半球諧振子固有剛性軸方位角測量方法與仿真研究

朱蓓蓓， 楚建寧， 秦 琳， 王宜新， 陳 肖， 汪學方， 許劍鋒

(1.上海航天控制技術研究所,上海 201109；2.華中科技大學 機械科學與工程學院,武漢 430074)

半球諧振陀螺是一種利用固體振動駐波的進動效應進行角速度測量的新型振動陀螺，它具有結構簡單、可靠性好、抗沖擊能力強、啟動時間短、精度高、使用壽命長等眾多優點，是目前高精度、小體積、長壽命陀螺的研究熱點。其沒有耗損部件、結構簡單且具有較高的導航精度，決定了其在航空、航天、戰略武器等領域具有獨特優勢，特別是在衛星、空間站、太空望遠鏡、月球探測等需要長時間穩定可靠運行的使用環境中，具有廣闊的應用前景[1-5]。

半球諧振子是半球諧振陀螺的核心部件，在實際加工過程中產生的幾何誤差以及材料的各項異性，會導致半球諧振子在工作模態產生頻率裂解[6]，將嚴重降低半球諧振陀螺性能指標，導致陀螺漂移，影響陀螺精度。頻率裂解會使半球諧振子的二階彎曲振型出現兩個互相呈45°夾角的固有軸系，兩固有軸系對應的二階彎曲模態諧振頻率分別達到極小值和極大值,其相對應的固有軸分別被稱為低頻軸(重軸)和高頻軸(輕軸)[7-8]。研究表明若保證主駐波一直在諧振子的剛性軸位置，可有效降低頻率裂解對諧振子振型的影響，能有效抑制諧振陀螺的漂移[9-10]，因此確定諧振子固有剛性軸方位對提高諧振陀螺制造精度具有重大意義。

目前有不少專家學者對諧振子頻率裂解修調和固有剛性軸定位進行了理論分析，但對于諧振子固有剛性軸方位角的測量方法的研究較少。在林振等對質量不平衡對稱殼體諧振子的頻差消除研究[11]中采用壓電片激勵，使用一對相距180°的壓電片以諧振頻率激勵，使用激光多普勒測振儀測量四個波腹位置的振幅，通過調整激勵位置，使四個波腹位置的振幅值在同一水平，利用此方法確定四點調平法去除質量缺陷的位置(重軸對應位置)，但此方法需要在諧振子上粘貼壓電片，會影響諧振子振型，降低固有軸定位精度；俄羅斯馬特維耶夫提出了基于幅頻特性和相頻特性曲線的固有剛性軸和頻率裂解的確定方法，采用激勵電極和檢測電極粘貼在諧振子上進行激勵和檢測振動信號，其裝置成本高且算法復雜；李紹良等提出一種基于幅頻響應特性的諧振陀螺頻率裂解和固有剛度軸方位角測定方法，其采用壓電激振臺在諧振子頻率附近進行掃頻，利用多普勒激光測振儀繪制幅頻響應曲線，最終利用擬合方程解算出固有剛性軸方位角；李巍等提出采用固定位置安裝兩組激勵電極以及兩組位移傳感器對頻率裂解以及固有剛性軸位置進行測定[12]，其提出的方案大大簡化了利用靜電激勵的測試方案，但沒有給出具體的測試過程和結果。以上測量方法大多采用壓電與靜電激勵，操作復雜且成本相對較高，貼片壓電激勵方式還會對諧振子振動性能有一定的影響[13]。

本文根據俄羅斯馬特維耶夫提出的半球諧振子位置激勵模型，基于二自由度彈簧-質量系統振動模型，推導了諧振子唇緣位置的振動方程，通過有限元仿真模擬固有剛性軸測定過程，繪制具有質量缺陷的半球諧振子的幅頻特性曲線；基于幅頻響應特性設計了測量半球諧振子固有剛性軸的試驗，采用非接觸的聲激勵方式進行連續掃頻激勵，使用激光多普勒測振儀提取諧振子唇緣振動信號，結合幅頻曲線特性和駐波波節點的振幅的變化規律，解算得出諧振子固有剛性軸方位角。本文采用的激勵方法避免了與諧振子的直接接觸，對數據的處理也相對簡單，對已有測量方法的不足給予了很好的補充。

