分段非對稱隨機共振系統微弱信號檢測

賀利芳， 朱 偉， 張天騏

(重慶郵電大學 通信與信息工程學院，重慶 400065)

機械故障激發的振動信號是機械健康狀況的重要標志物[1-2]。然而信號中的故障特征往往被來自其他機械部件的強背景噪聲和運行環境所淹沒，使一些機械故障難以診斷。傳統的信號檢測方法通常選擇抑制和消除噪聲來提高輸出信噪比，或多或少的導致有用信號損壞或削弱，這嚴重影響了微弱故障檢測效果[3]。

Benzi等[4]在研究地球冰川氣候變化提出了隨機共振(stochastic resonance,SR)，作為一種特殊的物理現象，SR能夠將噪聲的能量轉化為微弱信號的能量，實現微弱信號的增強以及提取，從而引發了廣大學者的注意[5]。由于隨機共振的絕熱近似和線性響應理論在作近似假設時有著極強的限制條件，只有在低頻、小信號時才成立[6],對于軸承故障等大頻率信號，需將其轉化為小參數信號進行研究[7-8]。冷等提出二次采樣法及變尺度隨機共振并將其應用到大參數故障檢測中[9-12]。張剛等[13]提出基于 Hilbert的單邊帶調制技術并應用于工程中的大參數信號。Wang等[14-17]提出一種自適應邏輯隨機共振并在不同的環境下分析其實用性。Li等[18-19]提出分段對稱雙穩模型較于經典雙穩系統有更好的性能。Qiao等[20-21]表明非對稱系統通過調節非對稱因子能夠獲得比對稱系統更好的輸出特性。

針對上述研究，本文提出一種基于遺傳算法的分段非對稱雙穩系統，推導了Kramers逃逸率和輸出信噪比，并與對稱系統在數值和理論仿真上進行對比，最后將非對稱系統應用于軸承故障檢測。結果表明該系統能夠很好的檢測特征頻率信號且性能優于分段對稱系統。

1 分段非對稱隨機共振系統

隨機共振現象可描述為：在非線性系統中，布朗粒子經過周期力和隨機力的驅動，并且在噪聲適當的時候，周期運動得以加強。描述過阻尼條件下的這種現象的郎之萬方程寫成

(1)

式中：A,f0分別是周期勢的幅值和相位;ξ(t)是均值為0，自相關函數〈ξ(t)ξ(t′)〉=2Dδ(t-t′)的加性高斯白噪聲,其中D為噪聲強度。

1.1 分段非對稱系統模型

當無信號輸入，即周期勢幅值A=0與噪聲強度D=0時，系統的勢函數為

(2)

圖1 分段非對稱雙穩勢函數

根據概率密度函數ρ(x,t)的穩定等效描述，式(1)所對應的福克普朗克方程為

(3)

令式(3)左邊為0，對右邊進行積分解得

ρ(x)=Ne-φ(x)/D

(4)

式中：N為歸一化常數；φ(x)為廣義勢函數。

1.2 雙穩態系統方程及其求解

根據絕熱近似理論，式(1)中雙穩系統簡化為穩態點處的概率主導方程為

-R-(t)P-(t)+R+(t)P+(t)

(5)

假定初始時刻，粒子處在左勢阱，即:

(6)

解式(5)的微分方程組得

(7)

由式(7)可得概率分布函數

(8)

將式(8)中概率分布函數進行Fourier變換得

(9)

式中，|ρ(ω)|，φ(ω)分別是概率密度函數的振幅和頻率。

根據絕熱近似理論[22]，Kramers逃逸率可由式(10)給出。

(10)

將式(2)代入式(10)可求得

(11)

2 系統響應及其性能分析

2.1 周期驅動響應與信噪比

假定噪聲背景下包含著一個周期驅動力A0cosΩt，假定A0非常小，則雙穩系統的響應可表示為[23]

(12)

(13)

信號的功率譜可由自相關函數進行Fourier變換求得

(14)

將周期信號輸入系統之后，求得系統輸出功率譜為

δ(ω-ω0)]+SN(ω)

(15)

噪聲功率譜可由式(16)給出

(16)

結合式(15)、(16)可知，分段非對稱系統的輸出SNR為

(17)

