有限域上線性化多項式與正規基

徐碧云, 肖義麗, 曹 煒

有限域上線性化多項式與正規基

徐碧云1, 肖義麗1, 曹 煒2*

（1.寧波大學 數學與統計學院, 浙江 寧波 315211; 2.閩南師范大學 數學與統計學院, 福建 漳州 363000）

有限域; 正規基; 線性化多項式

1986年, Pei等[4]證明了定理2.

2001年, Chang等[5]進一步證明了定理1和定理2的充分條件也是必要的, 從而得到了定理3.

1 線性化多項式

線性化多項式的許多相關性質與結論可參考文獻[1,8-11].

引理2[1]

推論2

引理3[1]

定理5[12]

證明

由容斥原理得:

引理4 由定義4, 得到如下集合:

證明 由于

又因為

所以

可得:

由定義4可得式(3), 同理可得式(4)～(6).

引理5 假設

由引理4可以得到:

由歐拉函數性質得:

由定義4得:

即式(8)得證.

所以

其中:

定理6

由容斥原理和引理5可得:

則由式(10), 得到:

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[2] Mullen G L, Panario D. Handbook of Finite Fields[M]. London: Chapman and Hall, 2013.

[3] Perlis S. Normal bases of cyclic fields of prime-power degree[J]. Duke Mathematical Journal, 1942, 9(3):507- 517.

[4] Pei D, Wang C, Omura J. Normal basis of finite field GF(2)[J]. IEEE Transactions on Information Theory, 1986, 32(2):285-287.

[5] Chang Y, Truong T K, Reed I S. Normal bases over GF(q)[J]. Journal of Algebra, 2001, 241(1):89-101.

[6] Huang H, Han S M, Cao W. Normal bases and irreducible polynomials[J]. Finite Fields and Their Applications, 2018, 50:272-278.

[7] Hachenberger D. Characterizing normal bases via the trace map[J]. Communications in Algebra, 2004, 32(1): 269-277.

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[10] Polverino O, Zini G, Zullo F. On certain linearized polynomials with high degree and kernel of small dimension[J]. Journal of Pure and Applied Algebra, 2021, 225(2):106491.

[11] Hu W Y, Zhang Z C, Tu Z H, et al. Efficient computation of the nearest polynomial by linearized alternating direction method[J]. Applied Mathematics and Computation, 2021, 395:125860.

[12] von zur Gathen J, Giesbrecht M. Constructing normal bases in finite fields[J]. Journal of Symbolic Computation, 1990, 10(6):547-570.

Linearized polynomials and normal bases in finite fields

XU Biyun1, XIAO Yili1, CAO Wei2*

( 1.School of Mathematics and Statistics, Ningbo University, Ningbo 315211, China;2.School of Mathematics and Statistics, Minnan Normal University, Zhangzhou 363000, China )

finite field; normal basis; linearized polynomial

O156

A

1001-5132（2022）02-0022-05

2021?04?24.

寧波大學學報（理工版）網址: http://journallg.nbu.edu.cn/

國家自然科學基金（11871291）.

徐碧云（1996－）, 女, 廣東揭陽人, 在讀碩士研究生, 主要研究方向: 數論. E-mail: 675070711@qq.com

曹煒（1974－）, 男, 湖北潛江人, 博士/教授, 主要研究方向: 數論與密碼學. E-mail: caowei@nbu.edu.cn

（責任編輯 史小麗）