一類對稱約束碰振系統的余維二擦邊分岔的存在條件

徐潔瓊， 陳慧瑩， 伍 帥， 袁 泉

(廣西大學 數學與信息科學學院， 南寧 530004)

碰撞振動系統作為一類典型的非光滑系統，除了具有光滑分岔(余維一Hopf分岔和Neimark-Sacker分岔，余維二Hopf-flip分岔、Hopf-Hopf分岔、退化Hopf分岔等[1-2])外，還具有非光滑系統所特有的非光滑分岔現象，(如擦邊分岔。余維一非光滑分岔(擦邊分岔、滑動分岔以及角點分岔)的理論研究已經比較完善。基于最早由Nordmark[3-4]提出的局部不連續(xù)映射方法，建立了在不同非光滑系統中非光滑分岔的規(guī)范型[5-6]。關于余維二非光滑分岔的研究目前還沒有統一的結論，主要是針對不同的問題分析特定的余維二非光滑分岔現象。Kowalczyk等[7]針對非光滑微分系統的極限環(huán)的余維二非光滑分岔提出了一種分類策略。類似光滑系統的余維二分岔的分類方法，余維二擦邊分岔被劃分為三種類型，分別是：第一種擦邊點退化，即，決定擦邊點局部向量場性質的解析條件發(fā)生退化；第二種退化環(huán)擦邊(非雙曲)，也可以看成是在同一組參數下光滑分岔和非光滑分岔同時發(fā)生；以及第三種兩個擦邊事件同時發(fā)生。Yin等[8]對單自由度碰撞振子的退化擦邊分岔行為進行分析，利用不連續(xù)映射的方法研究碰撞系統擦邊動力學行為，并找出單自由度碰撞振子退化分岔條件，推導出碰撞周期運動退化擦邊分岔的存在條件。Thota等[9]對單自由度碰撞振子的余維二擦邊分岔進行了研究，并通過不連續(xù)映射的方法得到擦邊分岔的開折圖，分析了余維一分岔對余維二分岔點的動力學影響。Zhao等[10]對微機械系統中的余維二和余維三分岔進行研究，提出一種分析方法來預測兩個余維二分岔點的鄰域的分岔行為。Jiang等[11-12]將剛性碰撞振動系統的不連續(xù)性幾何概念拓展到彈性碰撞振動系統中，研究了具有單側彈性約束的碰撞振動系統的擦邊分岔機理。并研究了單側彈性和剛性約束沖擊振子中擦邊分岔的區(qū)別，并對這兩種振子的擦邊分岔進行分類。Yin等[13]推導了退化擦邊碰撞系統的高階零時間不連續(xù)映射，并通過對近擦邊碰撞周期運動的存在性分析，對低階和高階截斷的比較，說明了利用高階零時間不連續(xù)映射分析退化擦邊分岔的必要性和可行性。Xu等[14]基于顯式臨界準則和不連續(xù)映射方法，研究了三自由度振動沖擊系統周期解的穩(wěn)定性和分岔問題，解釋了在擦邊周期運動附近，吸引子不連續(xù)跳躍和吸引子共存的原因。

除了單側約束碰振系統，在許多實際工程問題中也會涉及到具有雙側約束碰撞振動系統，例如齒輪傳動系統、連接設備、高速鐵路列車輪軌互相作用、核反應堆中的熱交換器管道等。 呂小紅等[15]對具有雙側約束碰撞振動系統進行研究，得到倍周期分岔和擦邊分岔通向混沌的路徑，對混沌行為實施了控制。井紅巖[16]選取以雙側約束的自帶冠葉片作為研究對象，建立了發(fā)生雙側碰撞的自帶冠葉片振動系統模型,推導了碰撞振動系統的周期解，并對周期運動特性進行了有效分析。Xu等[17]研究了具有對稱約束的n自由度碰撞系統的擦邊分岔穩(wěn)定性條件的退化，得出該類系統余維二擦邊分岔的顯式公式。本文對具有對稱約束的二自由度碰撞系統的第二類余維二分岔進行分析，推導了一類余維二擦邊分岔的存在條件。文章結構如下：第一章，雙擦周期運動的存在條件；第二章，基于不連續(xù)映射的復合Poincaré映射；第三章，近擦邊動力學分析；第四章，余維二擦邊分岔的存在條件；第五章，結論。

