基于改進T-B譜方法的高層建筑風致疲勞損傷分析

黃國慶， 范宇航， 姜 言

(1. 重慶大學 土木工程學院， 重慶 400045; 2. 西南大學 工程技術學院， 重慶 400715)

隨著鋼材等輕質高強材料的廣泛使用，使得高層建筑朝著高聳、輕柔的方向快速發展。由于結構剛度和阻尼的不斷減小，結構風敏感性的逐漸增加，抗風性能已成為結構設計的控制性因素[1]。一方面，風荷載作用下的過大變形或振動，嚴重影響了結構的安全性和舒適性。另一方面，當風荷載長期、往復地作用在結構上時，盡管循環應力遠小于材料極限應力，但結構內部會產生疲勞損傷，待損傷累積到一定程度，結構會發生疲勞破壞。不同于強度破壞，疲勞破壞是一種長期效應，具有強隱蔽性[2]。因此，評估高層建筑的疲勞損傷對其耐久性研究至關重要。

目前，結構疲勞損傷分析方法主要有時域法和頻域法。其中，時域法需獲得結構關鍵位置處的應力時程，之后通過循環計數方法得到該應力時程的應力幅值分布、平均應力以及循環次數等，最后結合疲勞損傷理論和材料S-N曲線來進行疲勞損傷估計[3]。常用的時域法為雨流法[4]。該方法精度高且應用范圍廣，故常被作為評價其他方法準確性的基準[5]。然而隨著應力時程的不斷增加，該方法計算效率逐漸降低。

不同于時域法，頻域法是根據荷載作用下結構關鍵位置處應力時程的統計特性來描述應力幅值以及循環次數等信息，并結合疲勞損傷理論和材料S-N曲線估計疲勞累積損傷。該方法能夠避免繁瑣的時程分析，因而具有良好的工程應用前景。常用的頻域法有窄帶法[6]、等效窄帶法[7]、等效應力法[8]、Dirlik疲勞計算公式[9]、Zhao-Baker疲勞損傷公式[10]和Tovo-Benasciutti譜方法(T-B譜方法)等[11]。其中，T-B譜方法具有廣泛的適用范圍和較好的理論基礎。該方法不僅形式簡便，而且可以給出明確的循環分布信息，甚至可以應對非高斯應力響應過程所引起的疲勞損傷問題[12]。

然而隨著反映材料疲勞特性曲線(S-N曲線)的斜率參數增加，T-B譜方法與雨流法的差異逐漸增加。鑒于此，本文首先以高層建筑順風向、橫風向以及耦合風振疲勞損傷為研究對象，并以時域雨流法為基準，評價了原有兩種T-B譜方法的計算精度；其次，基于該方法關鍵參數的分析結果，并利用數值模擬，給出了關鍵參數的包絡值；最后，基于該包絡值提出了改進的T-B譜方法，同時驗證了其有效性。

1 高斯隨機過程下疲勞損傷的分析方法

1.1 時域法

時域內計算疲勞損傷最直接的手段就是利用循環計數法統計出應力幅值分布、平均應力以及循環次數等關鍵信息，再結合材料S-N曲線和疲勞損傷理論來估計疲勞損傷[13]。目前，常用的循環計數法主要包括峰值計數法、界限計數法、幅值平均計數法以及雨流計數法等。其中，Matsuishi和Endo提出的雨流計數法具有最好計算精度。該方法能較好地反映隨機加載的全過程，其特點是識別響應時程曲線的每個回轉點，并記下完整的滯回環，進而得到一個振幅為行、均值為列的矩陣。分析每個均值和振幅，可得對應的滯回環數目，從而獲得各應力幅下結構的實際循環次數[13]。

材料S-N曲線表示了應力幅與循環次數之間關系。常用的S-N曲線為冪函數形式[14]

N(p)=Cp-m

(1)

式中：N(p)為常幅疲勞荷載p下，材料達到疲勞破壞的循環次數；m為斜率參數；C為參考疲勞強度。

基于材料的S-N曲線，結合Miner線性累積損傷法則[15]，則累積疲勞損傷可表示為

(2)

式中：D為累積損傷值(D≤1)，D=1表明結構處于疲勞破壞臨界狀態；nu為應力幅pu所對應的循環次數；Nu為常幅疲勞荷載pu作用下，材料疲勞破壞的循環次數，可由式(1)獲得；n為總的循環次數。

通過實測或者數值模擬得到疲勞破壞控制點的應力時程后，利用雨流計數法可得相應的應力循環幅值等信息。如果不考慮平均應力的影響，可得該時程內的累積疲勞損傷為

(3)

1.2 頻域法

對于零均值的窄帶隨機過程X(t)，其響應應力幅值p的概率密度函數服從瑞利分布，即[16]

(4)

(5)

(6)

