應用梯度連接層的層合電工鋼梁螺栓結合部簡化模型研究

關天賜， 王小鵬， 奚延輝

(西安交通大學 機械工程學院，西安 710049)

電工鋼片具有良好的導磁性能，廣泛應用于變壓器、電機等電氣設備中。為了減小渦流損耗，變壓器鐵心由電工鋼片疊裝而成。如何計及電工鋼片層疊結構對變壓器鐵心動力學特性的影響，是準確建立鐵心結構有限元仿真模型的關鍵。

在變壓器鐵心的裝配過程中，電工鋼片疊裝后通過夾件與螺栓夾緊，電工鋼片之間接觸的表面為螺栓結合面[1]。由于變壓器鐵心是復雜的裝配體，存在著大量的螺栓結合面，無法通過模態試驗獲得變壓器鐵心整體的模態參數。因此，無法對變壓器鐵心仿真模型進行參數識別，導致進行鐵心整體靜動態特性分析時產生很大的誤差。如何對變壓器鐵心中電工鋼片之間的螺栓結合部進行等效建模，是提高變壓器鐵心建模精度的關鍵。

國內外學者對于螺栓結合部的建模提出了多種方法，主要包括彈簧-質量法[2]、薄層單元法[3-5]、虛擬材料建模法[6-8]等。Wang等[9]在傳統的彈簧質量模型中引入隨應變率變化的彈性模量，提出了一種組合螺栓連接的剛度和強度預測模型。繆輝等[10]在拉桿轉子的接觸界面應用薄層單元模型，通過模態試驗數據修正了薄層單元的彈性參數。薄層單元的厚度對計算結果影響較大，Desai等[11]研究表明薄層單元厚度與長度的比值在0.01～0.1。張學良等[12]提出基于橫觀各向同性材料的螺栓結合部等效建模方法，基于接觸分形理論和結合部接觸剛度分形模型推導了虛擬材料的彈性參數。Zhao等[13]提出了一種非線性虛擬材料對螺栓結合部進行建模，通過使用不均勻的表面接觸應力確定非線性虛擬材料的參數。孫清超等[14]提出一種材料參數隨位置坐標變化的梯度虛擬材料螺栓結合面等效模型。彈簧-質量法適用于簡單結構的建模，在復雜結構中應用困難。薄層單元法可以應用于復雜結構中，但是在螺栓結合部增加了薄層單元，會改變結構的尺寸。等效虛擬材料模型在結合部接觸剛度分形模型的基礎上，應用接觸分形理論推導虛擬材料彈性常數與密度。變壓器鐵心中電工鋼片表面涂覆絕緣涂層，使其結合面特性復雜，用解析模型求解虛擬材料參數十分困難。

連接層模型是模擬螺栓結合部動態行為的一種新的方法。這一模型將螺栓連接的減剛度效應擴展到被連接結構的指定區域，稱為連接層。與薄層單元法相比，連接層模型不改變結構的尺寸，連接層的厚度沒有確定的取值。Shokrollahi等[15]在金屬結構之間的螺栓結合部建立單連接層模型，Adel等[16]在金屬與復合材料結構之間的螺栓結合部建立雙連接層模型，分別通過試驗結果對連接層的彈性參數進行了修正。但是，文獻中將連接層模型定義為均勻材料，沒有考慮螺栓結合部壓強分布不均勻的特點。

針對電工鋼片間的螺栓結合部導致變壓器鐵心無法準確建模的問題，本文提出了一種考慮結合面壓強分布不均勻的梯度連接層模型。根據螺栓結合部壓強分布，推導了梯度連接層彈性參數與結合部接觸壓強的關系表達式。以層合電工鋼梁試件為研究對象，通過試驗模態與計算模態對比獲得試件的等效材料參數。在此基礎上，兩根層合電工鋼梁由螺栓連接，在螺栓結合部建立梯度連接層模型。通過螺栓連接層合電工鋼梁試驗模態與計算模態對比，以對應試驗頻率和計算頻率的差值最小化為目標函數，應用遺傳算法修正了梯度連接層的彈性參數。

1 梯度連接層模型

Adel等提出一種模擬螺栓結合部的連接層模型，如圖1所示。該模型將螺栓連接的減剛度效應擴展到兩個被連接結構的指定區域，稱為連接層。在實際建模中，將材料相同的兩個被連接件的連接層作為整體進行計算。連接層的厚度沒有確定的取值，密度與被連接件相同，結構的總體質量和尺寸不變。通過改變連接層的彈性性能，可以改變結構的局部剛度，從而在線性范圍內研究螺栓連接對結構的影響。連接層模型能夠應用在復雜結構的有限元仿真模型中，從而提高計算精度。

