基于多尺度L-P法的三次非線性包裝系統跌落沖擊解析解

霍銀磊， 宋曉東

(河南科技大學 包裝工程系，河南 洛陽 471000)

非線性系統的響應問題廣泛存在于生產生活的各個方面。例如緩沖包裝系統中所用的緩沖包裝材料就往往表現出較強的非線性，因此包裝系統的許多非線性力學問題的數學模型都可以歸結為三次非線性方程(Duffing方程)。 由于三次強非線性系統的精確的解析解在多數情況下是不可能獲得而解析解的物理意義又不夠明確，故而不少學者開始關注其近似解析解。在很多非線性問題的近似求解中，攝動法被證明是有效的[1-2]。然而，傳統攝動方法的不足之一是方程中需要一個小參數或需要人為地在方程中引入小參數，對于某些物理參數較大的強非線性系統，這些近似解一般不再有效。

然而，對于系統的跌落沖擊問題，由于初始條件的差別，以上的針對非線性系統振動響應的求解方法對跌落沖擊問題的適應性并不好。近年來，針對跌落沖擊工況下簡單非線性系統近似解的討論引起了不少學者的注意：向紅等[26]將L-P攝動法與包裝動力學的能量法相結合，得到了系統沖擊響應的包含基頻與高頻成分的一次漸近解，通過引入一個調節基頻與高頻成分的比例關系的振幅修正系數改善了一次漸進解的精度。嚴敏等[27-28]用變分迭代理論與包裝動力學能量分析法結合分別分析斜支撐及三次非線性包裝系統跌落沖擊問題，獲得包含基頻與高頻成分一階迭代近似解；隨后他們又基于簡單積分法[29]，牛頓諧波平衡法(NHB)[30]和何氏頻率-振幅(HFAF)關系[31]討論了三次非線性包裝系統的跌落沖擊。李宏衛等[32]采用解決何氏參數展開法得到跌落沖擊動態方程的僅包含基頻成分的一階近似修正解，形式簡單；他們還提出一種新的非線性分析方法[33]，并以三次非線性和瓦楞紙板型的混合非線性跌落沖擊模型為例，分析了近似解析解的獲取方法；同倫攝動法也被他們用于正切型非線性包裝系統的跌落沖擊響應問題[34-35]。為了提高以上方法的精度，通常需要基于沖擊過程中的能量變化對所得解析解的幅值和頻率進行修正。最近，Song[36]提出了一種改進的同倫攝動方法，并且給出了利用此法求解高階非線性諧振子的一般思路；Song[37]還針對貨物的空投過程，基于熱力學理論研究了通過調制空投過程中降落傘的溫度來調節物品落地速度及加速度，減弱甚至完全避免沖擊和振動的發生，確是一個很有趣的研究方向。

考慮到跌落沖擊的短時特性，系統的瞬態響應才是關注的重點，本文將結合多尺度法和L-P攝動法來討論三次強非線性包裝系統在發生跌落沖擊時的響應問題，以期為此類問題的求解提供參考。

1 系統模型及運動方程

圖1 包裝系統跌落動力學模型

由牛頓第二定律可知系統的運動方程

(1)

引入小參數ε

(2)

式(1)寫為

(3)

其中,ε?1

對于跌落沖擊，系統運動初始條件

(4)

2 多尺度Lindstedt-Poincare法(MSLP)

考慮非線性常數α可能不為小量，系統運動的求解可采用改進的L-P法，令τ=ωt，對式(3)進行時間變換得

(5)

式中，“′”表示為對新時間變量τ的微分。

分別定義快變和慢變時間尺度

T0=τ,T1=ετ,T2=ε2τ

(6)

變換后的時間導數和因變量的多尺度展開分別為

(7)

基頻可定義為

(8)

將式(7)、(8)代入(5)得

ε2x2)+ε2μω[D0+εD1+ε2D2](x0+εx1+ε2x2)+

(ω2-εω1-ε2ω2)(x0+εx1+ε2x2)+

εα(x0+εx1+ε2x2)3=0

(9)

其中，ω0被替換為

(10)

分離參數ε各階，得到

(11)

系統運動的初始條件

(14)

由式(11)可方便得到系統的0次近似解

x0=AeiT0+cc

(15)

將式(15)代入式(12)得

(16)

令D1A=0，式(16)中消除久期項可得

(17)

考慮初始條件，式(16)有如下形式解

(18)

進一步地，將式(15)和(18)代入式(13)得

(19)

令D2A=0可知ω2為復數，方程的解不可獲得。因此為消除久期項，此處令ω2=0，得：

(20)

(21)

分離實部和虛部，并利用初始條件(14)可解得

(22)

整理可得式(5)的一次漸進解

(23)

其中

由式(8)及(17)可得

(24)

(25)

為使方程的解(23)收斂有效，要求

(26)

對于α較大的強非線性系統，由于ω是α的函數，振幅a隨時間衰減，上式左邊在t=0時取到最大，因此有

(27)

