梳齒傾斜角對多自由度微陀螺動態性能的影響

張昆鵬， 郝淑英， 宋宇昊， 張琪昌， 馮晶晶

(1. 天津市先進機電系統設計與控制重點實驗室， 天津 300384； 2. 機電工程國家級實驗教學示范中心， 天津 300384；3. 天津理工大學 機械工程學院， 天津 300384； 4. 天津市非線性動力學與控制重點實驗室， 天津 300072；5. 天津大學 力學系， 天津 300072)

1988年，美國德雷伯試驗室研制出了世界上第一款微機械陀螺——雙框架式微機械陀螺儀[1]，由此拉開了微陀螺的設計序幕。近年來，眾多相關研究表明，微陀螺系統存在明顯的非線性行為，其中剛度非線性和靜電力非線性在微陀螺系統中最為常見。這些非線性因素將導致系統響應出現明顯的頻率偏移、多穩態解、剛度的軟硬化特征以及軟硬特性過渡[2-3]，發生分岔甚至混沌等振蕩不穩定現象，對微陀螺的靈敏度、帶寬和穩定性造成極大影響。由于微陀螺是由深反應離子刻蝕技術(deep reactive ion etching， DRIE)加工而成的一類MEMS慣性器件[4]，與理想結構相比，難以避免地存在著刻蝕誤差，導致梳齒之間往往不相互平行[5]，并且支承微梁亦會出現過度刻蝕現象[6]，嚴重影響微陀螺的檢測性能。因此，準確建立其理論計算模型，深入研究加工誤差對微陀螺性能的影響規律，對提高微陀螺的整體性能顯得尤為重要。

董林璽等[7-8]分析了三種電容驅動下，梳齒電容式傳感器梳齒極板間的不平行對傳感器的可靠工作范圍及階躍加速度信號作用下對可靠工作條件的影響。結果表明，傾斜角的變化會減小可靠工作的范圍和降低傳感器能夠承受的臨界階躍加速度值。Guo等[9]在考慮了體加工過程和邊緣效應的前提下，采用積分法和保角變換理論建立了梳狀驅動器不平行板電容的理論模型，并通過有限元仿真和試驗驗證了理論模型的正確性。對帶有傾斜梳齒MEMS電容式加速度傳感器，董林璽等[10]分析了傾斜角影響自我標定精度的原因以及提出了開環自我標定時減小傾斜角誤差的方法。Zhong等[11]通過控制微諧振器梳齒傾斜角以升高、降低或自平衡諧振頻率，通過最大Lyapunov指數分析亦表明傾斜梳齒可以幫助增強微諧振器的運動穩定性，并避免吸合效應的發生。郝淑英等[12]研究了梳齒間距工藝誤差對微諧振器動力學性能的影響。結果顯示，梳齒偏移對驅動方向的影響很小，但梳齒垂直方向上受到了靜電力的作用從而產生了微小變形；同時，梳齒偏移將使系統的吸合電壓降低，但對微諧振器的模態沒有任何影響。郝淑英等[13]研究了加工誤差導致的微梁過度刻蝕對單自由度微陀螺動態性能的影響。結果表明，微梁剛度和微陀螺固有頻率隨著刻蝕角度的增大而增大，帶寬隨過度刻蝕夾角增大而減小，靈敏度隨過度刻蝕夾角的變化而發生不規律變化。Yan等[14]對橫截面呈梯形的高寬比電容式圓盤諧振器進行了研究，分析了由于靜電力產生的靜電剛度對諧振器的靜電調諧機理，得到了諧振頻率變化對傾角和直流偏壓的依賴關系，以及傾斜角對機電耦合強度的影響，發現最佳調諧電壓隨傾角的增大而增加。上述研究主要集中在由于刻蝕加工導致的微梁、微梳齒誤差對電容式傳感器和微諧振器等動力學性能的影響。

由于微陀螺也是應用DRIE技術加工出來的MEMS器件，必然存在如梳齒不平行等常見的加工誤差，嚴重影響微陀螺的靜電驅動力以及靜電彈簧剛度。為了消除或控制該類加工誤差對微陀螺性能的影響，在動力學分析模型中應考慮非理想加工情況，建立更加貼近實際的分析模型，并對其影響機理進行研究，方能保證微陀螺設計的有效性，但目前對相關問題的研究還鮮有報道。