圖1 螺栓結合部連接層模型

連接層模型基于螺栓連接的減剛度效應，螺栓結合部壓強分布不均勻會導致不同區域減剛度效應不同。文獻[15-16]中提出的連接層模型無法準確表示螺栓結合部壓強分布不均勻的特點。因此，本文根據結合部壓強分布特點，將連接層模型劃分為3層，提出一種考慮結合部壓強分布不均勻的梯度連接層模型，如圖2所示。

圖2 螺栓結合部梯度連接層模型

首先，需要定義梯度連接層的本構關系。由于梯度連接層模型使用了被連接結構的部分區域，為了方便附加到有限元程序中，連接層與相鄰結構的單元類型相同，均為三維實體單元。梯度連接層單元的剛度矩陣K如式(1)所示。

(1)

式中：C為材料的彈性矩陣；B為單元幾何矩陣；V為單元體積。

本文研究的層合電工鋼梁是一種復合結構，因此將梯度連接層定義為正交各向異性材料，本構方程如式(2)所示。

(2)

式中：σi和εi(i=x,y,z)為材料3個主軸方向的正應力和正應變；τij和γij(i=x,y,z;j=x,y,z;i≠j)為材料的切應力和切應變；Gij(i=x,y,z;j=x,y,z;i≠j)為材料的剪切模量；Cij(i=x,y,z;j=x,y,z)為剛度矩陣系數，由材料3個主軸方向的楊氏模量與泊松比確定，如式(3)～(9)所示

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

式中：Ei(i=x,y,z)為材料3個主軸方向的彈性模量；νij(i=x,y,z;j=x,y,z;i≠j)為材料的泊松比。其中，彈性常數存在以下關系

νijEj=νjiEi(i=x,y,z;j=x,y,z;i≠j)

(10)

因此，正交各向異性材料具有9個獨立的彈性參數。

螺栓結合面壓強分布不均勻，壓強分布可以簡化為空心圓錐體[17]，壓強沿徑向逐漸減小，如圖3所示。結合面的壓強分布如式(11)～(13)所示

(11)

圖3 螺栓結合部壓強分布示意圖

(12)

rm=rb+h·tanα

(13)

式中：P(r)為結合部不同位置的壓強；Pmax為結合部壓強最大值；Fb為螺栓預緊力；ri為螺栓孔半徑；rm為螺栓結合部壓強分布末端半徑；rb為螺栓頭半徑；h為被連接件厚度；α為螺栓頭和結合部壓強分布末端連線與螺栓中心線的夾角。

假設在均勻壓力下單位面積結合面的法向剛度Kn和切向剛度Kτ如式(14)～(15)所示[18]

Kn=αn·P(r)βn

(14)

Kτ=ατ·P(r)βτ

(15)

式中:αn、βn為結合部法向特性參數；ατ、βτ為結合部切向特性參數。

根據材料力學中彈性模量和剪切模量與法向剛度和切向剛度的的關系，推導出梯度連接層的彈性模量和剪切模量與壓強的關系如式(16)～(17)所示。

(16)

(17)

式中：E(r)為梯度連接層不同位置的彈性模量；G(r)為梯度連接層不同位置的剪切模量；A為梯度連接層xy平面內的面積；h為梯度連接層z軸方向上的厚度。

本文中將梯度連接層劃分為3個分層，每個分層的壓強取為平均接觸壓強，見圖2。梯度連接層為正交各向異性材料，由于螺栓連接的壓力沿z方向，根據文獻[12]，假設梯度連接層3個分層x方向的彈性模量相等，y方向的彈性模量相等，xy方向的剪切模量相等，z方向的彈性模量與xz、yz方向的剪切模量與接觸壓強關系如式(16)～(17)所示，3個方向泊松比與被連接結構相同。梯度連接層的材料參數與螺栓預緊力、表面粗糙度與螺栓結合面材料等參數有關。

2 層合電工鋼梁螺栓結合部簡化建模

2.1 層合電工鋼梁的設計與參數識別

由于電工鋼片厚度通常小于0.5 mm，單獨兩片間的螺栓結合面研究比較困難。因此，本文首先制作了層合電工鋼梁試件，如圖4所示。試件由10片公稱厚度0.3 mm的電工鋼片沿Z軸堆疊并通過膠黏層粘接在一起，試件質量為478.7 g。電工鋼片的幾何尺寸如圖5所示。由于電工鋼片的厚度公差為±0.015 mm，通過千分尺測量試件60個點的厚度，試件沿Z軸方向的厚度為3 mm，公差為±0.020 mm。由于試件沒有確定的材料參數，無法進行螺栓結合部的等效建模研究。因此，本文首先通過試驗模態與計算模態對比識別層合電工鋼梁的等效材料參數。

