結構-聲強耦合腔振聲響應預報研究

廖金龍， 朱海潮， 侯九霄

(海軍工程大學 振動與噪聲研究所，船舶振動噪聲重點實驗室，武漢 430033)

由彈性結構和封閉腔組成的結構-聲耦合系統廣泛地存在于生活和實際工程中，如起居臥室，船舶艙室，聲吶探測腔等，彈性結構在外激勵下產生的聲輻射是艙室內噪聲的主要來源。近年來，通過采用各種控制方案抑制艙內聲場水平，提高艙室舒適性已成為聲學領域的研究熱點[1-5]，因此如何準確地預報外激勵源下結構-聲耦合系統的響應是進行聲學設計和噪聲控制的關鍵，具有重要的工程應用價值。

多年來，國內外學者圍繞此問題開展了大量的理論和實驗研究，Pan[6]最早提出采用模態耦合理論建立結構-聲耦合系統模型，實現了系統響應的預測。Kim等[7]以模態耦合理論為基礎，從阻抗和導納角度進行了響應分析，并通過實驗驗證了預測的準確性。Geng等[8]利用有限元工具獲取復雜封閉空間的聲模態，結合模態耦合理論研究了復雜封閉空間耦合系統在外力激勵和聲激勵作用下響應和有源消聲問題，理論上可適用于任意封閉空間，在分析頻率較高時，由于網格質量的要求，會耗費大量的計算資源。張肅等[9]采用小波迦遼金法分析了復雜結構-聲耦合系統的響應，并通過實驗驗證了方法的準確性。上述有關結構-聲耦合系統響應預報的研究主要適用于空腔深度較深、腔內介質為非致密的弱耦合情形，當空腔深度較淺、腔內介質具有較大的質量密度時，結構與聲場形成強耦合，由于采用剛性壁面聲模態函數和真空中結構模態函數作為基函數，在彈性邊界處速度不連續，導致不能準確地預報系統響應。為此，Du等[10-11]通過引入輔助函數的方式對聲場聲壓和結構位移傅里葉級數進行改進，使其滿足邊界連續性條件，實現了結構-聲強耦合系統響應預報，但是輔助函數參數的引入增加了公式復雜性和系統矩陣的尺寸。陳躍華等[12-13]在此基礎上，采用Chebyshev多項式級數替代改進傅里葉級數對耦合系統進行了建模，形式更加簡潔，不需要借助有限元工具就可以獲取耦合系統的固有頻率和模態，但是由于Chebyshev多項式是加權正交，在計算中包含大量高階積分項，計算速度較慢。Kim等[14]提出耦合系統建模降階方法，實現了強耦合系統響應的準確預報。

在現有的文獻中，對于強耦合腔體的響應預報研究并不多見，因此開展結構-聲強耦合腔的振聲響應分析具有重要意義。本文從能量角度出發，考慮結構-聲耦合以及邊界力激勵的作用，對結構-聲強耦合腔響應進行了分析。建立了彈性板-充水矩形背腔耦合模型，首先對系統結構和聲場及其滿足的邊界條件進行了說明，根據能量原理用拉格朗日函數對耦合系統動力學方程進行了描述，然后用權函數為1的 Legendre多項式級數分別將結構位移函數和聲場聲壓函數進行展開，采用Rayleigh-Ritz法對動力學方程求解得到了耦合系統的振聲響應，由于Legendre多項式滿足L2內積正交性，使得方程中高重積分項簡化為低重積分或者直接乘積項，大大地提升了計算效率。通過與文獻和數值仿真結果對比，驗證了本文方法的正確性。

1 理論推導

1.1 耦合系統模型

考慮如圖1的彈性板-矩形背腔耦合系統，背腔體積為V，腔內充滿聲速為cc，密度為ρc的重介質流體，其邊界由彈性板和剛性壁面組成，彈性板厚度為h，面積為S，邊界為Γ，材料密度為ρp，在簡諧外力激勵Fp的作用下，彈性壁面發生彎曲振動并向腔體內部輻射噪聲。由于腔內介質為重流體(比如水介質)，彈性邊界與封閉腔形成強耦合系統。

圖1 彈性板-矩形耦合腔

假設腔內介質在受到激勵前處于靜止狀態，則聲壓分布p(x,y,z)滿足Helmholtz波動方程及邊界條件

(1)

(2)