1 雙擦周期運動的存在條件

1.1 力學模型

本文考慮一個具有對稱約束的二自由度剛性碰撞振動系統，如圖1所示。該系統由質量為M1和M2的振子組成、振子分別由剛度為K1和K2的線性彈簧以及阻尼系數為C1和C2的線性阻尼器相連接。在簡諧激振力Pi(ΩT+τ),(i=1,2)的作用下質塊沿水平方向往返運動。振子的位移分別用X1和X2表示，系統具有對稱性的約束面A和C，質量M1的質塊在約束面A和C之間移動。質量M1的質塊位移X1為B或-B時，將與約束面A或C發(fā)生碰撞。碰撞恢復系數為R，假設與力的周期相比，剛性碰撞振動系統碰撞持續(xù)時間可以忽略不計。

圖1 系統模型

其中“″”和“′”分別是對時間t的二階導數和一階導數。

假定上述力學模型中的阻尼為Rayleigh型的比例阻尼，令p0=|p1|+|p2|，作如下變換

無碰撞時，系統經過無量綱變化之后的運動方程為

(1)

質塊M1的碰撞沖擊方程為

設Ψ為碰撞振動系統(1)的正則模態(tài)矩陣，ω1和ω2表示質塊和約束面無接觸情況下系統的固有頻率。作坐標變換x=Ψγ，得到系統的運動方程如下

(2)

1.2 雙擦周期運動的存在條件

利用模態(tài)疊加法求解碰撞振動系統(2)可得

bj1sinωdj(t-t0)))+Ajsin(ωt+τ)+

Bjcos(ωt+τ),t0≤t≤t1,(i=1,2)

(3)

bj2sinωdj(t-t1)))+Ajsin(ωt+τ)+

Bjcos(ωt+τ),t1≤t≤t2,(i=1,2)

(4)

(5)

且在約束面A和C擦邊點處振子M1的加速度分別小于零和大于零。

2 基于不連續(xù)映射的復合Poincaré映射

令θ=ωtmod(2π)表示激勵的相位，引入狀態(tài)變量X=(x1v1x2v2d)T∈R5，則有

(6)

式中：v1和v2分別代表質塊M1和M2的速度；a1和a2代表質塊M1和M2的加速度。

當振子M1的位移x1滿足|x1|=d時，振子M1與約束面A或C發(fā)生接觸(擦邊或者碰撞)，定義不連續(xù)面D1，D2，D1=X|hD1(X)=d-x1=0,D2=X|hD2(X)=-d-x1=0。

gi(X)=(x1, -Rv1,x2,v2,d)T

其中i=1,2。

設X*1，X*2為不連續(xù)面D1，D2處的擦邊點，則：hD1(X*1)=0,hD2(X*2)=0。

為了分析擦邊點附近的動力學行為，引進零時間不連續(xù)映射。根據不連續(xù)映射方法，得到DM1和DM2的不連續(xù)映射如下

DM1=

DM2=

(7)

其中β1，β2滿足：

β1=

β2=

選擇兩個固定相位角θ*1，θ*2為截面，其截面滿足以下形式

利用光滑流可以定義映P1s:P1→P2和P2s:P2→P1，使得P1s(X*1)=X*2和P2s(X*2)=X*1。選擇P1為Poincaré截面，復合光滑映射和不連續(xù)映射，得到分析近擦邊動力學的復合Poincaré映射：

P=P2s°DM2°P1s°DM1

在X*1鄰域展開光滑映射P1s(X)及函數hD1(X)，并舍去高階項得到：

(8)

3 近擦邊動力學分析

3.1 存在性條件

考慮碰振系統發(fā)生1/1/n周期運動，即：在n個外激勵周期，振子在一個周期與不連續(xù)面D1、D2先后發(fā)生碰撞，在之后的n-1個周期無碰撞現象發(fā)生，第n+1個周期時再次與D1、D2發(fā)生碰撞的運動現象。

當發(fā)生1/1/n碰撞周期運動時，利用復合映射(8)求不動點。

為進行簡化計算令

P1s,X[P2s,X°DM2°P1s,X°DM1](X)=X*2+P1s,XP2s,XQ

P2s,XP1s,X[P2s,X°DM2°P1s,X°DM1](X)=

X*1+P2s,XP1s,XP2s,XQ

依此類推

P1s,X(P2s,XP1s,X)n-2[P2s,X°DM2°P1s,X°DM1](X)=X*2+P1s,X(P2s,XP1s,X)n-2P2s,XQ(n≥2)