圖4 層合電工鋼梁試件

圖5 電工鋼片幾何尺寸

本文在自由-自由邊界條件下對層合電工鋼梁進行模態試驗，如圖6所示。通過沖擊錘(5800B3，DYTRAN)對試件施加脈沖激勵，試件表面等距布置23個測點。將三軸加速度傳感器(3333A2，DYTRAN)安裝在試件表面的A1點。由于加速度傳感器質量遠小于試件質量，忽略加速度傳感器對試驗的影響。每個測點重復測量4次，存儲平均頻響函數與相干函數。通過數據分析儀(m+p VibPilot)記錄試驗數據并進行模態試驗分析，獲得試件前6階試驗頻率如表1所示。從表1中可以看出，參數識別后層合電工鋼梁仿真計算的前4階固有頻率與試驗頻率之間的誤差均小于1%，并且準確地預測了未參與識別過程的第5和第6階固有頻率，說明識別后的材料參數可以用于層合電工鋼梁的仿真計算。

圖6 試件模態試驗設置

表1 試件試驗頻率與識別后計算頻率

層合電工鋼梁結構具有各向異性，根據文獻[19]，層合電工鋼梁在x與y軸方向性能基本相同，可近似認為試件具有橫觀各向同性。因此，將層合電工鋼梁的材料定義為正交各向異性材料，材料參數之間的關系如式(18)～(21)所示

(18)

(19)

(20)

(21)

為了識別層合電工鋼梁的等效材料參數， 通過有限元計算與模態試驗獲得的固有頻率差值最小化來確定試件材料參數，目標函數如式(22)所示

(22)

(23)

(24)

(25)

(26)

表2 試件材料參數初始值及變化范圍

通過遺傳算法對層合電工鋼梁的材料參數進行識別[20-21]。層合電工鋼梁材料參數的識別值如表3所示。

表3 試件材料參數識別值

2.2 螺栓連接層合電工鋼梁模態試驗

在識別后試件材料參數的基礎上，進一步研究層合電工鋼梁螺栓結合部簡化模型。將兩根本文中設計的層合電工鋼梁通過M10螺栓連接，兩根層合電工鋼梁尺寸相同，連接區域長度為60 mm，整個連接結構幾何尺寸如圖7所示。

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圖7 螺栓連接層合電工鋼梁幾何尺寸

為了獲得螺栓連接層合電工鋼梁的模態參數，在自由-自由邊界條件下對螺栓連接層合電工鋼梁進行模態試驗，如圖8所示。根據實際生產中變壓器鐵心的裝配壓強，施加的螺栓預緊扭矩為1.0 N·m。采用沖擊錘(5800B3，DYTRAN)對試件施加脈沖激勵，試件表面布置43個測點。將三軸加速度傳感器(3333A2，DYTRAN)安裝在試件表面的A2點。每個測點重復測量4次，存儲平均頻響函數與相干函數。

圖8 螺栓連接層合電工鋼梁模態試驗設置

通過數據分析儀(m+p VibPilot)記錄試驗數據并進行模態試驗分析，獲得螺栓連接層合電工鋼梁的頻響函數如圖9所示，前8階試驗振型如圖10所示，前8階固有頻率如表4所示。

圖9 螺栓連接層合電工鋼梁的頻率響應函數

圖10 螺栓連接層合電工鋼梁的試驗振型圖

表4 螺栓連接層合電工鋼梁試驗頻率與初始計算頻率

2.3 螺栓連接層合電工鋼梁模態仿真

通過ANSYS有限元軟件對螺栓連接層合電工鋼梁進行模態仿真，有限元模型如圖11所示。兩根層合電工鋼梁之間建立梯度連接層模型并定義綁定接觸，分層1和2的直徑分別為24和36 mm，螺栓、螺母與墊圈(32 g)簡化為集中點質量。連接層的厚度沒有確定取值，文獻[11]研究表明當連接薄層長度與厚度比值為10～100時能取得較為準確的結果。因此，在梯度連接層的長度與厚度比值范圍內，為了方便計算，本文將梯度連接層厚度設置為1 mm。

圖11 螺栓連接層合電工鋼梁的有限元模型

初始仿真中，層合電工鋼梁與梯度連接層應用表3中識別后的材料參數。仿真模型中層合電工鋼梁與梯度連接層均使用20個節點的三維單元(solid186)，包括12 911個單元與70 116個節點。在仿真模型的y軸方向定義零位移約束，該約束可以避免模型的橫向彎曲(y-x平面內)與扭轉模態，保證在改變設計參數時不改變振型的階數。仿真計算后螺栓連接層合電工鋼梁的前8階振型如圖12所示。從圖12可以看出，仿真計算的模型前8階振型與圖10中模態試驗分析得到的前8階振型一致。