式中:?為拉普拉斯算子;ω為激勵頻率;w(x,y)表示彈性板的位移分布;n為彈性板外法線方向。

對于彈性板，在外激勵的作用下其位移振動方程為

(D?4-ρphω2)w(x,y)=p(x,y)-

Fpδ(x-xext)δ(y-yext)

(3)

式中，D為結構彎曲剛度。對于彈性壁面約束邊界條件可以用結構彎曲振動的彈簧剛度系數來描述，以邊界x=0為例，其邊界條件滿足

(4)

(5)

式中:η為材料泊松比;ax0和Ax0分別為x=0處平移彈簧剛度和旋轉彈簧剛度，通過設置平移彈簧剛度為無限大，旋轉彈簧剛度為零來表示簡支邊界條件，設置兩者均為無限大來表示固支邊界條件。

直接由Helmholtz波動方程、振動方程及其邊界條件求解聲壓分布和位移分布的理論解是困難的，本文從能量角度出發，采用拉格朗日函數對系統動力學方程進行描述，該耦合系統分為彈性板系統和封閉腔系統，其拉格朗日函數分別為

Lp=Up-Tp-Wext-Wctp

(6)

Lc=Uc-Tc-Wptc

(7)

式中:Up為彈性結構彎曲振動時的總勢能;Tp為總動能;Wext為外激勵對彈性結構做的功;Wctp為彈性結構與聲場交界處聲壓對結構做的功；Uc為聲場的總勢能;Tc為聲場的總動能;Wptc為彈性結構與聲場交界處結構振動對聲場做的功，由牛頓第三定理可知Wctp=-Wptc。具體的表達式為

(8)

(9)

Wext=Fpw(xext,yext)

(10)

(11)

(12)

(13)

1.2 動力學方程求解

利用Rayleigh-Ritz法對耦合系統的拉格朗日函數方程進行求解，在求解時需要選擇一組試函數對聲場聲壓和結構位移函數進行展開。通常，要求選擇的試函數在對聲場聲壓和結構位移展開時能滿足任何可能的邊界條件。考慮試函數條件及聲模態函數和結構模態函數的正交特性，選擇正交多項式簇中Legendre多項式對聲場聲壓函數和結構位移函數進行展開，由于Legendre多項式的定義區間為[-1,1]，在對聲壓函數和位移函數進行展開時需要進行坐標變換，假設笛卡爾坐標系下x,y,z的定義區間分別為[0,Lx],[0,Ly],[0,Lz]，則坐標變換公式為

α=(2x-Lx)/Lx

β=(2y-Ly)/Ly

γ=(2z-Lz)/Lz

(14)

聲壓函數和位移函數表達式分別為

(15)

(16)

式中，Blmn和Cjq分別為(l,m,n)階聲壓展開系數和(j,q)階位移展開系數;Pl(α)為Legendre多項式。Pl(α)的表達式為

(17)

應當說明的是，相比于其他正交多項式，除了有良好的完備性和遞推性之外，選擇使用Legendre多項式作為試函數還有一個明顯的優點。Legendre多項式在定義區間內L2內積滿足權函數為1的正交條件

(18)

式中，δll′為克羅內克函數，當l=l′時為1，否則為0。這將簡化耦合系統動力學方程中矩陣元素的運算。

將聲壓函數展開式(15)和位移函數展開式(16)代入式(8)～(13)，聯立式(6)和(7)，按照Rayleigh-Ritz法，使彈性板系統和封閉腔系統的拉格朗日函數分別對聲壓展開系數和位移展開系數取極值

(19)

整理即可得到耦合系統動力學方程

(20)

式中:B為聲壓展開系數組成的列向量;C為位移展開系數組成的列向量;W為作用在彈性結構上的外激勵向量;Kp和Mp分別為彈性結構的剛度矩陣和質量矩陣;Kc和Mc分別為聲腔聲場的剛度矩陣和質量矩陣;Kptc為彈性結構對聲腔聲場的耦合作用矩陣。由于Legendre多項式L2內積滿足正交性，各矩陣元素中高重積分項可簡化為低重積分或者直接乘積項，具體表達式為

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

通過求解上述動力學方程，可以得到聲壓展開系數和位移展開系數，分別代入式(15)和(16)，即可求得外激勵下結構的位移振動響應和聲場的聲壓分布。由于結構均方振速和聲場均方聲壓是從系統能量層面描述響應水平的參量，在聲學設計和全局噪聲控制時更具有代表性，本文選擇其作為響應分析目標。由振速和位移的關系v(x,y)=jωw(x,y)，結合Legendre多項式的正交性，均方振速和均方聲壓分別可表示為