1 半球諧振子固有剛性軸測量理論分析

1.1 半球諧振子二階模態數學模型

理想半球諧振子球殼上四波腹振動(二階彎曲振動)模態應僅有一種頻率，在球殼周向任意圓周角處激勵諧振子都能得到穩定的二階彎曲駐波振動。但在實際加工過程中，由于材料各向異性及加工幾何誤差導致諧振子圓周方向出現兩個相互呈45°角的固有軸系，使得沿這兩軸系的四波腹振動模態的振動具有不同的諧振頻率。本文將半球諧振子二階彎曲振動模型簡化為二自由度彈簧質量系統，如圖1所示，通過對該系統進行數學建模分析，為固有軸測量方法建立理論基礎。在諧振子動力學方程中，沿兩固有軸系方向的四波腹振動的方程是按圓周角和相位正交的，因此無角速度輸入的半球諧振子激勵模態與敏感模態的振動可等效為二自由度系統坐標軸處的受迫振動。

圖1 二自由度彈簧-質量系統

假設此系統固有頻率ω1≠ω2，激勵位置與固有剛性軸之間的夾角為φ0，則此振動系統的受迫振動方程為

(1)

式中：λ為激勵頻率；p(t),q(t)分別為該系統沿坐標軸方向的振動方程，即等效的諧振子兩固有剛性軸系對應二階振型的振動方程，其諧振頻率分別為ω1，ω2。

函數p(t)和q(t)的穩態解形式為

p(t)=|A|sin(λt-θ1)

q(t)=|B|sin(λt-θ2)

(2)

將式(2)代入式(1)可求出A，B，θ1和θ2在初始條件p(0)=0，q(0)=0情況下為

(3)

因此諧振子半球唇緣徑向振動位移的表達式可以簡化為下列公式

R(φ,t)=|A|sinλtcos 2φ+|B|sinλtsin 2φ

(4)

半球殼體諧振子，在四波腹振型(n=2)的振動中，φ為固有軸方位與激勵位置之間的夾角，當激勵固定于某一位置時(即φ=φ0)，采用掃頻激勵，此時唇緣的徑向振動位移可簡化表示為：

R(λ,t)=|A|sinλtcos 2φ0+|B|sinλtsin 2φ0

(5)

利用式(5)，通過數值仿真的方法繪制幅頻響應曲線，通過設置頻率范圍為3 050～3 060 Hz，頻率變化設置為時間的函數即λ=2π(kt+3 050)，令k=0.001(Hz/s)、F0=1、ω1=6 108π(rad/s)、ω2=6 112π(rad/s)，將損耗因子設置為定值ζ=0.1 ，可通過MATLAB數值仿真改變角φ0得到不同角度位置的振動信號仿真，圖2所示為φ0=20°、45°時的振動信號仿真圖，與上述推理結果吻合。

(a) φ0=20°

1.2 固有剛性軸測量方法分析

以上通過簡化模型分析了諧振子沿兩固有軸系的四波腹振動，如圖3(a)所示為固有軸系與坐標軸重合的情況，p(t)、q(t)分別為兩固有軸系處對應二階模態的振動函數，兩固有軸系四波腹振動的諧振頻率分別達到極大與極小值，兩諧振頻率之差即為頻率裂解。由以上理論模型可知，當激勵位置與固有剛性軸不重合時，若采用掃頻方式進行激勵，則兩固有剛性軸方向的振型將在對應頻率下被不同程度激勵起，如圖3(b)所示。通過對唇緣沿圓周不同位置的徑向振動信號進行分析，即可實現對諧振子固有剛性軸位置的測定。

(a) 剛性軸與坐標軸重合 (b) 剛性軸與激勵位置不重合

當激勵軸線很靠近某一固有剛性軸時，另一剛性軸處被激勵起的振型越來越微弱，以至于不能從其幅頻曲線中觀察到兩個峰值。因此，為了提高測量精度，可在使用掃頻方法粗略確定固有剛性軸方位角的基礎上，通過在固有軸位置附近使用該固有軸自然頻率的正弦信號進行激勵，檢測與激勵位置圓周相距45°位置波節點的振幅。由于激勵位置不斷逼近固有剛性軸方位時，其波節點的振幅將不斷減小，因此可通過此方法進一步精確測定固有軸方位角。

1.3 固有剛性軸測量試驗設計

本試驗將采用揚聲器在水平方向上對諧振子進行連續掃頻激勵，使用激光多普勒測振儀對諧振子半球殼唇緣的徑向振動信號進行實時采集。按照圖4所示的測量原理圖，搭建半球諧振子固有剛性軸檢測平臺，檢測平臺及設備如圖5所示。試驗中通過信號發生器設置激勵參數，通過功率放大器將信號發生器產生的正弦激勵信號放大，使揚聲器產生同頻率的聲波信號，激勵金屬諧振子振動，使用激光多普勒測振儀檢測諧振子半球殼唇緣的徑向振動。