滿足收斂性要求。

3 算例分析與討論

為了檢驗模型的準確性，考察無阻尼系統的沖擊響應并與文獻結果對比，令式(5)中的μ=0，由式(23)可得無阻尼系統響應

(28)

其中

根據沖擊過程中的能量關系，由式(1)可得無阻尼系統(c=0)的最大位移響應和加速度響應分別為

(29)

聯立式(28)，即可得到關于修正后的幅值系數a和頻率ω的方程組

(30)

修正后的無阻尼系統響應

(31)

為方便比較，利用文獻[26]的系統參數，緩沖泡沫材料等效初始彈性常數k=600 N/cm，非線性常數e=72 N/cm3；系統跌落高度H=0.6 m。得到跌落沖擊過程中無阻尼系統位移及加速度響應如圖2所示(作為對比，阻尼取很小值c=10-6N·m/s時的阻尼系統響應也在圖中給出)； 其中系統的最大位移響應、加速度響應以及誤差與其他文獻方法結果對比如表1所示?？梢钥闯觯?/p>

圖2 不同方法得到的系統跌落沖擊響應結果對比

表1 不同方法計算的近似解與數值解的對比

對于無阻尼系統，考慮未修正的沖擊響應，本文MSLP近似解(式(28)所得)與Runge-Kutta數值結果對比的相對誤差分別為1.4%和6.6%，加速度誤差較大，解析解的周期也較數值解略大；相比文獻[34]的同倫攝動、文獻[35]的Li-He同倫法及文獻[29]的簡單近似法的結果精度都要高，顯示了文種方法的優越性。經過幅值修正后的近似解析解(式(31)所得)的相對誤差明顯減小，分別為0.58%和0.16%，精確度很高；與文獻[26]的計算結果對比相差也很小，表明能量修正對于無阻尼系統求解的必要性。

對于阻尼近乎為0的情況(c=10-6N·m/s)，其數值解與無阻尼系統數值解相同，本文基于MSLP方法的位移、加速度近似解的相對誤差分別為1.4%和3.4%，精度較高，無需對幅值和頻率進行基于能量的修正即滿足工程要求。

圖3給出了強(α=5×108)、弱(α=5×104)非線性小阻尼(μ=10-6)系統的沖擊位移響應和加速度響應?？梢钥闯觯簩τ谌醴蔷€性系統，MSLP近似解與數值解高度吻合；對于強非線型系統，MSLP近似解的周期較數值解略有增加，近似解的位移、加速度最大峰值分別為0.026 m和-840 m/s2，與數值解的相對誤差分別為0.38%和4%，已是相當準確，考慮到有阻尼系統能量修正的復雜性，本文MSLP近似解可直接用于三次非線型問題的解析求解而不必進行基于能量的幅值和頻率修正。

圖3 小阻尼系統的跌落沖擊響應(ω0=50,ε=0.1,μ=10-6)

對于三次強非線性系統(α=107)，圖4 給出了不同阻尼作用時系統的跌落沖擊位移響應和加速度響應?？梢钥闯觯弘S著系統阻尼的增加，響應幅值逐漸減小，這與線性系統結論一致；MSLP解析解的最大值和周期都較數值解略有增大，但總體吻合度還是較高的；只有當阻尼很大時(μ=5 000)，解析解的最大位移響應和加速度響應分別為：0.036 8 m和-177.9 m/s2，與數值解(最大位移0.035 4 m、最大加速度-173.1 m/s2)的相對誤差分別為4.28%和2.77%。證明本文MSLP一階近似解對于含有較大阻尼的三次非線型問題同樣具有很好的適用性。

4 結 論

本文將多尺度法和改進的L-P方法相結合應用于含有阻尼的三次非線性包裝系統跌落沖擊的近似求解，并與數值解進行對比，主要結論如下：

(1) MSLP方法可有效用于含有阻尼的三次非線性包裝系統的跌落沖擊響應的近似解析求解，即便對于強非線性系統，其一次近似解也具有較高的精度。

(2) 不考慮阻尼得影響，三次強非線性系統基于MSLP方法的一階近似加速度解的最大值與數值解的相對誤差也僅有6%，利用沖擊過程中的能量關系對解析解中的幅值與頻率參數進行修正，修正后一階近似解的位移、加速度最大值與數值解的相對誤差都在1%以內。

(3) 對于有阻尼三次強非線性系統，基于MSLP方法的一階近似解也具有較好的精度，即便是阻尼很大時，其與數值解的相對誤差也僅有4.28%。無需能量修正也可滿足工程要求。

(4) 當阻尼取很小值時，有阻尼系統MSLP方法的一階近似解比無阻尼時具有更高的精度，盡管兩種情況下數值解幾乎沒有差別。因此，對于無阻尼三次強非線性系統沖擊問題的求解，除了眾多文獻中提出的能量修正法，也可考慮通過對系統引入一個小阻尼來提高解析解的精度。