式中：Λp和Λc分別為結構和聲場歸一化對角矩陣，由式(18)可得，其對角元素分別為

(28)

(29)

2 理論驗證

2.1 收斂性和準確性分析

考慮一彈性板-矩形腔強耦合腔模型，幾何參數為：Lx×Ly×Lz=0.35 m×0.29 m×0.14 m，四邊簡支，腔內充滿水以使板腔形成強耦合。彈性板結構參數為：密度ρp=2 700 kg/m3，泊松比η=0.3，板厚h=0.015 m，楊氏模量E=72 GPa，結構阻尼ζp=0.01；水介質參數為：密度ρc=1 000 kg/m3，聲速cc=1 500 m/s，介質阻尼ζc=0.01，在板表面(0.039,0.272)m位置設置一幅值為1 N的法向簡諧點力。在實際的計算過程中，分別截取前Nj,Nq階和前Nl,Nm,Nn階Legendre多項式對聲壓函數和位移函數進行展開。為確保求解結果的準確性，需要對截斷階數的收斂性進行分析。根據板腔幾何參數，取Nj=Nq=Nl=Nm=2Nn=2N，以有限元計算結果為準，分別構建均方振速和均方聲壓截斷誤差函數為

(30)

(31)

式中：[fL,fH]為分析頻率范圍，由于0～350 Hz已經包含足夠多的模態頻率，選擇該頻段進行分析。截斷誤差隨截斷階數的變化曲線如圖2所示，隨著截斷階數增加，截斷誤差迅速減小，當N=6時，均方振速和均方聲壓截斷誤差分別為2.50%和1.62%。考慮計算資源，選擇截斷階數為：Nj=Nq=Nl=Nm=2Nn=2N=12。均方振速和均方聲壓的理論計算結果與文獻[13]的方法以及有限元計算結果的對比如圖3所示，可以發現，在分析頻段內，本文理論計算結果和文獻[13]以及有限元結果吻合良好。

圖2 截斷誤差曲線

(a) 均方聲壓

在選擇COMSOL-Multiphysics中聲-殼耦合模塊進行有限元分析時，理論上要獲得可信的結果，最大網格尺寸應小于分析頻段最短波長的1/6。本文中設置最大網格尺寸為0.008 m，對應的上限分析頻率為31 250 Hz，對于本文分析的頻段是足夠的。為了進一步分析網格尺寸對響應預報的影響，考慮使用更小的網格尺寸0.006 m。圖4給出了兩種網格尺寸下系統均方振速響應對比圖，可以看出兩者結果基本一致，驗證了使用0.008 m的網格尺寸有限元計算結果作為對比的可靠性。

圖4 不同網格尺寸下均方振速有限元結果

2.2 計算效率分析

文獻[13]提出使用切比雪夫多項式級數對結構位移函數和聲場聲壓函數進行展開，與之相比，本文使用Legendre多項式級數描述聲壓和位移，由于其滿足L2內積正交性，簡化了計算。在同等算力的計算機條件下使用代碼實現時，影響計算效率的主要是積分項的數量，下面從一重積分項的維數對兩種方法計算效率進行分析，附錄給出了文獻[13]中剛度矩陣，質量矩陣及耦合作用矩陣各元素的表達式。對于相同的分析模型，相同的截斷階數，根據式(21)～(25)和附錄可得本文方法和文獻[13]的方法的積分項的總維數分別為

(32)

(33)

比較式(32)、(33)可以看出，對于相同的截斷，在采用Legendre多項式級數描述聲壓和位移時，由于積分項得到了簡化，極大地減小了積分項的總維數，使得代碼處理更加容易，計算效率得到提升。

3 振聲響應參數分析

彈性板-矩形背腔是典型的結構-聲耦合系統，雖然其結構簡單，但是當腔內介質為重流體時，系統耦合程度增加，結構和聲場的響應趨于復雜，更難以預測，尋找系統參數的影響規律是進行聲學設計的關鍵。選擇2.1節的彈性板-矩形腔模型，不改變激勵信息，分析彈性板邊界條件和背腔深度的變化對響應的影響。

