點.

2 導數正負與函數增減的邏輯不清

導數是判斷函數單調性、求函數單調區間的重要工具,若可導函數在給定區間內其導數大于0(或小于0),則該函數在該區間內單調遞增(或遞減);反之,若函數在給定區間內單調遞增(或遞減),則其導函數在該區間內大于或等于0(小于或等于0).

例2 若函數f(x)＝x－sin2x＋asinx在R上單調遞增,則a的取值范圍是_________.

剖析錯誤之處就是忽略了f′(x)＝0的情況.因為導函數為0的點,并不影響函數的單調性,常見的函數(如f(x)＝x3)在R 內單調遞增,其導函數大于或等于0(如f(x)＝x3,f′(x)＝3x2≥0).故a的取值范圍為

3 極值點與導函數零點的關系不明

極值點與導函數零點的關系,嚴格上來說,既不充分也不必要.導函數的零點是否為極值點,要進一步判斷其兩側的導數值是否異號.極值點是否為導函數的零點,要看原函數在該點是否可導.

例3已知x＝1是函數f(x)＝x3＋ax2＋(2b－3)x＋2b－a(a＜0)的一個極值點,則2a＋2b的取值范圍為( ).

剖析上述解法看似合情合理,但卻忽視了導數的零點與極值點之間的關系,進而忽略了a,b的范圍.

其判別式Δ＝4a2－4(2b－3).

因為f′(1)＝1＋2a＋2b－3＝0,a＋b＝1,a＝1－b,但x＝－1時,b＝2,f′(x)＝(x－1)2,不合題意,所以a≠－1,b≠2,所以

4 隱含條件的利用不充分

題目中的條件是我們解題的依據,有些條件是直接給出的,有些條件是隱含的,隱含條件能否挖掘徹底、利用是否充分,往往是我們成功解題的關鍵.

例4已知函數f(x)＝(a∈R).

(1)求f(x)的單調區間;

(2)是否存在滿足條件的a,使得f(x)在[0,＋∞)上存在最大值和最小值,若存在,求a的取值范圍;若不存在,說明理由.

(2)由(1)得a＝0時不合題意.

當a＞0時,f(x)在(0,)上單調遞增,在,＋∞)上單調遞減,所以f(x)在[0,＋∞)上存在最大值f)＝a2＞0,不存在最小值.

當a＜0 時,f(x)在(0,－a)上單調遞減,在(－a,＋∞)單調遞增,所以f(x)在[0,＋∞)上存在最小值f(－a)＝－1,不存在最大值.

綜上,滿足條件的a不存在.

同理,當a＜0時,f(x)在(0,－a)上單調遞減,在(－a,＋∞)上單調遞增,所以f(x)在[0,＋∞)上存在最小值f(－a)＝－1.

若f(x)在[0,＋∞)上存在最大值,必有f(0)≥0,解得a≤－1.

綜上,a的取值范圍是(－∞,－1]∪(0,1].

5 解題細節不完善、不規范

細節決定成敗,學生在考試中常常由于不注意解題細節,出現解題過程不完善、表述不規范等現象,從而出現失分.

例5設f(x)＝[ax2－(4a＋1)x＋4a＋3]ex.

(1)若曲線y＝f(x)在點(1,f(1))處的切線與x軸平行,求a;

(2)求f(x)的單調區間及極值.

錯解對函數求導得

(1)由題設可得f′(1)＝(1－a)e＝0,a＝1.

(2)當a＝0 時,f′(x)＝(2－x)ex,在區間(－∞,2)上,f′(x)＞0,f(x)單調遞增;在區間(2,＋∞)上,f′(x)＜0,f(x)單調遞減,所以

剖析錯解中不完善、不規范之處如下.

1)在第(1)問中得出a＝1后,未檢驗此時的切線是否與x軸重合,當a＝1時,可得f(1)＝3e≠0,說明切點(1,f(1))不在x軸上,滿足題意.

2)題目要求的是極值,既包括極大值,也包括極小值.在函數僅存在極大值時,要注明不存在極小值.

3)函數在某些區間上單調與函數的單調區間,本質是不同的,因此當函數有多個單調區間時,要用“,”或“和”連接,不能用并集符號.

6 求解方法不恰當

數學解答題的基本要求就是必須要有完整的系統理論、嚴謹的邏輯關系、詳細的數學語言、文字和符號說明.學生在處理問題時,常出現的一種誤區就是以圖代證.

例6 已知f(x)＝ex,若f(x)≥a(x＋1)恒成立,求a的取值范圍.

錯解令g(x)＝ex,ex≥a(x＋1)恒成立,即函數g(x)＝ex的圖像恒在直線y＝a(x＋1)的上方,而此直線過定點(－1,0),故可通過求y＝ex過點(－1,0)的切線斜率來尋找不等式ex≥a(x＋1)成立的條件(如圖1).

圖1

設切點為(x0,ex0),g′(x)＝ex,故切線的斜率為k＝g(x0)＝ex0.又k＝,故ex0＝,解得x0＝0,k＝1.所以當0≤a≤1,不等式ex≥a(x＋1)恒成立;當a＞1或a＜0時,ex≥a(x＋1)不恒成立.故滿足條件的a∈[0,1].

剖析上述解法的求解原理是沒有問題的,但作為解答題而言,不能用圖像來代替解析過程.正確的求解過程如下.

移項作差構造函數g(x)＝ex－a(x＋1),則gmin(x)≥0.

當a＝0時,g(x)＝ex＞0,滿足條件.

當a＞0時,g′(x)＝ex－a,令g′(x)＝0,得x＝lna.

在(－∞,lna)上,g′(x)＜0,g(x)單調遞減;在(lna,＋∞)上,g′(x)＞0,g(x)單調遞增.

故gmin(x)＝g(lna)＝a－a(1＋lna)＝－alna.由－alna≥0,解得0＜a≤1.

綜上,滿足條件的a∈[0,1].

除了上述幾類典型的易錯問題以外,常見的還有忽視函數的定義域,把一些結論視為性質、定理,未經證明直接應用等.總之,學習中要認真總結,明確易錯問題的類型,弄清致錯根源,防患于未然.

(完)