式中:0≤α1≤α2≤1，當α1=α2=0時表示相應的響應過程為白噪聲，而當α1=α2=1時響應過程為嚴格的窄帶隨機過程；λv為功率譜SX(f)的v階統計矩。

結合疲勞Miner線性損傷理論和材料的S-N曲線，可得窄帶高斯過程的疲勞損傷率為

(7)

相比而言，寬帶高斯過程的應力幅分布形式復雜，目前尚無理論結果。為了準確地評估寬帶高斯過程的疲勞損傷，許多學者提出了一系列經驗公式來近似表達該過程下的應力幅分布，如T-B譜方法等。通常，利用線性損傷準則估算寬帶高斯隨機過程的疲勞損傷存在以下關系

E[DRM]≤E[DRF]≤E[DLC]=E[DNB]

(8)

式中:E[DRM]、E[DRF]和E[DLC]分別為幅值平均法、雨流法和界限法估計的疲勞損傷率；T-B譜方法將雨流法結果近似表示為E[DRM]和E[DLC]的線性組合，即：

E[DRF]≈E[DTB]=bE[DLC]+(1-b)E[DRM]=

(9)

式中，b為待定系數，其反映了上述三種方法之間的關系。明顯地，如何確定參數b是利用該方法的關鍵。其現有結果主要為數值模擬得到的擬合解，包括Tovo和Benasciutti提出的擬合結果

(α1+α2))e2.11α2]

(10)

以及Ding和Chen根據高層建筑風致結構疲勞響應獲得的擬合解等

(11)

2 高層建筑風致疲勞損傷分析

本節以高層建筑順風向、橫風向以及耦合風振響應(結構基底應力響應)產生的疲勞損傷為例。其中，耦合響應為順風向響應和橫風向響應的矢量和，且僅考慮一階線性模態作用。該結構位于城市當中，高度H為200 m，寬度B和深度D均為0.2H，且假定質量沿高度均勻分布；結構頂端平均風速的取值范圍為5～50 m/s，間隔為5 m/s；結構順風向和橫風向基頻分別為0.230 Hz和0.276 Hz；結構材料為Q345鋼材，材料彈性模量為206 GPa、泊松比為0.3；材料S-N曲線參數m的取值為3～5[17]，C的取值1.28×1011(MPa)3[18]，且不隨m變化；結構的阻尼比分別取0.01、0.02和0.05，未考慮瑞利阻尼。

需要說明的是，鋼材S-N曲線可能存在一條水平漸近線，即材料疲勞極限強度。當構件荷載小于疲勞極限時，理論上該構件不會產生疲勞破壞。由于高層建筑在設計服役期內的循環次數遠大于疲勞極限循環次數，為計算方便，往往不考慮材料疲勞極限，且認為所有應力循環都會產生疲勞損傷。顯然，上述假設是偏安全的。

2.1 荷載響應譜及其特性

由于僅考慮一階線性模態下的響應，該結構廣義荷載Q(t)可通過其基底彎矩M(t)計算獲得，即Q(t)=M(t)/H。本研究采用了日本建筑學會所(AIJ)提出的方法[19]，通過歸一化的基底彎矩即基底彎矩系數來計算結構響應譜，具體過程如下：

對于順風向響應來說，其基底彎矩系數功率譜可表示為

(12)

其中，

(13)

(14)

(15)

對于橫風向響應來說，基底彎矩系數功率譜可表示為

(16)

(17)

β2=0.28η-0.34

(18)

(19)

(20)

式中:ζ為結構阻尼比；M為結構總質量。

就本文所述結構而言，當阻尼比ζ為0.01時，結構頂端風速(最大為50 m/s)滿足不等式(16)的約束。結合式(17)，可知當阻尼比為0.02和0.05時，臨界風速取值更大，因此本文所述結構無需驗算渦激共振。

根據上述基底彎矩系數譜，可得廣義力荷載譜，進而結合結構頻響函數獲得位移響應譜。將位移響應乘以常數系數M1(2πf1)2Hφs(M1為廣義質量；φs為單位彎矩下的基底應力)，可得最終的應力響應。由于僅考慮一階線性模態下的響應，則結構頂端位移響應特性與基底應力響應特性一致。圖1～3分別給出順風向、橫風向以及耦合風振作用下相應的疲勞響應帶寬參數結果。

圖1 順風向響應帶寬參數

圖2 橫風向響應帶寬參數

圖3 耦合響應帶寬參數

由圖1～3可知，帶寬參數隨風速增加逐漸增大趨近于1，阻尼比的減少又會加劇上述變量的變化程度。換而言之，隨著風速的增加和阻尼比的減少，響應過程越來越趨近于窄帶隨機過程。其中，順風向響應具有最寬的帶寬參數。