3.1 彈性板邊界條件

假設彈性板四邊具有一致的邊界條件，不同的邊界條件可通過設置平移彈簧剛度a和旋轉彈簧剛度A的不同組合來表示：平移彈簧剛度為無窮大，旋轉彈簧剛度為零代表簡支邊界，兩者均為無窮大代表固支邊界，這里計算時取1010表示無窮大。

圖5給出了耦合系統隨邊界條件和頻率變化的振聲響應等高線圖，保持平移彈簧剛度為無窮大，旋轉彈簧剛度逐漸由零增加到無窮大，代表簡支向固支約束邊界的過渡。一般來講，相比于真空條件下，存在耦合作用的系統峰值頻率會產生一定的偏差，這也反映了耦合作用對系統特性的影響，可用系統第一階非零峰值頻率的偏差量與真空條件下第一階非零峰值頻率的比值來表征耦合作用的強度，即：

Δ=|fcoupled,1-fin-vacuo,1|/fin-vacuo,1

(34)

(a) 均方聲壓

耦合強度系數隨邊界旋轉彈簧剛度的變化如圖6所示，結合圖5和圖6可以看出，聲場均方聲壓與結構均方振速響應峰值頻率的變化趨勢是一樣的。邊界約束可按旋轉彈簧剛度大小分為三個階段：當A=100～102趨近于簡支，當A=102～105邊界約束由簡支向固支過渡，當A=105～1010趨近于固支。當邊界約束處于趨近于簡支和趨近于固支階段時，系統耦合強度系數基本不變，具體表現為耦合系統的響應峰值幅值和頻率不隨邊界旋轉彈簧剛度的變化而變化；處于過渡階段時，隨著邊界旋轉彈簧剛度的增大，邊界約束由簡支逐漸轉變為固支，同時系統耦合強度逐漸減弱，具體表現為響應峰值頻率向高頻偏移，但由于耦合作用變化量較小，響應峰值幅值基本不變。

圖6 邊界旋轉彈簧剛度變化對耦合強度系數的影響

3.2 背腔深度

改變分析模型的背腔深度，保持模型其他參數不變，分析背腔深度對耦合系統響應的影響。需要說明的是，為了保證求解精度，在利用Legendre多項式對聲壓函數進行展開時，腔深方向上的截斷階數應當隨腔深變化進行調整，在計算中，當0

圖7給出了耦合系統隨背腔深度和頻率變化的振聲響應等高線圖。為了清楚的說明峰值響應幅值的變化，圖8給出了前六階均方振速和均方聲壓峰值響應幅值隨腔深的變化圖。同時根據式(34)，可以得到耦合強度系數隨邊界背腔深度的變化，如圖9所示，結合圖7～圖9可以看出，隨著背腔深度的增加，耦合強度系數迅速減小，具體表現為耦合系統的響應峰值頻率隨背腔深度的增加迅速向高頻偏移，由于耦合作用迅速減小，由板傳遞到腔內的能量減少，均方聲壓峰值幅值逐漸降低，均方振速峰值幅值逐漸增加，當腔深進一步增大，系統的耦合強度系數不再變化，振聲響應峰值頻率和幅值也不再隨腔深的變化而變化。

圖7 不同背腔深度下的振聲響應

4 結 論

本文提出一種基于能量原理的強耦合腔系統響應計算方法，該方法利用Legendre多項式級數分別將聲場聲壓函數和結構位移函數展開，結合Rayleigh-Ritz法對能量原理下拉格朗日函數形式的耦合系統動力學方程進行了求解，得到聲場聲壓響應和結構振速響應。分析了彈性板邊界條件和背腔深度對振聲響應的影響，結果表明：

(1) 本方法能快速準確的預測強耦合腔的振聲響應，由于Legendre多項式L2內積滿足正交性，簡化了動力學方程中高重積分項的計算，大大提升了計算效率。

(2) 結構邊界由強約束過渡到弱約束時會導致峰值頻率向低頻偏移，邊界條件的變化對峰值幅值的影響不明顯。

(3) 隨著背腔深度的增大，耦合系統峰值頻率向高頻偏移，同時聲場均方聲壓峰值幅值降低，結構均方振速峰值幅值增加，由結構傳遞到聲場的能量減少。背腔深度進一步增大，耦合系統的振聲響應不再改變。

附錄A

(A.1)

(A.2)

(A.3)

(A.4)

(A.5)

式中：Tl(α)為切比雪夫多項式，其表達式為：Tl(α)=cos(larccosα)