本文以一類雙驅動雙檢測四自由度微陀螺為研究對象，建立了包含加工誤差影響的非線性動力學分析模型，采用多尺度法對系統非線性動力學方程進行攝動求解，研究了梳齒傾斜角度類的加工誤差與靜電力非線性軟特性之間相互作用的規律，以及對微陀螺固有頻率、靈敏度和帶寬的影響機理。

1 雙驅動雙檢測微陀螺工作原理

考慮一類典型的雙驅動雙檢測四自由度微機械陀螺儀[15]，其結構如圖1所示，此類微陀螺主要由驅動質量、解耦質量、轉換質量、檢測質量、彈性微梁以及梳齒電極等組成。圖1中，x方向為驅動方向，y方向為檢測方向，Ωz為垂直于x-y平面的輸入角速度，解耦質量mf和轉換質量m2形成雙級解耦結構，起到隔離驅動模塊和檢測模塊的作用。

圖1 雙驅動雙檢測微陀螺結構示意圖

四自由度微陀螺動力學模型如圖2所示，其中驅動質量塊m1為驅動一、轉換質量塊m2與解耦質量塊mf組合為驅動二、轉換質量塊m2為檢測一、檢測質量塊m3為檢測二。

圖2 四自由度微陀螺動力學模型

微陀螺工作時，驅動質量m1在梳齒驅動電極的作用下沿x方向振動，解耦質量mf由于梁k2的作用開始沿x方向振動；同時，轉換質量m2在梁k4的作用下隨解耦質量一起沿x方向振動。當系統在x-y平面垂直方向有角速度Ωz輸入時，由于科氏效應，x方向的振動引起y方向的諧振，轉換質量m2與檢測質量m3在梁k4、k5和k6的約束下沿y方向振動。檢測質量m3在y方向的位移即為微陀螺的檢測輸出位移，其隨著角速度Ωz的增大而增大。由于結構諧振時檢測輸出幅值與輸入角速度Ωz成正比，通過測量輸出幅值即可測得載體的輸入角速度Ωz。

考慮到此類微陀螺的工作環境為真空封裝環境，空氣阻尼相對較小，阻尼的非線性因素可以忽略，即假設系統中驅動和檢測方向均為線性阻尼。由圖2分別建立微陀螺系統驅動和檢測方向的動力學方程，如式(1)、(2)所示。

驅動方向：

(1)

檢測方向：

(2)

由于加工后的微陀螺梳齒之間通常是不完全平行的，將會產生如圖3和圖4的梳齒傾斜角。在具有較高寬深比的微陀螺梳齒結構中，這種不平行梳齒結構更加突出，對微陀螺的靜電驅動力、帶寬以及靈敏度產生較大影響。圖3為不平行梳齒截面的電子顯微鏡圖，圖4為傾斜梳齒截面示意圖，其中θ為由于刻蝕誤差產生的梳齒傾斜角。

圖3 不平行梳齒截面的電子顯微鏡圖

圖4 傾斜梳齒截面示意圖

根據圖4的梳齒傾斜角度及圖5的梳齒結構，考慮邊緣效應時變面積式電容的總靜電力Fd的表達式如式(3)所示

4P2VdVacosω0t

(3)

圖5 梳齒結構示意圖

式(3)在x=0處進行四階泰勒展開，得到：

O(x5)

(4)

其中，P1=nε0εrwh/2，P2=(nε0εr/π){1+ln[1+2πh/d+ln(1+2πh/d)]}，P3=hnε0εr，n為梳齒個數，ε0為空氣的介電常數，εr為相對介電常數，Vd為直流偏置電壓，Va為交流激勵電壓，ω0為靜電驅動頻率。

2 非線性攝動分析

靜電力非線性引起的剛度軟化特性會導致系統嚴重失穩并對靈敏度和帶寬造成不良影響，所以分析和研究微陀螺動態性能時需要考慮驅動梳齒間存在的靜電力非線性。

將式(4)代入式(1)中，并進行簡化得

(5)

其中，

α1=k1+k2/m1,α2=k2/m1,

α3=c1+c2/m1,α4=c2/m1,

β1=k2/m2+mf,β2=k2+k3/m2+mf,

β3=c2/m2+mf,β4=c2+c3/m2+mf，

γ1=P1/m1，γ2=P2/m1，γ3=P3/m1。

式(5)可看作含阻尼的Duffing系統在簡諧激勵下的受迫振動。

由不產生永年項的可解性條件，可得到振幅和相位的平均方程

(6)

