二維連接板式聲子晶體低頻帶隙仿真研究

李天杰,顧云風,伍根生

(南京林業大學機械電子工程學院，南京 210037)

0 引 言

低頻噪音干擾著人們的生活，長期在噪音中生活，會對人的身心健康造成嚴重的危害。為了隔音降噪，通常會用單位面積質量大的材料，如水泥墻、厚鋼板等。單位面積質量越大，隔聲效果越好。然而,采用厚度很大的隔聲材料顯然存在一定的局限性。

為了解決隔聲材料的厚度問題，研究人員發現聲子晶體能夠有效地禁止某些頻率范圍中的聲波傳輸，聲波不能傳輸的頻率范圍就是帶隙[1]。根據帶隙形成機理的不同，聲子晶體可分為布拉格散射型聲子晶體和局域共振型聲子晶體。當布拉格散射型聲子晶體的基體為流體或氣體時，第一帶隙的中心頻率一般位于c/2a(c為基體聲速，a為晶格常數)附近[2]，因此當聲子晶體尺寸較小時，難以獲得低頻帶隙[3]。為了更便捷地獲得低頻帶隙，劉正猷等在2000年提出了局域共振型聲子晶體這一概念[4]，他們將包裹著硅橡膠的鉛球嵌入環氧樹脂基體中，形成三維三組元聲子晶體。研究表明，聲子晶體帶隙的波長遠大于晶格常數，實現了小尺寸控制大波長。由于類Fano現象的影響，局域共振帶隙內彈性波衰減幅度比較小，所產生的帶隙比較窄[2]。

為了獲得較寬的低頻帶隙，人們對聲子晶體的結構做出了許多研究。Li等[5]設計了一種由鋼和硅橡膠組成的錐形散射體，通過硅橡膠填充材料解耦了質量-彈簧模型，使縱向和橫向彈性波移動到相同的頻率范圍，經計算獲得兩個低頻帶隙，分別位于59～103 Hz和154～318 Hz。楊琦等[6]在Li的模型上進行改進，將環氧樹脂板改為4個連接板，在0～1 100 Hz得到5條完全帶隙，拓寬了帶隙寬度，降低了帶隙起始頻率，其中第一帶隙位于44.4～707.2 Hz。康太鳳等[7]將有硅橡膠包裹的空心鉛柱體嵌入到環氧樹脂連接板中，得到5條完全帶隙，總帶隙寬度是傳統模型的3倍，其中第一帶隙位于160～580 Hz。進一步改變連接板寬度，發現隨著連接板寬度的增加，第一帶隙的起始頻率增大，帶隙寬度減小。蔣麗娜等[8-9]設計了一種硅橡膠包覆層和環氧樹脂基體均開有孔的聲子晶體，得到了41～256.73 Hz的低頻帶隙，這種新型結構質量輕，而且能夠實現低頻率和寬帶隙的目標。孫向洋等[10]將散射體嵌入基體中，同時在散射體與基體中加入一層包覆層。通過增加包覆層厚度使第一帶隙的起始頻率降低，帶隙寬度變大。郭旭等[11]提出了一種在聲子晶體板附加多個圓柱形振子的結構，與附加單個圓柱形振子相比，可以優化隔振特性。

開孔設計的局域共振聲子晶體大多是在基體部分，對于在包覆層的開孔設計很少。彭中波等[12]在二維聲子晶體包覆層進行了開孔設計，得到140.73～398.4 Hz的低頻帶隙，通過進一步改變孔徑的大小，發現隨著孔半徑的增大，帶隙的起始頻率降低，但是帶隙寬度減小。可以看出，此模型的帶隙寬度相對比較窄，帶隙的起始頻率相對比較高，不能很好地滿足減振降噪需求。本文以彭中波設計的聲子晶體結構為參考模型，在此基礎上設計了一種連接板結構式聲子晶體結構，通過有限元軟件模擬方法計算了該結構的能帶分布，并對帶隙上下邊界點對應的模態進行分析，得出帶隙產生的原因，并通過改變連接板寬度和包覆層開孔大小進一步分析影響帶隙的因素。