(a) 波腹點測量

圖5 測量平臺及裝置實物圖

具體試驗將按以下步驟進行：

步驟1通過仿真已經粗略確定了諧振子的工作頻率，通過設置頻帶較寬的掃頻信號，觀察其幅頻曲線，調節參數確定一個合適的頻帶和時間參數。

步驟2按圖4(a)中裝置位置示意圖調整平臺，轉動轉臺選擇一初始刻度對齊并記為初始0°，沿順時針方向在0°～90°范圍內每次轉動轉臺5°進行一次測量。

步驟3通過步驟2的測量得到的幅頻曲線特性確定兩個固有剛性軸系所在角度范圍，按圖4(b)裝置位置示意圖調整測量平臺，采用正弦信號在該角度范圍內以恒定頻率進行激勵，每次轉動轉臺1°進行測量。

2 試驗結果與分析

2.1 固有軸測量的有限元仿真

根據測量試驗的設計，利用有限元諧響應仿真模擬水平方向的掃頻激勵過程。通過添加集中質量構建質量分布不均缺陷，使有限元模型產生兩個方位確定的固有剛性軸系，在固有剛性軸附近模擬水平方向的掃頻激勵過程，提取諧振子唇緣不同角度位置的幅頻響應。使用有限元軟件進行無阻尼諧響應仿真的主要步驟為：

(1) 建模：在 ansys自帶的三維建模模塊spaceclaim 中建立金屬半球諧振子三維模型，并設置材料性質和幾何性質。本文先建立了半球諧振子模型，沿半球唇緣均勻分割出72個0.5 mm×0.5 mm的載荷作用區，在模型半球唇緣某對稱位置處添加集中質量如圖6(a)中A，B所示位置，集中質量所在方位即為某一固有剛性軸(重軸)。仿真模型材料參數設置如表1所示。

(a) 添加質量和載荷示意圖

表1 諧振子模型幾何及材料主要參數

(2) 施加約束并進行模態分析：在諧振子支撐柱兩端進行位置約束，分別對模型添加缺陷質量前后根據需要求解各階模態頻率，添加缺陷質量前后四波腹模態諧振頻率如表2所示。

表2 四波腹模態諧振頻率

(3) 施加載荷：在一對對稱位置上施加大小、頻率和相位分別相同的動態載荷，載荷垂直作用于諧振子外球面上如圖6(a)所示。

(4) 設置頻率范圍并求解諧響應結果：根據模態分析所得到的四波腹振動的諧振頻率，設置諧響應的求解頻率范圍和子步數以確定施加載荷的頻率序列。求解后根據需要提取半球唇緣載荷施加位置的諧響應幅頻曲線結果。

諧響應仿真設置的主要參數如表3所示。

表3 諧響應分析主要參數設置

在對稱位置添加缺陷質量后，諧振子四波腹振動模態將出現兩個明顯不同頻率的諧振頻率，諧振子沿缺陷質量添加方位的諧振頻率略低，此方位為諧振子低頻軸(也稱為重軸)，與此剛性軸呈45°方向存在另一固有剛性軸為高頻軸(也稱為輕軸)，其方位示意圖如圖6(b)所示，在任意90°范圍內都可看到兩個剛性軸，因此我們選擇任一0°～90°范圍進行諧響應仿真。選定初始0°位置后，我們將質量對添加在與初始0°夾角呈30°的一對稱位置上，按照表3的設置，分別在0°～90°之間均布的18個對稱位置上分別加載進行諧響應仿真求解，提取加載位置的頻響曲線，在固有剛性軸30°和75°附近的頻響曲線如圖7所示。

(a) 25°位置

由圖7可看出，幅頻曲線在固有剛性軸位置僅有一個極大峰值，而在其他位置則出現兩個不同頻率的極大峰值，這與理論分析的結果相一致，進一步驗證了通過掃頻激勵繪制幅頻響應曲線的方法確定固有剛性軸方位角的正確性。

2.2 測量試驗結果分析

本次試驗中，由有限元仿真確定金屬諧振子二階諧振頻率在2 905 Hz左右，調參得到的激勵頻帶為3 050～3 060 Hz，掃頻時間為50 s。步驟2的試驗參數設置如表4所示。