其中，φ=θ2-θ1，

為同時得到驅動靜電力非線性條件下的檢測輸出響應，需對檢測方向動力學方程進行求解。驅動二的位移x2的近似解為a2cos(ω0t-θ2)，因此科氏力可表示為2m2Ωza2ω0sin(ω0t-θ2)，令fc為科氏力的幅值，則fc=2m2Ωza2ω0，顯然科氏力的幅值與驅動一的激勵頻率和驅動二的振幅有關。為了確定系統的穩態響應，采用復指數法進行求解，式(7)中b1,b2即為檢測方向的穩態響應振幅。

3 梳齒傾斜角對微陀螺動態性能的影響

本節將具體分析梳齒傾斜角度θ對微陀螺動態性能的影響。微陀螺各物理參數的取值如表1所示。

表1 微陀螺結構參數值

(7)

3.1 線性條件下的動態響應

圖6為Vd=40 V,Va=20 V且激勵頻率等于驅動一固有頻率時，梳齒間距與驅動一響應幅值的關系曲線。由圖6可知，當激勵頻率等于驅動一固有頻率時，隨著梳齒間距g0的增大，驅動一的振幅迅速升高，到達峰值后略有下降，之后逐漸趨于穩定狀態，即系統的振幅不再受梳齒間距的影響。本文將驅動一達到最大振幅時所對應的梳齒間距值定義為臨界間距。當g0小于臨界間距時，系統出現靜電力軟化特性，一階固有頻率向左漂移，導致系統在原設計固有頻率處響應的幅值大幅降低，且非線性軟化特性的影響隨g0的減小而不斷增加；當g0大于臨界間距時，驅動一的幅值不再受梳齒間距的影響。

圖6 梳齒間距與驅動一振幅的關系

圖7為不同直流偏置電壓下的梳齒間距與靜電力的關系曲線，可以發現：當Vd=40 V，g0≥15 μm時，靜電力Fd隨g0的變化并不明顯，近似趨于一個恒定值。圖8為Vd=40 V，g0=15 μm時梳齒結構電場分布，此時梳齒之間無邊緣效應的影響。比較圖6，7和圖8可知，當g0大于臨界間距時，系統的靜電力非線性因素可忽略，微陀螺為線性系統。

圖7 梳齒間距與靜電力的關系

圖8 梳齒結構的電場分布圖

為揭示微陀螺在線性系統內工作時，梳齒傾斜角對其動態性能的影響規律。選擇g0=15 μm,Vd=40 V,Va=20 V作為研究的工況參數，此時靜電力為線性狀態。

圖9給出了驅動一在不同梳齒傾斜角下的幅頻響應曲線。圖9(a)首先通過數值仿真驗證了近似解析解的準確性；由圖可知，當微陀螺靜電梳齒傾斜角θ=0.15°時，驅動一的第一共振峰值大幅下降、第二共振峰值大幅增加，且系統的共振頻率出現向右偏移現象，沒有出現非線性情況。若增加梳齒傾斜角θ=0.5°，幅頻響應曲線與θ=0.15°時相近，此時共振頻率偏移較不明顯，第一共振峰值略有增加，第二共振峰值稍有減小。

(a) 驅動一

圖9(b)、(c)、(d)中，驅動二、檢測一、檢測二也出現了與驅動一相似的靈敏度降低以及共振頻率偏移的現象。圖中BW標注的區域是驅動和檢測輸出響應的帶寬，檢測帶寬即為微陀螺的工作帶寬。當微陀螺靜電梳齒傾斜角θ=0.15°和0.5°時，微陀螺的檢測靈敏度最大值降低了約10.7%，但帶寬基本沒有變化。

綜上，當微陀螺在線性系統內工作時，梳齒傾斜角會降低微陀螺響應輸出的靈敏度，同時引起共振頻率向右偏移，但對其響應輸出帶寬基本沒有影響。因此，若所設計的微陀螺在線性系統內工作，應考慮刻蝕誤差導致的梳齒傾斜角對微陀螺工作頻率的影響。