1 有限元模型及計算方法

本文所設計的聲子晶體結構為鉛圓柱狀散射體外層包裹一層環形硅橡膠，在硅橡膠上均勻分布8個通孔，并將散射體和硅橡膠嵌入到四個環氧樹脂連接板中，如圖1(a)所示。參考模型如圖1(b)所示。聲子晶體的材料參數和幾何參數如表1和表2所示。

圖1 聲子晶體模型對比Fig.1 Comparison of phononic crystal models

表1 計算參數Table 1 Parameters for calculation

表2 連接板聲子晶體的幾何參數Table 2 Geometric parameters of the plate-connected phononic crystal

因為有限元法計算速度快、精度高、收斂性好，所以本文將采用有限元軟件來求解局域共振聲子晶體的帶隙。僅考慮彈性波面內模式在二維聲子晶體中的傳播，其波動方程為：

(1)

(2)

式中：ρ是組元介質的質量密度；λ，μ是組元的拉梅常數；u是位移矢量；t是時間。

圖2 聲子晶體第一布里淵區Fig.2 First Brillouin zone for the phononic crystal

因為聲子晶體在二維平面上周期性排列，基于Bloch定理，可以將聲子晶體結構進行簡化，所以只要算一個單胞即可，位移場可表示為：

u(r+Rn)=u(r)ei(k·Rn)

(3)

式中：u表示位移矢量；r表示位置矢量；k表示Bloch波矢；Rn表示晶格矢量。

由于聲子晶體有鏡面及旋轉對稱性，所以波矢k只要沿著不可約布里淵區的邊界進行掃描，即M→Γ→X→M，通過取不同的波矢k值，就可以得到結構的色散曲線，如圖2所示。

2 仿真及分析

通過有限元軟件對參考模型和設計模型進行計算，兩種模型的能帶結構如圖3所示。

圖3 兩種模型的色散曲線對比Fig.3 Comparison of dispersion curves for two models

由圖3(b)可知，設計結構的帶隙范圍是從29.37～354.07 Hz，帶隙寬度為324.7 Hz，而參考模型的帶隙范圍是從140.73～398.4 Hz，帶隙寬度為257.67 Hz。與參考模型相比，本文結構具有更低的起始頻率和更寬的帶隙。為了進一步說明所設計結構帶隙產生的原因，選擇色散曲線上下邊界對應的A點和B點進行振動模態分析，如圖4所示。

圖4 色散曲線上下邊界振動模態Fig.4 Vibration mode at the edge of the dispersion curves

A點位于帶隙下邊界29.37 Hz，其共振模式主要體現在鉛圓柱狀散射體的平移振動，同時伴隨著對硅橡膠和通孔的拉伸或壓縮變形，拉伸或壓縮變形導致散射體對基體產生x或y方向的合力作用，該共振模式下，散射體振動與基體中傳播的長波行波產生相互耦合的作用，從而導致帶隙產生。

圖中顯示，A點和B點的共振模式類似，B點位于帶隙上邊界354.07 Hz，其共振模式主要體現在外部基體中，表現為連接板在水平或豎直方向上形成同相位的振動，同時伴隨著硅橡膠和通孔的拉伸或壓縮變形，在長波條件下，基體中的長波行波與該振動模式產生相互耦合的作用，從而導致帶隙產生。

圖5 第一帶隙上下邊界對應的系統Fig.5 Corresponding model at the edge of the first band gap

帶隙的起始頻率是由散射體振動造成的，截止頻率是由連接板及包覆層振動導致的，二者的振動是相互獨立的，沒有發生耦合作用。因此帶隙形成過程可以描述為彈性波頻率從零逐漸增加，基體中振動模式中的某一模態被激活為主模態，振動在基體中以此模態進行傳播，此時沒有帶隙產生，當彈性波頻率接近散射體的本征頻率時，A點對應的模態被激活成為主模態，彈性波以這個模態在基體中傳播，散射體發生平移振動并對基體產生反作用力，基體中原有振動模式被抑制，使彈性波無法在基體中繼續傳播，從而形成帶隙。隨著彈性波頻率繼續增加至大于散射體固有頻率時，散射體對基體的反作用力減小直到消失，此時，之前對基體中振動模式的抑制作用消失，B點對應的模態被激活成為主模態，彈性波以這個模態在基體中繼續傳播，帶隙消失。