2.2 改進的T-B譜方法

基于上述荷載響應譜，本節以時域雨流法為基準來評估T-B譜方法的性能。首先，利用經典譜表示法模擬廣義力譜所對應的廣義力時程(以風速為20 m/s、阻尼比取0.01為例，給出了順風向結果，如圖4所示)，采樣頻率為10 Hz，模擬時距為8 000 s；采用8 000 s時距的原因見附錄；其次，將廣義力荷載加載在結構上，通過Newmark法計算得到應力響應時程(即名義應力時程)；最后，利用雨流法估計該段時程所產生的平均疲勞損傷DRF。上述過程進行1 000次，取平均值并記為E[DRF]。

圖4 順風向廣義力時程圖

圖5 應力循壞次數和應力幅的統計結果

圖6 應力幅分布

(a) 順風向

為了進一步評估T-B譜方法的計算精度，圖8以阻尼比取0.01為例，給出了m取值分別為3、4和5時，雨流法和T-B譜方法計算結果間的誤差結果。該誤差被定義為

(21)

由圖8可知，隨著m的增加，雨流法和T-B譜方法間的誤差越來越明顯，甚至超過了20%。其中，對于帶寬較寬的高斯隨機過程來說(即風速較小處)，采用b=bTB計算方法具有較好的預測精度；而對于帶寬較窄的高斯隨機過程來說(即風速較大處)，采用b=bDC估計方法具有更高的精度。因此，需要對參數b展開進一步研究，來更好地估計疲勞損傷。

(a) bTB順風向

圖9給出了三種b值的結果，即雨流法確定的bsim和基于T-B譜方法的兩種擬合值(分別為bTB和bDC)。由圖9可知，bsim與bTB和bDC之間的最大值較為接近。基于此，給出了參數b的新擬合結果

(a) 順風向

bsim≈bnew=max(bTB,bDC)

(22)

表1～3分別給出了m取3、4、5的情況下，原有T-B譜方法及改進方法分別與雨流法之間的誤差。由表可知，改進方法的精度相較原有方法均有一定程度的提高且最大誤差不超過20%。其中在m為3時，改進方法與雨流法間的誤差均小于2.5%(最大誤差為2.48%)。以橫風向結果為例，其平均誤差僅為0.96%，而原有T-B譜方法的平均誤差分別為4.25%和2.14%。為了進一步分析，表4給出了阻尼比為0.01時，改進方法的平均誤差相對原有T-B譜方法的降低程度，以橫風向結果為例，m為3時其降低程度分別為77.49%和55.38%；m為4時其降低程度分別為53.89%和16.72%；m為5時其降低程度分別為46.36%和14.98%。此外，當阻尼比為0.02和0.05時，所得結果與上述類似，故不再贅述。

表1 T-B譜方法及其改進方法與雨流法誤差(m=3, ζ=0.01)

表2 T-B譜方法及其改進方法與雨流法誤差(m=4, ζ=0.01)

表3 T-B譜方法及其改進方法與雨流法誤差(m=5, ζ=0.01)

由表1～表4可知，T-B譜方法的關鍵是確定參數b。研究通過數值模擬獲得了新的b值表達式，結果表明其能更好地預測風致疲勞損傷。

表4 改進方法相對原有T-B譜方法平均誤差的降低 程度(ζ=0.01)

3 結 論

本文以高層建筑順風向、橫風向以及耦合風振疲勞損傷為研究對象，并以時域雨流法為基準，首先評價了原有兩種T-B譜方法的計算精度；其次，基于該方法關鍵參數的分析結果，并結合數值模擬，給出了該參數的包絡值；最后，基于該包絡值提出了改進的T-B譜方法，同時驗證了其有效性。通過上述研究，得出以下結論：

(1) 相比時域雨流法而言，原有兩種頻域T-B譜方法依舊有效。然而，隨著反映材料疲勞特性曲線(S-N曲線)的斜率參數增加，其與雨流法之間的誤差越來越明顯，甚至超過20%；

(2) 相比原有兩種T-B譜方法，改進方法更接近雨流法計算結果，以橫風向且材料S-N曲線斜率參數m=3的結果為例，其平均誤降低程度分別為77.49%和55.38%；

(3) 值得說明的是，根據各國規范可知，鋼材S-N曲線的斜率參數取值主要為3[18]。此時，改進T-B譜方法計算所得疲勞損傷與雨流法之間的誤差均在2.5%的范圍內。由此可知，該方法在實際工程中具有一定的意義。

附錄A

文獻[20]表明響應的時距對雨流法計算結果影響較大，其中，由于順風向響應具有最寬的帶寬參數(見圖1)，因此其要求的合理時距最長，如圖A1所示。同時，相比常規建筑物而言，高層建筑阻尼比較小，因而其達到振動穩態所需時間更長。為保證雨流法的準確性且避免瞬態響應的干擾，本文模擬樣本的總時距取8 000 s。其中，樣本有效時距長度為6 000 s。

圖A.1 順風向響應下保證雨流法正確性的合理時距