多思維切入　多方法破解

萬再興

[摘 要]雙變元或多變元函數代數式的最值問題是歷年高考數學的常見題型之一，在解決此類問題時應合理變形，巧妙轉化，構建題目已知關系式與所求代數式之間的聯系，找準思維視角切入，進而獲得相關解題思路與方法技巧，從而有效解決問題。

[關鍵詞]函數;不等式;思維;方法

[中圖分類號]? ? G633.6? ? ? ? [文獻標識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2022）02-0023-03

函數是高中數學的重要組成部分，雙變元或多變元函數代數式的最值問題是函數的一個重要題型，也是歷年高考數學的熱點問題，其變化多端，形式各樣，難度較大，備受關注。

一、試題呈現

【試題】（2021年4月浙江省高考科目考試紹興市適應性數學試卷（二模）·8）已知[a>0]，[b>0]，[a2+b2-ab=3]，[a2-b2≤3]，則[a+b]的最小值是（ ）。

A. 2[2] B. 3 C. 2[3] D. 4

二、試題分析

這是一道限制條件下求解雙變元函數代數式的最值問題，這類問題在浙江省高考試卷以及全國各類數學競賽試卷中經常出現。此題以兩正數所滿足的二次關系式、二次絕對值不等式為問題背景，進而確定一次雙變元函數代數式的最小值。

如何找到題目已知關系式與所求代數式之間的聯系，找準思維視角合理切入最為關鍵，其中合理的變形與轉化是發現規律的重要一環。

三、破解方法

思維視角一：不等式角度

方法1：配方法一

解析：由[a2-b2≤3]，兩邊平方并配方整理可得[（a2+b2）2-4a2b2≤9]，

結合[a2+b2=ab+3]，可得[（ab+3）2-4a2b2≤9]，即[3a2b2-6ab≥0]，解得[ab≥2]，

又結合基本不等式有[ab+3=a2+b2≥2ab]，解得[ab≤3]，即[ab∈2， 3]，

所以[（a+b）2=a2+b2+2ab=ab+3+2ab=3ab+3∈9， 12]，即[a+b∈3， 23]，

則[a+b]的最小值為3，故答案選B。

方法2：配方法二

解析：由于[a>0]，[b>0]，[a2+b2-ab=3]，[a2-b2 ≤3]，

結合基本不等式有[3+ab=a2+b2≥2ab]，解得[ab≤3]，當且僅當[a=b]時等號成立，

則有[（a+b）2=3+3ab]，[（a-b）2=3-ab]，

由[a2-b2≤3]，可得[（a+b）（a-b）≤3]，即[（3+3ab）（3-ab）≤9]，解得[2≤ab≤3]，

所以[（a+b）2=a2+b2+2ab=ab+3+2ab=3ab+3∈9， 12]，即[a+b∈3， 23]，

則[a+b]的最小值為3，故答案選B。

點評：配方法處理，主要是根據題目中代數式的結構特征，有效結合平方、等量變換、基本不等式等相關知識以實現巧妙配方。從不同視角來合理配方，借助條件關系式的變形代入，結合不等式的求解確定對應的不等式，是解決問題的關鍵所在。

方法3：單變量換元法

解析：設[t=a+b >0]，

由[a2+b2-ab=3]，配方可得[（a+b）2-3ab=3]，即[ab=（a+b）2-33=t2-33]，

而[a2-b2=（a+b）a-b=t（a+b）2-4ab=tt2-4×t2-33=t4-13t2]，

則有[t>0，t2-33>0，t4-13t2≤3，]解得[t≥3]，則[a+b]的最小值為3，故答案選B。

點評：單變量換元法，往往是對所求的代數關系式或題目條件中的特殊代數關系式進行整體化換元處理，合理引入參數進行換元，進而將相關其他變量均轉化為同一參數，結合關系式的變形與轉化，再加以分析與處理。以上方法中，引入參數[t]來表示所求的代數式[a+b]，借助單變量換元，結合已知條件中的關系式，合理構建[a2+b2]，[a+b]，[a-b]及[ab]之間的關系，并全部表示為關于參數的關系式，再進行分析與處理。

方法4：雙變量換元法

解析：設[x=a+b>0]，[y=a-b]，則有[2a=x+y>0]，[2b=x-y>0]，則有[-x<y<x]，即[y<x]，

由[a2+b2-ab=3]，可得[x2+3y2=12]，即[y2=4-13x2]，而[a2-b2=（a+b）a-b=xy≤3]，即[y≤3x]，

則有[x>0，4-13x2<x2，4-13x2≤9x2，]解得[x≥3]，則[a+b]的最小值為3，故答案選B。

點評：雙變量換元法是解決復雜代數式問題的一大方法技巧。關鍵是應用整體思維，通過雙變量換元進行化歸與轉化，進而通過不等式組的求解來確定有關參數的最值。以上方法中，引入參數來表示所求的代數式，并借助雙變量換元，及結合已知條件中的關系式，合理構建兩變量之間的關系，為進一步的分析與處理打下基礎。

