走出復數問題的幾個誤區

趙久果

(山東省鄒平市第一中學)

數系擴充后,有關數的一些難以解決的問題得到了解決,如負數可以開方,任何一元二次方程在復數域上有解.但我們也要看到新概念的完善過程并非一帆風順,實數內的一些運算規則有些仍可執行,有些卻已被打破.因此,我們在求解復數問題時必須“提高警惕”,才能“走出誤區”.

1 混淆復數的有關概念

復數是實數的擴充,虛數和實數都是復數的組成部分,純虛數隸屬虛數,它的虛部不可為零.

例1若復數z＝lg(m2－2m－2)＋(m2＋3m＋2)i是純虛數,則m的值為________.

錯解由lg(m2－2m－2)＝0,得m2－2m－2＝1,則m＝3或－1.

綜上,m＝3.

復數是數的大家庭,其成員有實數與虛數,而虛數又含有純虛數,純虛數的實部一定是零,實部為零的數不一定是純虛數,如實數0.

2 忽視兩個復數相等的條件

由復數相等,可以得到方程組,進而將復數問題實數化,但解題時必須注意自變量或參數的屬性.

例2若x∈C,則滿足(x2－4x＋3)＋(x2－6x＋5)i＝0的x的值為_________.

綜上,x＝1.

剖析在兩個復數a＋bi,c＋di相等的充要條件中,前提條件是a,b,c,d∈R,即當a,b,c,d∈R 時,a＋bi與c＋di相等的充要條件是a＝c且b＝d.這里的x2－4x＋3和x2－6x＋5不一定是復數的實部和虛部,因為這里的x∈C,故本題應采用類似于一元二次方程的因式分解法來處理.

正解由(x2－4x＋3)＋(x2－6x＋5)i＝0,可得(x－1)[(x－3)＋(x－5)i]＝0,所以x＝1 或(x－3)＋(x－5)i＝0,由(x－3)＋(x－5)i＝0,可得(1＋i)x＝3＋5i,所以x＝＝4＋i.

綜上,x＝1或4＋i.

在明確題目中的未知數是實數時,可采用復數相等的充要條件建立方程組來解未知數;當未知數的范圍不明確時,將未知數設為復數的代數形式,再根據復數相等的充要條件解之.

3 忽視“xt＝(xm)n?m·n＝t”成立的條件

實數范圍內的運算法則有時可以移植到復數的計算中,有時卻不行,必須注意相關條件.

剖析在實數集中,對任意x∈R(m,n∈R),有xmn＝(xm)n;而在復數集中,僅對m,n∈N*有xmn＝(xm)n.此錯解盲目地將實數集中的指數運算法則直接推廣到了復數集.

復數的運算法則與實數的運算法則有區別,不可盲目套用.

4 忽視“x2＝|x|2”的適用范圍

當x∈R時,x2＝|x|2成立,當x∈C時,它就不一定成立了.所以在實數范圍內成立的結論不可盲目地搬到復數范圍內運算.

例4方程x2－5|x|＋6＝0在復數范圍內的解的個數為_________.

錯解由x2－5|x|＋6＝0,得(|x|－2)(|x|－3)＝0,故|x|＝2或|x|＝3,從而x＝±2或x＝±3,故解的個數為4.

剖析本題中的未知數并不是實數,但上述解答把它當成實數來解.把實數的絕對值與復數的模混為一談,事實上,在復數范圍內x2＝|x|2是不成立的.因為該式左側依然是復數,而右側一定是實數.

正解設x＝a＋bi(a,b∈R),那么原方程即為(a＋bi)2－6＝0,得

綜上,所求方程的解的個數為6.

當x為虛數時,x2＝|x|2不成立,因為這時x2仍可能是虛數,而|x|2是實數.

5 忽視兩個復數能比較大小的條件

當復數的虛部不為0時無法比較大小,只有當它是實數時才可以比較大小.所以復數可以比較大小的前提條件是它們必須是實數.

例5求使x＋2＋(x＋y)i＞y－5＋(x＋2y－3)i成立的實數x,y的取值.

錯解1復數無法比較大小,所以這是一道無法解答的錯題.

錯解2由得y＜3,且x＋7＞y.

剖析本題的隱含條件是不等式的左、右兩側都是實數.錯解1沒有發現這個隱含條件,而錯解2更荒唐地認為“實部與虛部都分別大的復數較大”.

正解由題意知x＋2＋(x＋y)i與y－5＋(x＋2y－3)i 均為實數,故可得解得

復數固然無法比較大小,但實數可以比較大小,復數的模可以比較大小.對于這類問題必須認真審題,發現隱含條件.

6 忽略判別式法判斷根的前提

在處理一元二次方程根的問題時,判別式法只適用于實數范圍.當方程中出現虛數時,這個方法失效.

例6求實數k,使方程x2＋(k＋2i)x＋2＋ki＝0至少有一個實根.

剖析如果一個一元二次方程的系數是實數,那么可以采用判別式法來判定它的根的情形,可本題是一個復系數的一元二次方程,這時判別式法就“失靈”了,我們必須嚴格遵循復數的“游戲規則”.

對于復數集上的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0是否存在實數根,Δ＝b2－4ac≥0,既不是充分條件,也不是必要條件,判別式法僅在實數集內有效,對于復系數一元二次方程問題,一般可將未知數設為復數的代數形式,然后利用復數相等的充要條件轉化為方程組來解.

從以上錯解可以看出,求解復數問題的最大誤區就是把它當成實數問題來處理.因此,我們解復數問題時一定要注意它與實數的區別與聯系,解有關復數問題時一定要嚴格遵循復數的運算法則,有時還可以結合復數的幾何意義來分析問題,從而達到解決問題的目的.

(完)