(9)

3.2 分岔條件

分析1/1/n周期運動的分岔條件，先求出復合映射的Jacobian矩陣，利用其特征值找出相應的鞍結分岔線和倍周期分岔線，具體過程如下。

C=(1 0 0 0 0)，

則可以得到如下等式

x-x*1=C(X-X*1)=C(P2s,XP1s,X)n-1·

(10)

(11)

C(P2s,XP1s,X)(n-1)P2s,Xβ2=(1 0 0 0 0)·

(12)

為方便進一步對Y進行求解，先對Y進行平方操作得到等式(13)，并將式(10)～(12)代入式(13)中，得出Y與d-d*1相關的式(14)。

(13)

(14)

利用對n次復合映射Jacobian矩陣的特征值進行求解，進一步找出對應的鞍結分岔和倍周期分岔發(fā)生時所滿足的條件，有基本分岔理論可知，特征值λ=1時對應鞍結分岔，特征值λ=-1對應倍周期分岔。n次復合映射Jacobian矩陣DPs如下

其中Q滿足

由此容易計算出n次復合映射PS的Jacobian矩陣如下

(15)

化簡計算可得

(16)

將λ=1代入式(16)，并聯立關于Y的式(14)，得到周期運動發(fā)生鞍結分岔的條件

將λ=-1代入式(16)，并聯立關于Y的式(14)，得到發(fā)生倍周期分岔的條件

令

并使用SN 和PD分別代表鞍結點分岔線和倍周期分岔，分岔條件可以寫成如下形式

(17)

4 余維二擦邊分岔的存在條件

根據上一節(jié)推導出的兩類分岔的表達式(17)，得出發(fā)生余維二擦邊分岔條件的解析表達式，即，以下條件成立時發(fā)生余維二擦邊分岔

(18)

容易發(fā)現，當ζn取值為0，碰撞振動系統發(fā)生余維二擦邊分岔。對于周期n為1的碰撞周期運動，選定以下參數um=10.0，uk=5.0，uc=5.0，R=0.8，f20=0.0，ζ=0.05，進行數值模擬。根據式(5)和上述余維二擦邊分岔條件(式(18))，同時作出鞍結分岔線、倍周期分岔線以及擦邊曲線，找出三條曲線的交點，即余維二擦邊分岔點，如圖2所示。從圖中我們可以看到三條不同的曲線，用長虛線表示的曲線對應鞍結分岔曲線，實線對應擦邊曲線，用短虛線表示的曲線對應倍周期分岔曲線(圖3為圖2的局部放大圖像)。在圖2中可以看出三類曲線在ω∈[0.1,3]范圍內具有多個交點，即在 (0.109，1.223)、(0.161，1.251)、(0.218，1.296)、(0.335 5，1.453 2)、(0.611，4.906)和(1.233，2.247)等點處滿足余維二擦邊分岔條件(18)，發(fā)生了余維二擦邊分岔。以頻率ω作為變化參數，根據擦邊分岔條件，即達式(5)，畫出隨著頻率ω變化d的曲線，即擦邊分岔曲線。然后找到曲線上滿足ξn=0的點，用*號表示，得到碰撞振動系統余維二擦邊分岔點的分布情況，如圖4所示。圖4展現了周期n取值為時，碰撞振動系統余維二擦邊分岔點的分布情況，容易看出余維二分岔點主要集中在曲線的左端，即較小的ω值處。

圖2 1/1/1碰撞周期運動退化點附近動力學行為

圖3 局部放大圖像

圖4 周期n=1運動的退化點

5 結 論

本文針對一個具體的二自由度對稱約束的碰撞振動系統，詳細討論了第二種余維二擦邊分岔，即，在同一組參數下光滑分岔和非光滑分岔同時發(fā)生的存在條件。經過詳細推導得到了該類余維二擦邊分岔存在條件的解析表達式。余維二擦邊分岔被分為三類，但是，在每一類中發(fā)生余維二分岔的情況繁多，將進一步對更多的分岔情況進行分析和總結。