思維視角二：函數角度

方法5：三角換元法

解析：因為[a2+b2-ab=a-b22+34b2=3]，令[a-b2=3cos θ]，[32b=3sin θ]，

解得[a=3cos θ+sin θ，b=2sin θ，] [θ∈0， 2π]，

因為[a>0]，[b>0]，所以[3cos θ+sin θ=2sinθ+π3>0]，[2sin θ>0]，

所以[sinθ+π3>0，sinθ>0，]即[0<θ+π3<π，0<θ<π，]解得[0<θ<2π3]，

因為[a2-b2≤3]，所以[a2-b2=3cos θ+sin θ2-] [4sin2θ=3cos2θ-sin2θ+23sin θ cos θ=3cos2θ+][3sin 2θ=23sin2θ+π3]，

因為[0<θ<2π3]，所以[π3<2θ+π3<5π3]，

結合[a2-b2≤3]，可得[-3≤23sin2θ+π3≤3]，所以[-32≤sin2θ+π3≤32]，[2π3≤2θ+π3≤4π3]，[π6≤θ≤π3]， 故[a+b=3cos θ+3sin θ=23sinθ+π6∈3， 23]，

則[a+b]的最小值為3，故答案選B。

點評：三角換元法是處理一些代數關系式問題時比較常用的一種方法，也是從函數角度處理此類問題的最常用方法之一。三角換元法往往利用雙變元的平方和為1等結構特征加以合理構建，配方處理是解決問題的關鍵。三角換元后，合理的三角恒等變形以及三角函數的圖像與性質的應用是關鍵。以上方法中，根據題目條件中的平方關系式合理配方，進行三角換元處理，為問題的進一步處理提供條件。

方法6：比值換元法

解析：不失一般性，不妨設[a≥b>0]，

根據已知條件可得[a2-b2≤3=a2+b2-ab]，解得[a≤2b]，即[0<b≤a≤2b]，

設[t=ab∈1， 2]，則有[（a+b）2=3（a+b）2a2+b2-ab=3（t+1）2t2+1-t=31+3tt2+1-t=31+3t+1t-1]，

因為雙勾函數[y=t+1t]在區間[1， 2]上單調遞增，

所以[（a+b）2=31+3t+1t-1∈9， 12]，即[a+b∈3， 23]，則[a+b]的最小值為3，故答案選B。

點評：比值換元法是處理一些雙變元代數式關系時經常用到的一種方法，技巧性強，通過比值換元以及變量代換，結合齊次化處理以及函數單調性的應用，很好地融合了相關的數學知識與能力。以上方法中，通過比值的設置，平方化處理所求的代數關系式，借助齊次化處理，轉化為對應的函數關系式，進而巧妙利用相應的函數來分析與處理。

思維視角三：幾何角度

方法7：構造三角形法

解析：構造[△ABC]，其中[c=3]，則有[a2+b2-ab=3=c2]，

結合余弦定理可知[cos C=12]，即[C=π3]，

又由[a2-b2≤3=c2]，可得[a2+c2≥b2，b2+c2≥a2，]結合余弦定理可得[cosB≥0，cosA≥0，]

則有[-cos A+π3≥0，cosA≥0，]即[cos A+π3≤0，cosA≥0，]解得[A∈π6，π2]，

根據正弦定理[asinA=bsinB=csinC=3sinπ3=2]，

[所以a+b=2（sin A+sin B）=2sin A+sinA+π3=23sinA+π6∈3， 23，]

則[a+b]的最小值為3，故答案選B。

點評：合理聯想，結合代數關系式的結構特征，巧妙構造相應的平面幾何、平面向量、空間向量等相關模型，把代數問題幾何化。直觀分析，數形結合，是解決問題的常用方法。以上方法中，結合條件中的關系式聯想到三角形的余弦定理，構造對應的三角形，把代數問題轉化為平面幾何問題來分析與處理，思維巧妙，視角特殊。

四、規律總結

破解雙變元或多變元函數代數式的最值問題時，應利用題目已知關系式與所求代數式之間的聯系合理配湊與巧妙轉化出滿足條件的關系式，從而有效破解問題。其中，比較常用的解題通法以及思維角度主要有以下幾種：

（1）不等式角度：分析題目條件或結論中對應代數式的結構特征，合理配湊，利用不等式的基本性質、基本不等式、求解不等式（組）、一些重要不等式（柯西不等式、權方和不等式等）等來分析與轉化，進而確定對應函數的最值。

（2）函數角度：根據題目條件，通過巧妙轉化或合理換元處理等引入新參數，構建關于某個變量的函數關系式，利用函數（如二次函數、三角函數等）的圖像與性質等來分析與求解函數的最值。

（3）幾何角度：根據題目條件，結合代數式的幾何性質或幾何意義，合理抽象，以“形”助“數”，通過數形結合，將抽象的數量關系直觀形象化，從而分析與求解函數的最值。

從代數角度（函數或不等式等）或幾何角度等進行分析與處理，是解決雙變元函數代數式的最值問題的常見技巧方法。具體解決問題時，要正確分析題目條件，從正確的思維視角切入，匹配與之對應的特殊數學模型，從而形成技巧方法與解題策略，這才是解決問題的根本與目的所在，也是解題研究的最高境界。因而，教師應引導學生在解題后學會舉一反三，靈活變通，真正達到融會貫通，從而有效提升學生的思維品質和數學能力，培養學生的數學學科核心素養。

（責任編輯 黃春香）

3228501908214