將式(11)代入并略去式(17)中的高次項得

(18)

2.2 分段非對稱系統理論仿真分析

當非對稱因子r=1時可以得到文獻[19]分段對稱的輸出信噪比公式。圖2為外部噪聲與輸入信號一致時，令系統參數a=b=1，c=1.414，系統輸出SNR隨噪聲強度D的變化。如圖2所示，兩個系統的SNR均隨著噪聲的加大迅速增加到峰值，但隨著噪聲的繼續加大，系統SNR逐漸減少后趨于穩定，這一現象證實了隨機共振的產生。同時從圖中也可以看出，非對稱系統的SNR始終大于對稱系統，這表明分段非對稱系統隨機共振效應要比分段對稱系統更好。借助式(18)可以得到分段非對稱系統的性能，如圖3顯示了系統SNR隨噪聲強度D，參數a、b、r的變化趨勢。從圖3中可以看出，在a、b、r一定時，系統SNR均隨噪聲強度D先增后減，呈現非線性變化，說明隨著噪聲的引入，系統在適當的參數下發生了隨機共振現象。但隨著噪聲的增加，噪聲占主導地位，SNR隨之降低。圖4為噪聲強度固定為0.3時，信噪比隨非對稱因子r與系統參數a和b的變化趨勢。如圖4(a)中，固定r，信噪比隨a的增加先增后減，表明在其他參數一定時，存在最優的參數a使信噪比最大。圖4(b)中，固定參數b，可以看到，當系統非對稱即r≠1時，輸出SNR均大于對稱系統，這一現象在圖4(a)中也得到了體現。

圖2 分段對稱系統與分段非對稱系統SNR的比較

(a) SNR隨參數a與D的變化

(a) SNR隨參數a與r的變化

2.3 分段非線性性能指標

由于信噪比不固定，隨著輸入信號變化而變化，根據實際輸出信號的頻譜，定義了平均輸出信噪比增益MSNRI的計算公式[24]

(19)

式中，SNR分別為輸出和輸入信噪比，平均信噪比增益越大，系統對弱信號的檢測能力越強。其中輸入輸出SNR可通過快速傅里葉變換(FFT)計算x[n]的功率譜獲得

(20)

硬皮病以患者出現皮膚炎癥、變性、纖維化繼而硬化、萎縮等皮膚損害為標志性表現，能并發多器官功能障礙，屬于風濕免疫系統疾病中較為頑固兇險的一種。目前國內學者大多在祖國醫學“皮痹”的范疇對硬皮病的個別證型及治療做過初步探討，但未就硬皮病的中醫證治規律獨立進行系統性分析。筆者匯總并分析近年來關于硬皮病中醫治療方面的報道，試圖整理出硬皮病的中醫證治規律的初步思路。

3 數值仿真結果分析及自適應算法

3.1 公式驗證分析

對式(1)進行4階龍格庫塔[25]仿真，周期勢幅值和驅動頻率A=0.1,f0=0.01，噪聲強度D=2，采樣頻率fs=5，將r=1及r≠1情況進行分析對比，探究其共振現象。r=1即對稱情況下，令系統參數a=b=1，仿真結果如圖5。圖5(a)、(c)分別是輸入信號的時域和頻域圖，可以看到，輸入信號呈現一個雜亂無章的狀態，且噪聲干擾較大；圖5(b)、(d)分別是經過系統輸出后的信號時域和頻域圖，圖中可以看出，信號能量主要集中在低頻處，在圖5(d)中也能清楚識別0.01 Hz頻率。只改變非對稱因子r值而保留其他參數不變，輸入輸出波形如圖6所示。

(a) 輸入信號時域圖

(a) 輸入信號時域圖

(c) 輸出信號時域圖

相較于對稱系統，非對稱系統對信號還原效果更好，且其噪聲能量更小，峰值也有很大的提升。圖7為非對稱因子r=1.679 2，其他參數不變，對稱模型與非對稱模型的MSNRI對比，此處n為200，由圖可以看出，隨著噪聲強度的增加，兩個系統的MSNRI均呈現先減后增的趨勢證明兩個系統均發生了隨機共振現象，但是同樣可以看出，非對稱模型的MSNRI一直位于對稱模型的上方，這一現象再次證實2.1節的結論，并且可以觀察到，在噪聲強度較大時，非對稱模型MSNRI處于穩定狀態，說明非對稱模型同樣適用于強噪聲背景下的信號檢測。

