計算 發(fā)現(xiàn) 猜想 證實
——從冪的運算性質(zhì)說起

文／王金坤

前面，我們學習了有理數(shù)的加、減、乘、除、乘方運算，經(jīng)歷了從特殊的、具體的運算入手，探索、歸納普遍適用的運算法則的過程。

比如，學習有理數(shù)的加法時，教材提出了這樣一個問題：

甲、乙兩隊進行足球比賽。如果甲隊在主場贏3球，在客場輸2球，那么兩場比賽后甲隊凈勝1球。上述比賽的過程和結(jié)果怎么用算式表示？我們可以用算式（+3）+（-2）=+1表示。若改變主場、客場贏球數(shù)，類似地，我們可以列出算式（-3）+（+2）=-1，3+2=5，（-3）+（-2）=-5，3+0=3，0+（-3）=-3，（+3）+（-3）=0等。

觀察上述算式，請思考：當兩個有理數(shù)相加時，和的符號、和的絕對值是怎樣確定的？經(jīng)過比較，我們可以很容易歸納出有理數(shù)加法法則。

冪的運算的基礎(chǔ)是有理數(shù)的運算。我們可以嘗試借鑒已有經(jīng)驗來學習與探索。

根據(jù)乘方的意義，我們可以計算：

那么，怎么計算10m×10n（m、n是正整數(shù)）呢？

觀察上述算式，你有什么發(fā)現(xiàn)？

上述算式給了我們直觀的、感性的認識。經(jīng)過比較、思考，我們不難發(fā)現(xiàn)：am·an=am+n。那么，這個猜想是否成立呢？接下來，我們進行證明。

這就告訴我們，對于任意的底數(shù)a，當m、n為正整數(shù)時，am·an=am+n。也就是說，同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加。這就是同底數(shù)冪的乘法運算性質(zhì)。

上述過程，是我們應用已有的知識“做”數(shù)學的過程。我們的探索活動大致分為3個層次：一是冪的底數(shù)和指數(shù)都是具體的數(shù)；二是冪的底數(shù)是具體的數(shù)，指數(shù)是用字母表示的數(shù)；三是冪的底數(shù)和指數(shù)都是用字母表示的數(shù)。探索這3個活動的過程是逐步由具體到抽象，由特殊到一般的過程。

再如，計算：

……

于是，我們發(fā)現(xiàn)：

從這些特殊的計算中，我們猜想：（am）n=amn。接下來，我們進行驗證：

這樣就證實了我們的猜想是正確的。于是，歸納得出：對于任意的底數(shù)a，當m、n為正整數(shù)時，（am）n=amn。也就是說，冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘。這就是冪的乘方運算性質(zhì)。

對于上面兩個性質(zhì)的探索過程，我們都是在具體的運算中首先發(fā)現(xiàn)了結(jié)論，這是一種感性的認識，是一種合情推理，然后通過一般推演來驗證發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，從而形成理性的認識。這樣，我們不僅增強了解決問題的能力，而且感受了證明的樂趣。

同底數(shù)冪的乘法、冪的乘方運算性質(zhì)的探索過程是一致的，思路都是通過具體的數(shù)字運算，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，提出猜想，再用字母代替數(shù)字，運用已學的運算法則證實猜想。同學們不妨自己嘗試一下，用類似的方法來探索同底數(shù)冪的除法、積的乘方運算性質(zhì)。