表4 試驗參數及采樣參數設置

在0°～90°范圍旋轉諧振子底座測得對應的幅頻曲線。圖8所示為激光多普勒測振儀測得的實時信號圖，在20°的位置和靠近固有主軸的30°位置測得的振動信號，從圖8(b)中可以看出，當激勵在相對靠近低頻軸的位置時，高頻軸位置對應振型只能產生較為微弱的響應，以至于辨識不出高頻軸處的振動。0°～90°的幅頻曲線如圖9所示，幅頻曲線反映了兩剛性軸位置對應模態振型振幅峰值隨激勵位置的變化，其振幅峰值記錄在表5中，振幅峰值隨角度呈現類似正弦變化的規律。由于在30°、35°和75°、80°處的曲線中只能觀察到一個峰值，因此可判斷固有剛性軸在30°、35°和75°、80°之間。

(a) 旋轉20°測得

圖9 幅頻曲線

表5 不同位置兩軸系對應模態振型的峰值

為進一步確定固有剛性軸的具體方位，在步驟2結果的基礎上采用30°和75°位置對應的諧振頻率分別作為激勵頻率進行步驟3波節點振幅的測量。旋轉諧振子底座使激勵相對地在30°～35°范圍內以1°步進角進行旋轉，測量諧振子唇緣處與激勵方位呈45°角的波節點位置的振幅，測量結果如表6和圖10(a)所示。為了更加清晰地表示振幅隨激勵位置的變化關系，這里采用Min-max標準化方法將振幅映射至[0,1]區間，進而繪制出折線圖。從圖10(a)曲線圖可以明顯看出激勵在33°位置時，波節點的振幅最小，因此可確定固有軸位置即此時的激勵位置，同樣的由表7和圖10(b)可得到另一固有軸方位在76°位置。

表6 波節點振幅

表7 波節點振幅

(a) 激勵位置在30°～35°

綜上所述，通過連續掃頻激勵和穩定頻率的正弦激勵相結合，利用激光測振儀繪制諧振子幅頻特性曲線和檢測振幅的方法，最終在確定初始0°的情況下，測得兩個不同頻率的四波腹振型對應的固有剛性軸的位置分別在33°和76°的位置，基于旋轉臺的最小步進角，此測量試驗的角度分辨率優于1°，試驗測得的兩固有軸夾角為43°，與理論上兩剛度主軸之間的夾角45°相差約2°，其辨識相對誤差約為4.4%，在可接受范圍內。

2.3 結果與討論

諧響應仿真中，已知固有剛性性軸位置，模擬了在不同激勵位置掃頻繪制頻響曲線的過程，得到的頻響曲線沿固有軸變化的規律與理論分析相符。在固有軸測量試驗中，測量結果中諧振子激勵位置的幅頻曲線沿固有剛性軸的變化趨勢與仿真結果具有一致性，由于仿真較為理想且忽略了阻尼，因此仿真曲線更為銳利，變化比較明顯，而實際測量試驗在5°范圍內已不能從幅頻曲線中辨識到兩個諧振峰。因此試驗中粗略確定固有軸位置后，在固有軸位置附近通過正弦激勵信號激勵其四波腹振型，并檢測振型波節點振幅隨激勵位置的變化，有效提高了檢測精度。該測量平臺相對簡單，后續可通過改善夾持裝置和其他調節裝置提高裝置定位精度，通過更小的旋轉角度提高測量分辨率及提高激勵振幅等方式，進一步提高固有剛性軸的測定精度。

3 結 論

本文結合了諧振子波腹點幅頻響應曲線和波節點振幅的測量，搭建了固有剛性軸的測量平臺，采用非接觸的聲激勵方式和激光多普勒測振儀采集實時振動信號，進行了諧振子固有剛性軸的測定。主要結論如下：

(1) 基于殼體二階彎曲振動模型，在無角速度情況下，以二自由度彈簧質量系統受迫振動理論為基礎分析了半球諧振子兩剛性軸位置的四波腹振動在水平激勵下的振動特性；

(2) 建立了具有質量缺陷的半球諧振子三維模型，利用有限元諧響應仿真分析模塊模擬了通過幅頻曲線確定固有剛性軸位置的過程，結果與理論分析相符；

(3) 設計了固有剛性軸的測量方案，根據方案搭建了基于聲激勵的檢測平臺，對金屬銅半球諧振子進行了固有剛性軸的測定試驗。試驗結果表明測量誤差約為4.4%，試驗與仿真結果具有一致性，驗證了測量方法的有效性。