圖7 不同系統MSNRI對比圖

3.2 自適應智能算法

常見的自適應算法很多，灰狼算法，貓群算法，粒子魚群算法及網格搜索法等，但其相關文獻較少，研究尚淺，而傳統網格搜索法存在容易陷入局部最優及搜索時間長等缺陷。基于此，本文采取較多文獻采用的遺傳算法(genetic algorithm,GA)[26]，由于本文所提出的系統包含a,b,r三個參數，設定遺傳算法“維度”為3，算法具體流程如下：

(1) 信號預處理。將采集到的特征信號進行Hilbert變換處理得到包絡譜，利用高通濾波器濾除低頻信號，并通過二次采樣使輸入信號滿足絕熱近似條件。

(2) 初始化。初始化a,b,r，并給定搜索步長以及迭代范圍。

(3) 計算適應度函數。將輸出信噪比SNRout作為適應度函數，找到最適應環境的那組參數并判斷是否超出尋優范圍，若超出，輸出最佳個體及其代表的最優解，并結束計算，否則轉向步驟(4)。

(4) 選擇、交叉、變異。依據適應度選擇再生個體，按照一定的交叉概率和交叉方法以及一定的變異概率和變異方法，生成新的個體并返回步驟(3)。

4 滾動軸承故障特征的提取

由于材料問題，人工操作不當及異物侵入等原因都可能導致滾動軸承的故障，并且即使使用和維護都正常，但由于長時間的加工負載運行后，軸承也會出現磨損、剝落等情況[27]。為驗證分段非線性系統在軸承故障信號檢測的實用性，將系統應用于軸承故障檢測。

4.1 LDK UER204 滾動軸承檢測

表1 LDK UER204軸承主要參數

由文獻[28]可知，其外圈故障特征頻率fOUT為107.91 Hz。在采集到的故障信號中加入噪聲強度D=0.3的高斯白噪聲，使信號完全淹沒在噪聲中。原始數據時域信號，帶噪信號圖及其頻譜圖如圖8(a)所示。從圖中很難識別特征信號，從頻譜圖中也無法辨識故障頻率。將信號進行希爾比特變換后分別輸入到上述對稱系統及本文所提分段非對稱系統，用智能算法尋優后進行隨機共振得到圖8(b)，圖8(c)。從圖中可以看出，對稱系統能夠識別故障頻率fOUT，且其信噪比較于含噪信號提高了19 dB。但其幅度值僅為11.67，且易觀察到其特征頻率周圍依然存在許多干擾，噪聲去除并不明顯。這一現象在非對稱系統中得到了明顯的改善，幅值提升為97.67，并且信噪比也相應的提升了31 dB，對噪聲抑制也極為明顯，證明了非對稱系統在實際工程應用的實用性。

(a) 輸入信號

4.2 西儲大學軸承故障檢測

采用美國西儲大學(Case Western Reserve University)電氣工程實驗室的軸承故障數據[29]。首先，采用二次采樣法對故障信號預處理，以滿足絕熱近似理論[30-31]。其次，將原始故障信號輸入系統后，用遺傳算法進行參數尋優，得到最優參數對進行隨機共振。

選取fs=12 kHz作為采樣頻率，采樣點數N=104，其中采樣壓縮比為2 400，文章僅選取滾動軸承數據的內外圈信號進行分析。

表2為型號為6205-2RS JEM SKF的深溝球軸承主要參數。

表2 滾動軸承主要結構參數

軸承內圈故障特征頻率可由式(21)給出

(21)

式中：n為滾動體數量;fr為軸承轉動頻率;α為接觸角;d,D分別是內圈直徑和軸承節直徑。將表2中數據代入式(21)，可知內圈特征頻率fBPFI=157.94 Hz，外圈特征頻率fBPFO=104.57 Hz。