(a) 第1階振型

在振型一致的前提下，仿真模型計算的初始前8階固有頻率見表4。從表中可以看出，螺栓連接層合電工鋼梁的前8階試驗頻率均小于初始計算頻率，說明結合面的剛度小于結構其它部分的剛度，仿真時定義綁定接觸與實際誤差較大。在研究變壓器鐵心的動態特性時，不考慮電工鋼片間的接觸，建立整體鐵心模型與實際誤差較大。此外，奇數階模態頻率誤差大于偶數階模態頻率誤差，因為偶數階模態中螺栓結合部被置于節點位置，不參與結構動力響應。但是，對于奇數階模態，螺栓結合部位于振動的峰值處，會導致結合面發生微小滑移與分離，從而誤差較大。因此，需要對梯度連接層的彈性參數進行修正。

3 梯度連接層參數修正

螺栓連接層合電工鋼梁的前8階試驗頻率與計算頻率誤差較大，需要使用試驗結果修正梯度連接層的材料參數。本文中參數修正方法的流程圖如圖13所示，其基本步驟如下：

圖13 梯度連接層參數修正流程圖

(1) 在有限元軟件ANSYS中對螺栓連接層合電工鋼梁進行建模，并在其螺栓結合部建立梯度連接層模型，仿真計算得到結構初始計算頻率和模態振型；

(3) 設置約束條件，基于遺傳算法對梯度連接層的彈性參數進行修正；

(4) 目標函數滿足終止條件后，得到修正后的梯度連接層彈性參數。

由于螺栓連接的壓力沿z方向，根據文獻[12]，假設梯度連接層3個分層x方向的彈性模量相等，y方向的彈性模量相等，xy方向的剪切模量相等，z方向的彈性模量與xz、yz方向的剪切模量與接觸壓強關系如式(16)～(17)所示，3個方向泊松比與被連接結構相同。梯度連接層的密度與被連接結構相同。因此，在參數修正過程中梯度連接層3個分層彈性參數的關系如式(27)～(32)所示

(27)

(28)

(29)

(30)

(31)

(32)

目標函數與式(22)相同，梯度連接層材料參數的初始值及變化范圍如表5所示。通過遺傳算法對梯度連接層的材料參數進行修正，第5～8階固有頻率用來驗證修正后梯度連接層材料參數的準確性。目標函數迭代收斂過程如圖14所示。從圖中可看出，經過18次迭代后收斂，每次迭代計算20個設計點。

表5 梯度連接層材料參數初始值及變化范圍

圖14 目標函數迭代收斂曲線

修正后梯度連接層的等效材料參數如表6所示，螺栓連接層合電工鋼梁模態仿真計算的固有頻率如表7所示。從表7中可以看出，修正后螺栓連接層合電工鋼梁的前4階計算頻率與試驗頻率之間的誤差均小于1%，未參與修正過程的第5～8階固有頻率誤差同樣小于1%，說明應用修正后的梯度連接層模型能夠提高螺栓連接層合電工鋼梁的建模精度。

表6 梯度連接層材料參數修正值

表7 螺栓連接層合電工鋼梁修正后計算頻率

從表6中可以看出，修正后梯度連接層3個分層的彈性參數與初始值相比，下降幅度較大。分層1在x、y和z方向的彈性模量分別下降了24倍、29倍和22倍，在xy、yz和xz方向的剪切模量分別下降了66倍、20倍和42倍，說明結合面的剛度小于結構其它部分的剛度。梯度連接層3個分層的彈性參數滿足結合部壓強分布關系，說明結合部剛度分布不均勻。通過應用修正后的梯度連接層模型，能夠在線性范圍內對螺栓連接層合電工鋼梁的結合部進行等效建模。

4 結 論

(1) 本文提出了一種考慮螺栓結合部壓強分布不均勻的梯度連接層模型。以層合電工鋼梁為研究對象，通過試驗模態與計算模態對比修正了層合電工鋼梁的等效材料參數，修正后試件前6階計算頻率與試驗頻率的誤差均小于1%。

(2) 在層合電工鋼梁的螺栓結合部建立梯度連接層模型。通過螺栓連接層合電工鋼梁的試驗模態與計算模態對比，應用遺傳算法修正了梯度連接層的彈性參數。在振型一致的前提下，修正后對應固有頻率的誤差在1%以內，說明修正后的梯度連接層模型能準確反映層合電工鋼梁螺栓結合部的接觸性能。

(3) 修正后梯度連接層不同分層彈性參數滿足結合部壓強分布關系并且均小于初始值，說明修正后的梯度連接層參數能夠反映結合部剛度減小與壓強分布不均勻的物理特性。通過在變壓器鐵心中應用修正后的梯度連接層模型，能夠提高計算精度。