3.2 靜電力非線性條件下的動態響應

為揭示微陀螺在靜電力非線性系統內工作時梳齒傾斜角對其動態性能的影響，圖10給出了當g0=9 μm,Vd=50 V,Va=20 V時，不同梳齒傾斜角下微陀螺的幅頻響應曲線。根據圖10可知在梳齒間距為9 μm時系統已出現了明顯的靜電力非線性。

(a) 驅動一

圖10(a)顯示，數值仿真與近似解析結果具有較好的一致性，微陀螺驅動一的幅頻響應曲線主要表現出靜電力非線性導致的剛度軟化現象。這是由于當活動梳齒靠近固定梳齒根部時，梳齒間橫向靜電力將會變得非常大[17]。但隨著梳齒傾斜角的變化，系統的剛度軟化特征出現被削弱的現象。

當θ=0.15°時，微陀螺驅動一的幅頻響應曲線較θ=0°時向右明顯偏移，原第一階和第二階共振頻率處靈敏度隨之增大，虛線部分的非線性區域變窄，非線性彈性力占比減小，這說明微陀螺系統出現的剛度軟化特性被削弱，即梳齒傾斜角具有剛度硬化特性；當θ=0.5°時，微陀螺驅動一的幅頻響應曲線也出現向右偏移的現象，但偏移量與θ=0.15°時相比較小。

圖10(b)、(c)、(d)表明，當θ=0.15°時，微陀螺的驅動二、檢測一和檢測二均出現了與驅動一相同的幅頻響應曲線向右偏移的現象，原第一階、第二階共振頻率處靈敏度也大幅增大，虛線部分的多穩態解區域也隨之減小，這也說明了梳齒傾斜角對驅動二、檢測一和檢測二均有剛度硬化影響。當θ=0.5°時，其幅頻響應與前者相似，只是偏移程度相對較小。

值得注意的是，圖10(b)中當θ=0.15°或0.5°較θ=0°時的響應帶寬大幅減小，與此同時由靜電力軟化特性導致的多穩態解區域均出現在驅動二的帶寬范圍內，因此幅值跳躍導致的系統不穩定現象就會在帶寬范圍內發生。當微陀螺工作在其設計的帶寬范圍內時，其振動幅值就會出現大幅的跳躍，對應著微陀螺的靈敏度失穩；同時這種大幅值的跳躍有可能會對微陀螺的微梁造成破壞，進而導致微陀螺失效。但如果工作頻率避開失穩區域，梳齒的加工誤差由于彌補了靜電力的軟化特性，輸出靈敏度較無刻蝕誤差時顯著提高，如圖10(d)所示。

為更直觀地分析梳齒傾斜角對微陀螺非線性系統的綜合影響，圖11給出了g0=9 μm，激勵頻率等于驅動一固有頻率時，不同直流偏置電壓下梳齒傾斜角與驅動一和檢測二振幅的關系曲線。

(a) 驅動一

當θ=0.15°附近時驅動一振動的幅值達到最大值，即此時梳齒傾斜角產生的剛度硬化特性相對較強，意味著該角度下對靜電力軟化特性的抵消程度最強；之后，隨著梳齒傾斜角度的增加，響應峰值大幅下降，說明剛度硬化特性又逐漸減弱。

對比圖10(a)也可以看出，當Vd=50 V、梳齒傾斜角θ由0.15°增加到0.5°時，驅動一幅頻響應曲線出現的剛度軟化現象明顯增強，驅動一固有頻率所對應的響應幅值逐步減小。

圖12 驅動一的立方剛度系數與梳齒傾斜角和直流偏置

4 結 論

本文采用多尺度法結合數值仿真等，深入分析了微加工誤差導致的驅動梳齒傾斜角在線性以及非線性情況下對微陀螺動態性能的影響機理。主要結論如下：

(1) 當微陀螺在線性系統內工作時，梳齒傾斜角將導致微陀螺系統出現共振頻率偏移現象，同時造成輸出響應的靈敏度大幅下降，但對其工作帶寬基本沒有影響，未對系統造成非線性影響。

(2) 考慮靜電力非線性情況時，梳齒傾斜角對微陀螺系統響應具有剛度硬化作用，對靜電力非線性的軟化特性具有抵消作用，且存在最佳硬化效果的傾斜角，在最佳傾斜角下工作的微陀螺較無刻蝕誤差及線性系統的輸出靈敏度均有顯著提高。