4.2.1 內圈故障實例

同樣地，在內圈故障信號中人為加入噪聲強度為0.3的高斯白噪聲。圖9(a)給出了軸承內圈的原始信號圖、含噪信號時域圖及其頻譜圖。從圖中可以看出，噪聲對原始信號干擾極大，從時域圖中幾乎很難識別出原始信號波形，含噪信號頻譜中也無法識別出故障頻率fBPFI=157.94 Hz，且可以看出，在高頻段存在許多尖峰干擾。將大頻率內圈包絡信號進行二次采樣后輸入上述對稱系統，利用自適應智能算法進行參數尋優，再通過分段對稱系統進行隨機共振，得到輸出信號時域及頻域圖形如圖9(b)所示，由圖可示，故障頻率可清晰觀察到，信噪比也有21 dB的提升，但其周圍噪聲干擾還是較大。圖9(c)為經過分段非對稱系統后的時域和頻域波形，經過自適應算法得到系統參數分別為a=1.058 51,b=1.111 83,非對稱因子r=1.493 52,頻率相較于周圍噪聲突出明顯，且其幅度較于對稱系統有很大提高，信噪比相比于對稱系統也增加了近8 dB，證明了非對稱系統的優越性。

(a) 輸入信號

4.2.2 外圈故障實例

在外圈故障信號中也加入噪聲強度為0.3的白噪聲，圖10(a)從上至下分別為外圈原始信號圖，含噪時域圖和頻域圖。同外圈故障信號，噪聲對其波形干擾極大，從時域圖中很難識別其波形，帶噪信號頻域圖中也無法識別外圈故障頻率fBPFO=104.57 Hz，且噪聲能量集中在高頻部分。

圖10(b)為將外圈故障信號二次采樣后，輸入上述對稱系統，經智能算法尋優后進行隨機共振得到的結果。從圖中可以看出，外圈信號波形得到了一定的恢復，且外圈故障頻率fBPFO=104.57 Hz處明顯的出現了一個沖擊，信噪比相較于帶噪信號也有19 dB的提升，說明對稱系統能夠應用于外圈故障檢測。將外圈故障信號送入分段非對稱系統，得到圖10(c),此時最佳系統參數為a=1.102 51,b=1.105 63,非對稱因子r=1.521 52，在特征頻率處有一個峰值，對比于對稱系統，峰值增加為其6倍，信噪比也相應的提高了接近12 dB。檢測結果表明，分段非對稱系統的輸出性能顯著優于分段對稱系統，且該方法適用于軸承故障檢測。

(a) 輸入信號

4.3 討論與分析

基于上述分析，表3列舉了使用對稱與非對稱系統檢測不同組的故障軸承數據的信噪比。對比表中結果可知，非對稱系統輸出信噪比明顯優于對稱系統，且其信噪比較于含噪的軸承信號有幾十dB的提升。這同樣可以證明，在實際軸承應用中，非對稱系統能夠更好的檢測微弱信號。

表3 不同SR系統處理軸承故障信號時的輸出信噪比

5 結 論

本文提出了一個新的分段非對稱雙穩勢函數，與以往阱寬對稱系統不同，在分段系統中加入了一個非對稱因子，在其他參數不變情況下，通過調節非對稱因子，可以改變勢阱寬度。論文首先通過絕熱近似理論推導了Kramers逃逸率，在兩態理論下推導了輸出信噪比,并分析了非對稱因子對輸出信噪比的影響。然后將系統參數與噪聲強度共同對輸出信噪比的影響進行了仿真分析。最后針對分段對稱及非對稱系統模型，進行了數值仿真并應用于軸承故障檢測進行性能分析。對稱系統內外圈故障檢測中故障處的幅值分別是80.13和450.9，而非對稱系統的內外圈故障頻率出幅值分別是227.1和2 685。結果表明，在理論和實際應用中，非對稱模型都表現出了良好的特性，與公式相符，證實了非對稱系統模型的優越性。該系統能夠實現軸承內外圈故障檢測，為軸承早期故障檢測提供了一種新思路。

本文所提的分段非對稱系統為雙穩系統而并未在多穩態條件下進行研究，同時存在許多不足，如采用的智能算法可能存在因尋優步長不當而漏掉最優參數，以及并未與其他非對稱系統作比較。因此，針對以上不足，將在后續工作中作進一步的研究。