已有文獻表明[13]，二維三組元聲子晶體面內模式第一帶隙起始頻率的共振模式可以等效為一個質量-彈簧系統，截止頻率的共振模式可以等效為一個質量-彈簧-質量系統，如圖5表示。本文中，鉛圓柱狀散射體和連接板為等效質量,分別用m1和m2表示，硅橡膠為等效彈簧，用K表示。起始頻率f1和截止頻率f2計算公式如下：

(4)

(5)

3 影響帶隙的因素

3.1 連接板寬度對帶隙的影響

使局域共振聲子晶體的晶格常數、硅橡膠半徑、鉛圓柱半徑以及硅橡膠開孔半徑大小等幾何參數保持不變，只改變連接板寬度。連接板寬度從0.5 mm增加到4 mm，對應的帶隙變化如圖6所示，隨著連接板寬度增加，帶隙起始頻率從29.37 Hz逐漸上移到149.93 Hz，截止頻率從354.07 Hz逐漸下移到304.68 Hz，帶隙寬度從324.7 Hz逐漸變窄到154.75 Hz，這是因為連接板寬度增加時，連接板質量增加，截止頻率隨之降低。由質量-彈簧系統可知，連接板質量的增加會導致振子質量的增加，隨著振子質量的增加會使壓力增大，從而使硅橡膠的等效剛度增加，進而使起始頻率增加[7]。

3.2 硅橡膠通孔半徑對帶隙的影響

因為與傳統聲子晶體結構相比，在硅橡膠包覆層上開孔的設計更有利于獲取低頻帶隙，所以對硅橡膠通孔半徑進行研究是有必要的[12]。使局域共振聲子晶體的晶格常數、硅橡膠半徑、鉛圓柱半徑以及連接板寬度等幾何參數保持不變，只改變硅橡膠通孔半徑。硅橡膠通孔半徑從1.0 mm增加到1.4 mm，對應的帶隙變化如圖7所示，隨著硅橡膠通孔半徑增加，帶隙起始頻率從39.44 Hz逐漸下移到16.69 Hz，截止頻率從383.27 Hz逐漸下移到306.54 Hz，帶隙寬度從343.83 Hz逐漸變窄到289.85 Hz，這是由于隨著孔半徑增大，聲子晶體結構等效剛度下降，同時隨著孔半徑增大，聲子晶體結構的剛度也會降低，抗變形能力變差，不利于在實際中減噪應用。

圖6 連接板寬度對帶隙的影響Fig.6 Effects of connecting plate width on band gap

圖7 硅橡膠通孔半徑對帶隙的影響Fig.7 Effects of pore radius of silicone rubber on band gap

4 結 論

本文設計了一種由硅橡膠包裹的鉛圓柱散射體嵌入到環氧樹脂連接板構成的新型二維局域共振聲子晶體結構，使用有限元軟件計算該結構的色散曲線，進一步，通過振型圖對帶隙的產生進行分析。結果表明，該結構在低頻范圍內產生了29.37～354.07 Hz的帶隙，帶隙寬度為324.7 Hz，與參考模型相比，擁有更低的起始頻率和更寬的帶隙。

在該結構基礎上，對環氧樹脂連接板寬度以及開孔半徑大小對帶隙的影響進行分析。結果表明：隨著連接板寬度增加，起始頻率逐漸上升，截止頻率逐漸下降，帶隙寬度逐漸變窄；當通孔半徑增大時，起始頻率逐漸下降，截止頻率逐漸下降，帶隙寬度呈下降趨勢。因此通過改變環氧樹脂連接板寬度以及開孔半徑大小可以調節帶隙寬度以及位置。本文設計的結構為減振降噪領域的研究提供了新思路。